第六章--方差分析與正交試驗設(shè)計

第六章 方差分析與正交試驗設(shè)計 在生產(chǎn)實踐和科學研究中，經(jīng)常要分析各種因素對試驗指標是否有顯著的影響。例如，工業(yè)生產(chǎn)中，需要研究各種不同的配料方案對生產(chǎn)出的產(chǎn)品的質(zhì)量有無顯著差異，從中篩選出較好的原料配方；農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，為了提高農(nóng)作物的產(chǎn)量，需要考察不同的種子、不同數(shù)量的肥料對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，并從中確定最適宜該地區(qū)種植的農(nóng)作物品種和施肥數(shù)量。 要解決諸如上述問題，一方面需要設(shè)計一個試驗，使其充分反映各因素的作用，并力求試驗次數(shù)盡可能少，以便節(jié)省各種資源和成本；另一方面就是要對試驗結(jié)果數(shù)據(jù)進行合理的分析，以便確定各因素對試驗指標的影響程度。6.1 單因素方差分析 僅考慮一個因素對試驗指標有無顯著影響，可以讓取個水平：，在水平下進行次試驗，稱為單因素試驗，試驗結(jié)果觀測數(shù)據(jù)列于下表： 序號水平1 2 并設(shè)在水平下的數(shù)據(jù)來自總體，。 檢驗如下假設(shè)： ， 不全相等檢驗統(tǒng)計量為其中，稱為組間差平方和。 ，稱為組內(nèi)差平方和。這里 ，。 對于給定的顯著性水平，如果，則拒絕，即認為因素對試驗指標有顯著影響。 實際計算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：再進行計算，不會影響值的大小。例1 下表給出在30只小白鼠身上接種三種不同菌型的傷寒病菌后的存活日數(shù)：菌型接種后的存活日數(shù)2 3 3 2 4 7 7 2 5 45 6 8 5 10 7 12 6 67 11 6 6 7 9 5 10 6 3 10試分析三種不同的菌型對小白鼠的平均存活日數(shù)影響是否顯著？解： ， ，說明三種不同菌型的傷寒病菌對小白鼠的平均存活日數(shù)的影響高度顯著。6.2 雙因素方差分析 同時考察兩個因素和對試驗指標有無顯著影響，可以讓取個水平：，讓取個水平：，在各種水平配合下進行試驗，稱為雙因素試驗。一、無交互作用的雙因素方差分析 在每一種水平配合下作一次試驗，稱為無交互作用的雙因素試驗，試驗結(jié)果觀測數(shù)據(jù)列于下表： 因素因素 并設(shè)在水平配合下的數(shù)據(jù)來自總體，。 檢驗如下假設(shè)： ， 不全相等 ， 不全相等分別用如下檢驗統(tǒng)計量其中，稱為的組間差平方和。 ，稱為的組間差平方和。 ，稱為組內(nèi)差平方和。這里 ，。對于給定的顯著性水平，如果，則拒絕，即認為因素對試驗指標有顯著影響；如果，則拒絕，即認為因素對試驗指標有顯著影響。 實際計算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：再進行計算，不會影響值的大小。例1 為了解三種不同配比的飼料對仔豬生長影響的差異，對3種不同品種的仔豬各選3頭進行試驗，分別測得其一段時間體重增加量，如下表所示（代表飼料，代表品種）： 因素因素 51 56 4553 57 4952 58 47試分析不同飼料與不同品種對仔豬的生長有無顯著影響？解：所有數(shù)據(jù)減去50后計算結(jié)果如下： ，說明不同飼料對仔豬的生長無顯著影響。，說明品種的差異對仔豬生長的影響高度顯著。二、有交互作用的雙因素方差分析在每一種水平配合下重復作次試驗，稱為有交互作用的雙因素試驗，試驗結(jié)果觀測數(shù)據(jù)列于下表：試驗結(jié)果因素因素 并設(shè)在水平配合下的數(shù)據(jù)來自總體，。檢驗如下假設(shè)： ， 不全相等 ， 不全相等 全相等， 不全相等分別用如下檢驗統(tǒng)計量其中，稱為的組間差平方和。 ，稱為的組間差平方和。 ，稱為的組間差平方和。，稱為組內(nèi)差平方和。這里 ，。對于給定的顯著性水平，如果，則拒絕，即認為因素對試驗指標有顯著影響；如果，則拒絕，即認為因素對試驗指標有顯著影響；如果，則拒絕，即認為因素與因素之間的交互效應(yīng)對試驗指標有顯著影響。實際計算時，可事先對原始數(shù)據(jù)作如下處理：再進行計算，不會影響值的大小。例2 考察合成纖維彈性影響因素為拉伸倍數(shù)與收縮率。