九級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題--輔助線.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除圓 專題一 輔助線1 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理； 2、利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形； 5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，是O的直徑,POAB交O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PMPN=2PO2.分析：要證明PMPN=2PO2，即證明PMPC =PO2，過(guò)O點(diǎn)作OCPN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明PMPC=PO2，要證明PMPC=PO2只需證明RtPOCRtPMO.證明: 過(guò)圓心O作OCPN于C，PC= PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=90.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A=45，BC=2，求O的面積。 【例2】如圖，O的直徑為10，弦AB8，P是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是_【例3】如圖，弦AB的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_.2 遇到有直徑時(shí)常常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在ABC中，C=90，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N（1） 求證：BABM=BCBN；（2） 如果CM是O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時(shí)，求AB的值分析：要證BABM=BCBN，需證ACBNMB，而C=90，所以需要NMB中有個(gè)直角，而B(niǎo)N是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得BMN=90。MNOCA（1） 證明：連結(jié)MN，則BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN（2） 解：連結(jié)OM，則OMC=90N為OC中點(diǎn)BMN=ON=OM，MON=60OM=OB，B=MON=30ACB=90，AB=2AC=23=6【例4】如圖，AB是O的直徑，AB=4，弦BC=2, B= 3 遇到90的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90，AB=6，AC=8，O的半徑是 5 遇到有切線時(shí)（1）常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形?！纠?】如圖，AB是O的直徑，弦AC與AB成30角，CD與O切于C，交AB的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD6 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過(guò)半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說(shuō)，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過(guò)半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí), 往往需要通過(guò)作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問(wèn)題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無(wú)點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7已知：如圖，AB是O的直徑，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90.求證：DC是O的切線.分析：DC與O沒(méi)有交點(diǎn)，“無(wú)點(diǎn)作垂線”，過(guò)圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需證明DEODAO證明：作OEDC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又DOC= 90. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分線. OADA，OEDC，OA=OE=圓的半徑. DC是O的切線.2有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8已知：如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，有點(diǎn)連圓心，連結(jié)DO，證明DODC即可. 證明：連結(jié)DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC為O的切線，切點(diǎn)為BOBC=90， ODC=90，又D在O上，CD是O的切線.【例7】如圖所示，已知AB是O的直徑，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求證：直線L與O相切。 【例8】如圖，ABO中，OA= OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F 求證：AB是O切線；7 遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形?！纠?】如圖，P是O外一點(diǎn)，PA、PB分別和O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作O的切線分別交PA、PB于D、E，若PDE的周長(zhǎng)為12，則PA長(zhǎng)為_(kāi)8 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等?！纠?0】如圖，ABC中，A=45，I是內(nèi)心，則BIC= 【例11】如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離9 遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。課后沖浪1已知：P是O外一點(diǎn)，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.2如圖，ABC中，C=90，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圓O的半徑.3已知：ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切.4如圖，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問(wèn)：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？5如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