高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識基本方法總結(jié).doc

高 中 數(shù) 學(xué) 基本知識基本思想基本方法一、集合與簡易邏輯1.必須弄清集合的元素是什么，是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？ ；2.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；3.一個語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；4.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價命題 ，逆命題與其否命題是等價命題 ，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假；5.判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價法：即利用等價關(guān)系判斷，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法；6.（1）含n個元素的集合的子集個數(shù)為2n,真子集（非空子集）個數(shù)為2n1；（2） （3）二、函數(shù): 研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。1.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知f(x)的定義域為a，b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定義域為a,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時，求g(x)的值域（即 f(x)的定義域）；（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；2.函數(shù)的奇偶性（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(x)=;（2）定義域含零的奇函數(shù)必過原點（可用于求參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)f(-x)=0或（f(x)0）; (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性；（5）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對稱性）(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=x+a)的對稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對xR時，f(a+x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；（6）函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x=對稱；4.函數(shù)的周期性(1)y=f(x)對xR時，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對xR時，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；5.方程k=f(x)有解kD(D為f(x)的值域)；6.af(x) af(x)max,; af(x) af(x)min;7.（1） (a0,a1,b0,nR+);(2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;(4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );8.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。9.判斷對應(yīng)是否為映射時，抓住兩點：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10.對于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為A，值域為B，則有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系；12.恒成立問題的處理方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；13.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：；函數(shù)(b ac0)）定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性當(dāng)b-ac0時:分別在上單調(diào)遞減；當(dāng)b-ac0,b0)時要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些變形，如；七、直線和圓的方程1.設(shè)三角形的三個頂點是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,則ABC的重心G為（）；2.直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0；3.兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件 ：A=C0且B=0且D2+E24AF0；5.過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;7.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；（2）作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解；八、圓錐曲線方程1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓（ab0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為雙曲線（a0,b0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當(dāng)P點在右支上時，；（2）當(dāng)P點在左支上時，；（e為離心率）；另：雙曲線（a0,b0）的漸進線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；y2=2px(p0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；5.共漸進線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準(zhǔn)距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準(zhǔn)距為p; 雙曲線（a0，b0）的焦點到漸進線的距離為b;8.中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為Ax2+Bx21；9.拋物線y2=2px(p0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.過橢圓（ab0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦；11.對于y2=2px(p0)拋物線上的點的坐標(biāo)可設(shè)為（，y0）,以簡化計算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（ab0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a0，b0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p0)拋物線有KAB13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數(shù)法：當(dāng)動點P（x,y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。九、直線、平面、簡單幾何體1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影AB成，設(shè)BAC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；6.二面角的求法（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。7.空間距離的求法（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+FE=2；并且棱數(shù)E各頂點連著的棱數(shù)和的一半各面邊數(shù)和的一半；12.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；十、排列組合和概率1.排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),當(dāng)m=n時為全排列=n(n-1)(n-2)3.2.1;2.組合數(shù)公式：（mn）,；3.組合數(shù)性質(zhì)：；4.常用性質(zhì)：n.n!=(n+1)!-n!;即（1rn）;5.二項式定理：（1）掌握二項展開式的通項：（2）注意第r1項二項式系數(shù)與第r1系數(shù)的區(qū)別；6.二項式系數(shù)具有下列性質(zhì)：(1) 與首末兩端等距離的二項式系數(shù)相等；(2) 若n為偶數(shù)，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)最大；（3）7.F(x)=(ax+b)n展開式的各項系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為；8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）；（2）互斥事件分別發(fā)生的概率公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式為P(AB)P(A)P(B)；（4）獨立重復(fù)試驗概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥，那么事件A與、與及事件與也都是互斥事件；（6）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（6）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1P（）1P()P()；理科選修內(nèi)容基本知識十、概率與統(tǒng)計1.理解隨機變量，離散型隨機變量的定義，能夠?qū)懗鲭x散型隨機變量的分布列,由概率的性質(zhì)可知，任意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：（1）pi0,i=1,2,; (2) p1+p2+=1;2.二項分布：記作B（n,p）,其中n,p為參數(shù)，并記；3.