與各取4個水平，每個水平配合下做2次試驗，結(jié)果數(shù)據(jù)見下表：試驗結(jié)果因素（0）（4）（8）（12）因素（460）（520）（580）（640）71 7372 7375 7377 7373 7576 7478 7774 7476 7379 7774 7574 7375 7373 7270 7169 69試分析因素、因素對合成纖維彈性的影響是否顯著？以及因素與因素之間的交互效應(yīng)對合成纖維彈性的影響是否顯著？解： ，說明拉伸倍數(shù)對合成纖維彈性無顯著影響。，說明收縮率對合成纖維彈性的影響高度顯著。 ，說明因素與因素之間的交互效應(yīng)對合成纖維彈性的影響高度顯著。6.3 正交試驗設(shè)計前面介紹了單因素與雙因素試驗的方差分析，但是在實際問題中遇到的因素往往超過兩個，需要考察各個因素對試驗結(jié)果是否有顯著影響。從理論上講可以導出多因素的方差分析法，但是一來公式會變得很復雜，二來總試驗次數(shù)也要明顯增多。例如，考慮7個因素的試驗，每個因素有6個水平，若在每一種組合水平上都做一次試驗，需要做次試驗，這是根本不可能的！ 為了減少試驗次數(shù)，希望在所有組合水平中挑選一部分出來，在這些組合水平上做試驗，即局部地進行試驗。正交試驗設(shè)計是利用一套現(xiàn)成的規(guī)格化的表正交表，科學地安排試驗和分析試驗結(jié)果的一種數(shù)理統(tǒng)計方法，該方法的主要優(yōu)點是能在很多試驗條件中選出代表性強的少數(shù)試驗方案，同時通過對這少數(shù)試驗方案的結(jié)果進行分析，從中找出最優(yōu)方案。 正交表1944年起源于美國。第二次世界大戰(zhàn)后在日本開發(fā)了使用正交表進行試驗設(shè)計的技術(shù)體系，并在日本全國進行大力普及推廣、應(yīng)用，取得了顯著的經(jīng)濟效益。 實踐證明，正交設(shè)計是促進生產(chǎn)率提高的一種有效手段，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學研究、產(chǎn)品設(shè)計、工藝改革等技術(shù)領(lǐng)域以及經(jīng)營、計劃等管理領(lǐng)域。一、正交表 正交表記為，表示至多安排個因素，每個因素有種水平，共作次試驗的正交表。下面就是兩個常用的正交表，。 列號 水平試驗號1 2 3 4 列號 水平試驗號1 2 3 4 5 6 7 1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 3 2 1 2 32 2 3 12 3 1 2 3 1 3 23 2 1 33 3 2 1123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2其中符號含義如下：正交表符號；試驗次數(shù)（正交表的行數(shù)）；水平數(shù)；因素個數(shù)（正交表的列數(shù)）。 從上面兩個正交表容易看出它們具有如下性質(zhì)：（1）表中任何一列所含不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表每一列有三個不同的數(shù)字“1”、“2”、“3”，它們各出現(xiàn)3次。（2）將表中任意兩列同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表的有序數(shù)對為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9個，它們各出現(xiàn)一次。 以上性質(zhì)說明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大減少試驗次數(shù)。二、無交互作用的正交設(shè)計及其結(jié)果的直觀分析1、如何用正交表安排試驗 下面用一個實例來說明。例1 某化工廠進行合成氨試驗，需要設(shè)計尋找最優(yōu)生產(chǎn)條件的試驗方案。 我們分如下幾個步驟設(shè)計試驗方案，以便尋找最優(yōu)工藝條件。第一步：明確試驗的目的，確定試驗指標。 本試驗的目的是尋找合成氨的最優(yōu)生產(chǎn)條件，試驗指標是氨的產(chǎn)量，高者為優(yōu)。第二步：挑因素，選水平。 根據(jù)以往經(jīng)驗和相關(guān)專業(yè)資料列出以下因素水平表。 因素水平A反應(yīng)溫度（）B反應(yīng)壓力（Pa）C催化劑種類1460250甲2490270乙3520300丙第三步：選擇合適的正交表，進行表頭設(shè)計。