圓錐曲線中的最值和范圍問題.doc

第十九講 圓錐曲線中的最值和范圍問題高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a0,b0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.93拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 32 .6對于拋物線y2=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是( B )（A）（，0） （B）（，2 （C）0，2 （D）（0，2）高考要考什么【熱點透析】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構思；（5）結合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點的坐標； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構造一個二次方程，利用判別式D0。突破重難點【例1】已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x0）（）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為xx0，此時A（x0，），B（x0，），2 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1有兩個不相等的正數(shù)根，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22綜上可知的最小值為2【例2】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是右焦點，當取得最小值時，試求B點的坐標。解：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為所以，當取得最小值時，B點坐標為【例3】已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因為Q在橢圓上移動，所以-1y1，故當時，此時【點睛】1.與圓有關的最值問題往往與圓心有關；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。【例4】已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對應的準線方程為 橢圓中心在原點，所求方程為 (2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角【例5】長度為（）的線段的兩個端點、分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且（為常數(shù)且）（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡類型；（2）當=2時，已知直線與原點O的距離為，且直線與軌跡有公共點，求直線的斜率的取值范圍答案：(1)設、，則，由此及，得，即 （*）當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓當時，方程（*）的軌跡是焦點為以O點為圓心，為半徑的圓（2）設直線的方程：，據(jù)題意有，即由得 因為直線與橢圓有公共點，所以 又把代入上式得 ：【例6】橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率, 過點C（1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面積；（2）當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。解：（1）設橢圓E的方程為( ab0 )，由e =a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 設A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（1，0）分向量的比為2， 即 由消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)兩點得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,當且僅當SOAB取得最大值此時 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2將x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 橢圓方程x2 + 3y2 = 5 【例7】我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點求證：當取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2）設，則， ， 的最小值只能在或處取到 即當取得最小值時，在點或處