記住以下重要公式和結(jié)論：x1X2xnPP1P2Pn（1）期望值E x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差D ;（3）標(biāo)準(zhǔn)差；（4）若B（n,p）,則Enp, Dnpq,這里q=1- p;4.掌握抽樣的三種方法：（1）簡單隨機抽樣（包括抽簽法和隨機數(shù)表法）；（2）系統(tǒng)抽樣，也叫等距離抽樣；（3）分層抽樣，常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的情形；5.總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；十一、極限1.與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，其步驟是：（1）驗證命題對于第一個自然數(shù)nn0 (kn0)時成立；(2)假設(shè)n=k時成立，從而證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，（3）得出結(jié)論。數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可。第二步證明時要一湊假設(shè)，二湊結(jié)論；2. 數(shù)列極限（1）掌握數(shù)列極限的直觀描述性定義；（2）掌握數(shù)列極限的四則運算法則，注意其適用條件：一是數(shù)列anbn的極限都存在；二是僅適用于有限個數(shù)列的和、差、積、商，對于無限個數(shù)列的和（或積），應(yīng)先求和（或積），再求極限；（3）常用的幾個數(shù)列極限：（C為常數(shù)）；，（1,q為常數(shù)）; (4)無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式（0）;3.函數(shù)的極限：（1）當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)的極限為a （2）當(dāng)時函數(shù)的極限為a:（3）掌握函數(shù)極限的四則運算法則；4.函數(shù)的連續(xù)性：（1）如果對函數(shù)f(x)在點x=x0處及其附近有定義，而且還有，就說函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)；（2）若f(x)與g(x)都在點x0處連續(xù)，則f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)也在點x0處連續(xù)；（3）若u(x)在點x0處連續(xù)，且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)fu(x)在點x0處也連續(xù)；5.初等函數(shù)的連續(xù)性：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都屬于基初等函數(shù),基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)每一點處都連續(xù);基本初等函數(shù)及常數(shù)函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和復(fù)合后所得到的函數(shù),都是初等函數(shù).初等函數(shù)在定義域內(nèi)每一點處都連續(xù);連續(xù)函數(shù)的極限運算:如果函數(shù)在點x0處有極限，那么；十二、導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的定義：f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)記作；2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)步驟為： （1）求函數(shù)的增量（2）(2)求平均變化率; （3）取極限,得導(dǎo)數(shù);3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)；但是y=f(x)在點x0處連續(xù)卻不一定可導(dǎo)；4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線yf（x）在點P（x0,f(x0)）處的切線的斜率是相應(yīng)地，切線方程是5.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：6.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 7.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：8.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用： （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果那么f(x)為增函數(shù)；如果那么f(x)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有那么f(x)為常數(shù)；（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢驗在方程根的左右的符號，如果左正右負，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得最大值；如果左負右正，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得最小值；（3）求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟：求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將y=f(x)在各極值點的極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值。十四、復(fù)數(shù)1.理解復(fù)數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、模、輻角、輻角主值、共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何表示；2.熟練掌握、靈活運用以下結(jié)論：(1)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR);(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件：z=a+biRb=0 (a,bR);zRz=;zRz20;3.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件: z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR); z是純虛數(shù)z0（z0）;z是純虛數(shù)z20;4.解答復(fù)數(shù)問題，要學(xué)會從整體的角度出發(fā)去分析和求解（整體思想貫穿整個復(fù)數(shù)內(nèi)容）。如果遇到復(fù)數(shù)就設(shè)z=a+bi(a,bR),則有時會給問題的解答帶來不必要的運算上困難，若能把握住復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)，充分運用整體思想，則能事半功倍；5.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運算：（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算按以下法則進行，設(shè)z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR) ; z 1 z2 = (a + b) (c + d)i. z1.z2 = (a+bi) (c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)I ; z1z2 = (z20) ;6.幾個重要的結(jié)論：6.運算律仍然成立：（1）7.進行復(fù)數(shù)的運算時，常要注意或適當(dāng)變形創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于計算問題.注意以下結(jié)論的靈活應(yīng)用： 8.；中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想一、 函數(shù)方程思想函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。1.函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想；2.應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；3.函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。二、 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。1.數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短。2.恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。這就是說：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。3.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。4.華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性,或者借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.5.把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關(guān)于這個方面的考查（即用代數(shù)方法研究幾何問題）。而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。6.我們要抓住以下幾點數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：(1) 對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；(2) 對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點，頂點是關(guān)鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；(3) 對于以下類型的問題需要注意：可分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進行轉(zhuǎn)化達到解題目的。三、 分類討論的數(shù)學(xué)思想分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。1.