選擇正交表時，首先要求正交表中的水平數(shù)與每個因素水平數(shù)一致，其次要求正交表中因素個數(shù)大于或等于實際因素個數(shù)，然后適當選用試驗次數(shù)較小的正交表。 本例是一個三水平試驗，因此要從型中選擇正交表。若不考慮交互作用，本例共有三個因素，所以應(yīng)選一張的最小的表，因此選用是合適的。 將A，B，C隨機地放到的表頭各列中，叫做表頭設(shè)計。因素ABC空列列號1234第四步：列出試驗方案表，按其做試驗。 確定表中各列水平號碼的具體內(nèi)容。如對因素A列的數(shù)字“1”、“2”、“3”分別填上460，490，520；類似地確定因素B，C列中水平號碼的具體內(nèi)容，就得到如下表所示的試驗方案。 正交表的每一行就代表一個試驗方案。 嚴格按照表中所規(guī)定的9個試驗條件做試驗，并把試驗結(jié)果的數(shù)據(jù)填寫在表中的最后一列。 因素 列號試驗號ABC空列產(chǎn)量（噸）12341234567891（460）112（490）223（520）331（250）2（270）3（300）1231231（甲）2（乙）3（丙）2313121233122311.721.821.801.921.831.981.591.601.812、單指標試驗的直觀分析 試驗指標只有一個的試驗叫做單指標試驗。直觀分析法也叫做極差分析法。 下面以例1說明它的步驟如下：（1）計算第列上第個水平的試驗結(jié)果總和。 類似地可以計算出 （2）計算的平均值，其中為第列上第個水平出現(xiàn)的次數(shù)。 類似地可以計算出 （3）計算第列的極差。 類似地可以計算出。（4）選擇最優(yōu)生產(chǎn)條件。 極差的意義是：越大，說明該因素的水平變化對試驗指標的影響越大，即該因素越重要；反之，越小，該因素越不重要。由此可以根據(jù)的大小順序排出因素的主次。例如在例1中，由于，因此A，B，C的主次順序為。 因為之間的差別僅僅是由引起的，而與B，C取什么水平無關(guān)，因此一般地可以通過比較的大小來確定A的最佳水平。在例1中，由于最大，說明A取水平最好。類似地，可以確定B的最佳水平為，C的最佳水平為，由此得最優(yōu)配方為。 但是在上述9個試驗方案中，并沒有。這說明，用正交表安排試驗不僅可以從表上看到9次試驗中的最好配方，而且還可以推斷出全面試驗中的最優(yōu)配方條件是。 關(guān)于空白列，也需要分析它的極差，若它的極差很小，則可以認為因素之間的交互作用很小，可以忽略不計。否則若它的極差比所有因素的極差都大，則說明因素之間可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了對試驗結(jié)果有重要影響的其它因素。3、多指標試驗的直觀分析 試驗指標多于一個的試驗稱為多指標試驗。在多指標試驗設(shè)計中，各指標的最優(yōu)方案之間可能存在一定的矛盾，如何兼顧各個指標，找出使每個指標都盡可能好的生產(chǎn)方案呢？也就是說，應(yīng)如何分析多指標試驗的結(jié)果呢？下面介紹兩種常用方法。（1）綜合評分法 綜合評分法是由專業(yè)人員根據(jù)實際生產(chǎn)的要求，對每號試驗評出其各項指標的綜合得分，作為這號試驗的總指標，從而把多項試驗指標轉(zhuǎn)化為單項試驗指標，再應(yīng)用單項指標試驗的直觀分析法進行分析。 下面以例2說明它的步驟。例2 某工廠5噸冷風煉鐵爐在現(xiàn)有的設(shè)備條件和原料供應(yīng)的情況下，探索好的生產(chǎn)條件，以達到在鐵水溫度平均為1400以上且熔化速度為每小時5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比的目的。為此確定鐵水溫度、熔化速度、總焦鐵比為試驗指標，并選出4個因素，每個因素取3個水平，列于下表。 因素水平A熔化帶爐缺直徑(mm)B一排、二排風口尺寸(mm)C風壓(mm/kg)D批焦鐵比焦：鐵1760620406，40613013.52740550306，25616014.53720550206，25615012.5 這是一個4因素3水平試驗，選正交表，并將因素A，B，C，D分別放到1，2，3，4列上即可得試驗方案，把方案和試驗結(jié)果列于下表。水平 因 素試驗號ABCD試驗指標綜合評分鐵水溫度熔化速度總焦鐵比12341234567891112223331231231231232313121233122311408139714091409140514121415141514195.35.25.65.24.95.15.45.35.111.713.212.311.912.513.013.312.213.52766921241433上表中綜合評分的方法如下：由于試驗的目的是在保證鐵水溫度平均在1400以上，且熔化速度為每小時5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比，因此可以規(guī)定一個評分辦法：鐵水溫度以1400為標準，每高1就加1分，每低1就扣1分；熔化速度以每小時5噸為標準，每多0.1噸或少0.1噸都扣1分，總焦鐵比以1：12為標準，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后對各號試驗結(jié)果把三者合并起來就是該號試驗綜合評分的分數(shù)。第號試驗的綜合評分可以寫成 按上式計算出的綜合評分見上表中最后一列。 再用類似于例1的單指標試驗的直觀分析法進行分析，分別計算出 由此可以看出四個因素的主次順序是。 直接從表上看出9個試驗方案中的好條件是，即第9號試驗。而由表中數(shù)據(jù)經(jīng)計算的好條件是，該結(jié)果不在這9個試驗中。（2）綜合平衡法 綜合平衡法就是先分別對各個指標進行與單指標一樣的計算分析，然后把各個指標的分析結(jié)果進行綜合平衡，得出結(jié)論。下面仍以例2說明它的步驟。 對各個指標進行單指標計算，結(jié)果列于下表。平均鐵水溫度/平均熔化速度/（t/h）總焦鐵比(1:12)ABCDABCDABCD421442324235423216.115.915.715.337.236.936.938.7422642174225422415.215.415.515.737.437.938.639.5424942404229423315.815.815.916.139.038.838.136.414051411141214115.375.305.235.1012.4012.3012.3012.9014091406140814085.075.135.175.1712.4712.6312.8713.1714161413141014115.275.275.305.3713.0012.9312.7012.1335231090.90.50.40.81.81.91.73.1從表中可以看出：4個因素的主次順序為平均鐵水溫度：ABCD平均熔化速度：ADBC總焦鐵比：DBAC各指標的最優(yōu)試驗條件為對鐵水溫度：（數(shù)值大者為優(yōu)）對熔化速度：（數(shù)值小者為優(yōu)）對焦鐵比：（數(shù)值大者為優(yōu)） 三個指標分析出的條件互不一致，因此需要視因素的主次關(guān)系進行綜合平衡。因素A對鐵水溫度和熔化速度是首要因素，對總焦鐵比是次要因素。因此，在確定A的最佳水平時，應(yīng)重點考慮對鐵水溫度和熔化速度為最優(yōu)的水平。故因素A取最佳水平為；同理，因素B取最佳水平為；因素C在三個指標中都不占主要地位，綜合考慮C取較好些；因素D在主次因素中排在末位，從上表可以看出，因素D對焦鐵比影響最大，取最好，但對另兩個指標取為好，綜合以上分析可以得出兩個最優(yōu)生產(chǎn)條件與，其中與綜合評分得出的結(jié)論一致，而是正交設(shè)計表中的第9號試驗條件，該試驗條件不僅是綜合平衡法得到的最好方案，也是綜合評分法得到的最好方案。三、有交互作用的正交設(shè)計及其結(jié)果的直觀分析 為了能夠用正交表安排具有交互作用的正交試驗，在許多正交表的后面都附有相應(yīng)的交互作用表專供表頭設(shè)計時使用。下表就是正交表所對應(yīng)的交互作用表。 列號列號 1 2 3 4 5 6 7 （1） 3 2 5 4 7 6 （2） 1 6 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） 上表中所有的數(shù)字都是列號。正交表中任何兩列的交互作用列都可以從交互作用表中查到。只要在交互作用表中找到這兩列的列號，這兩個列號所在行、列的交叉點上的數(shù)字就是交互作用列的列號。例如，要查第3列與第5列的交互作用列，只要找（3）行與（5）列的交叉點6，即表中第6列為第3列與第5列的交互作用列。這就是說，在正交設(shè)計時，若要考慮A與B的交互作用，且A，B分別安排在第3列與第5列上，則交互作用AB就要安排在第6列上。這時，第6列就不能再安排其他因素，以免發(fā)生效應(yīng)之間的“混雜”。在做試驗時，交互作用列對安排試驗不起作用，試驗條件的安排方法與不考慮交互作用時完全一樣，只是安排了因素的列內(nèi)的水平去做試驗就行了。