有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；（2）運用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；（3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；（4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。2.分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利于問題研究。四、 化歸與轉(zhuǎn)化思想所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變化轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有1.通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在一個平面內(nèi)，實現(xiàn)點線、線線、線面、面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化；2.平移和射影，通過平移或射影達到將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化未知為已知的目的；3.等積與割補；4.類比和聯(lián)想；5.曲與直的轉(zhuǎn)化；6.體積比，面積比，長度比的轉(zhuǎn)化；7.解析幾何本身的創(chuàng)建過程就是“數(shù)”與“形”之間互相轉(zhuǎn)化的過程。解析幾何把數(shù)學(xué)的主要研究對象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來，把代數(shù)與幾何融合為一體。中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法1. 配方法配方法是指將一代數(shù)形式變形成一個或幾個代數(shù)式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=.高考中常見的基本配方形式有：（1） a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; （2） （2） a2+ b2+ ab =; （3） （3）a2+ b2+c2= (ab + c)2- 2 ab 2 a c 2 bc; （4） (4) a2+ b2+ c2- a b bc a c = ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2; （5） ;配方法主要適用于與二次項有關(guān)的函數(shù)、方程、等式、不等式的討論，求解與證明及二次曲線的討論。2.待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是把具有某種確定性時的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決。待定系數(shù)法的主要理論依據(jù)是：（1）多項式f(x)=g(x)的充要條件是：對于任意一個值a，都有f（a）g(a);（2）多項式f(x) g(x)的充要條件是：兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等； 運用待定系數(shù)法的步驟是：（1）確定所給問題含待定系數(shù)的解析式（或曲線方程等）；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； （3）解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決； 待定系數(shù)法主要適用于：求函數(shù)的解析式，求曲線的方程，因式分解等。3.換元法換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量（或代數(shù)式），對新的變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果。換元法通過引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}。其理論根據(jù)是等量代換。高中數(shù)學(xué)中換元法主要有以下兩類：（1）整體換元：以“元”換“式”； （2）三角換元 ，以“式”換“元”；（3）此外，還有對稱換元、均值換元、萬能換元等；換元法應(yīng)用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函數(shù)的值域，求數(shù)列的通項與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用。運用換元法解題時要注意新元的約束條件和整體置換的策略。4.向量法向量法是運用向量知識解決問題的一種方法，解題常用下列知識：（1）向量的幾何表示，兩個向量共線的充要條件；（2）平面向量基本定理及其理論；（3）利用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；（4）兩點間距離公式、線段的定比分點公式、平移公式；5.分析法、綜合法（1）分析法是從所求證的結(jié)果出發(fā)，逐步推出能使它成立的條件，直至已知的事實為止；分析法是一種“執(zhí)果索因”的直接證法。（2）綜合法是從已經(jīng)證明的結(jié)論、公式出發(fā)，逐步推出所要求證的結(jié)論。綜合法是一種“由因?qū)Ч?，敘述流暢的直接證法。（3）分析法、 綜合法是證明數(shù)學(xué)問題的兩大最基本的方法。分析法“執(zhí)果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解題路子，但書寫格式要求較高，不容易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常交替使用。分析法、 綜合法應(yīng)用很廣，幾乎所有題都可以用這兩個方法來解。6.反證法反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法，因為命題p與它的否定非p的真假相反，所以要證一個命題為真，只要證它的否定為假即可。這種從證明矛盾命題（即命題的否定）為假進而證明命題為真的證明方法叫做反證法。 反證法證明的一般步驟是：（1）反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）歸謬：從命題的條件和所作的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過正確的推理論證,得出矛盾的結(jié)果；（3）結(jié)論：有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定的結(jié)論正確； 反證法的適用范圍：（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少時的命題；（2）結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更簡單的命題，特別是結(jié)論是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命題；（3）涉及各種無限結(jié)論的命題；（4）以“最多（少）、若干個”為結(jié)論的命題；（5）存在性命題；（6）唯一性命題；（7）某些定理的逆定理；（8）一般關(guān)系不明確或難于直接證明的不等式等。 反證法的邏輯依據(jù)是“矛盾律”和“排中律”。7.另外:還有數(shù)學(xué)歸納法、同一法、整體代換法等.在高考備考的過程中，熟化這些解題小結(jié)論，防止解題易誤點的產(chǎn)生，對提升高考數(shù)學(xué)成績將會起到較大的作用 1求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？ 2函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論： 3原函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù) 也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào) 4判斷函數(shù)的奇偶性時你注意函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？ 5根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范格式是什么？(取值, 作差, 判正負.) 6. 你知道函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在 或 上單調(diào)遞增；在 或 上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！ 7.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀. 8.你知道判斷對數(shù) 符號的快捷方法嗎？ 9.“實系數(shù)一元二次方程 有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“ ”，你是否注意到必須 ；當(dāng)a=0時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為 若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？ 10.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？ 11.在三角中，你知道1等于什么嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用 12.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次） 13. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？( ) 14. 在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？ 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是 . 直線的傾斜角、 到 的角、 與 的夾角的取值范圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是 15. 分式不等式 的一般解題思路是什么？（移項通分） 16. 解指對不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 對數(shù)的真數(shù)大于零.） 17. 利用重要不等式 以及變式 等求函數(shù)的最值時，你是否注意到a，b （或a ，b非負），且“等號成立”時的條件，積ab或和ab其中之一應(yīng)是定值？ 18. 在解含有參數(shù)的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底 或 ）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是 20. 等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若