但在分析試驗結(jié)果時，AB仍然作為一個單獨因素計算它的極差，極差的大小反映了AB交互作用的大小。例3 花萊留種培育問題，對花萊留種的生產(chǎn)條件進行考察，通過試驗確定A、B、C、D四個因素2個水平及交互作用AB，AC對指標影響的重要性，并找出最優(yōu)生產(chǎn)方案?？疾斓囊蛩嘏c水平列于下表中。 因素水平A澆水次數(shù)B噴藥次數(shù)C施肥方法D進室時間1澆水12次隨機噴開花期施11月初2隨時澆定期噴施四次11月中 這是一個4因素2水平且具有交互作用AB，AC的試驗，因此選用的2水平正交表至少要有6列，滿足該條件的2水平正交表最小，故選用的交互作用列表做試驗方案。 首先，作表頭設(shè)計。把因素A，B分別安排在的第1列和第2列，查的交互作用列表知，AB占用第3列；為避免混雜，又把因素C安排在第4列，查的交互作用列表知，AC應(yīng)占第5列；而因素D可以排在第6、7列中的任何一列，現(xiàn)在把因素D排在第7列，于是第6列為空白列。這樣便得到因素與交互作用不會混雜的表頭設(shè)計。 按以上表頭設(shè)計，把試驗方案和試驗結(jié)果列于下表：列號 因 素試驗號ABABCACD產(chǎn)量123456712345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121125025125125-100-50-2575325-100-7530012510050175200251507510012581.25-25-18.757531.252512.543.75506.2537.518.752531.25425375251251757525由上表可以看到的好條件為第3、4號試驗，即和。由極差一行可知，因素的主次順序為A，B，AC，C，D，AB。從主次順序看A為首要因素，因，取A的最優(yōu)水平；類似地，取B的最優(yōu)水平；而因素C比交互作用AC還次要，因此C的水平的選取還要由AC決定。為此先計算因素A與C的搭配表，如下表所示： 由上表知，為最優(yōu)搭配，故取C的最優(yōu)水平，對最次要因素D，可以從方便、經(jīng)濟的角度出發(fā)在2水平中任取一個，記為。故由上個表中的數(shù)據(jù)經(jīng)計算的最優(yōu)條件為。四、正交試驗設(shè)計的方差分析 前面介紹了對正交試驗的結(jié)果進行直觀分析的方法，其優(yōu)點是簡單、直觀、計算量較小，便于普及和推廣，對于生產(chǎn)實際中的一般問題用直觀分析法能夠得到很好地解決。但直觀分析法不能估計試驗過程中以及試驗結(jié)果測定中必然存在的誤差大小，因而不能真正區(qū)分某因素各水平所對應(yīng)的試驗結(jié)果的差異究竟是由于水平的改變所引起的，還是由于試驗誤差所引起的。因此，直觀分析法得到的結(jié)論不夠精確。而且，對影響試驗結(jié)果的各因素的重要程度，不能給出精確的數(shù)量估計，也不能提供一個標準來考察、判斷因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著。特別，對于水平數(shù)大于等于3且要考慮交互作用的試驗，直觀分析法不便于使用。 下面介紹的方差分析法能夠彌補直觀分析法的這些不足。 若用正交表安排試驗，且每列同水平的試驗次數(shù)為，總試驗次數(shù)為，試驗結(jié)果為，試驗結(jié)果的總偏差平方和記為 其中 記 稱為第列因素的偏差平方和，若因素A安排在第列上，也記?？梢宰C明 且與的自由度分別為， AB交互作用列偏差平方和的自由度。 正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素引起的，因此應(yīng)是誤差引起的。故誤差平方和為所有空白列的偏差平方和之和。的自由度為 各因素（包括交互作用）的自由度之和 檢驗第列因素對試驗結(jié)果是否有顯著影響的統(tǒng)計量是 其中 。 對于給定的顯著性水平，若由樣本觀察值計算出的，則認為該列安排的因素對試驗結(jié)果影響顯著。否則，認為影響不顯著。 在實際應(yīng)用中，一般先計算出各列的，若，就認為第列影響不顯著，并把當做誤差平方和與合并；若有幾列都是如此，則把這些列的加起來當做誤差平方和與合并在一起作為新的誤差平方和，相應(yīng)的自由度與合并作為的自由度，然后再構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量 若，則認為該列安排的因素對試驗結(jié)果影響顯著。否則，認為影響不顯著。例4 苯酚合成工藝條件試驗。某化工廠為提高苯