素材：高中數(shù)學備課參考數(shù)學通報數(shù)學問題解答0003.doc

2000年第 3期數(shù)學通報 數(shù)學問題解答 2000年 2月號問題解答 而 sin2A = (解答由問題提供人給出 ) 12361設 f (x )= (x 2+ 2x + 3) x +3 + (x 2+ 2x + 2 3) x ,當 x R 證明 : f (x ) 621 -B )-cos C + 2證明 x 2+ 2x + 3= 對 x R= 2+ cosC co s (A -B )-cos 2C 2+ cosC -cos C 13時, f (x ) 0+ 2x 2 29 6,這=-(1co sC 1-12 )22+ 94 94 時命題成立 123811已知 1ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑2當 x -3時, 分別為 R和 r,求證 : f (x )=(x + 1)2+ 2x + 3+(x + 1)2+ 2x 2cosA co sB co sCR 令 x + 1= t,由 x +30,則 t+20sin2A + sin2B + sin2C r .那么 f (x )= g ( t)= ( t2+ 2) t+2 + ( t2+ 證明設 a, b, c為 ABC的三邊長 ,則 1) 2 b22) (t-+ c 2(b+ c)2 +2a +2a2(b+ c),22 a 2a -2t+1 -2t2t+ 2+ 2t=42t+22t2 = (2t+2t+2t+2t)+ (2t2-2t+2t2-2t) b2+ ac 2(b+ c-a),22 22t2 6 6 20= 6.同理可得 c + a 2(c+ a-b),6 b 當且僅當 t=0時取等號 a 2+ b2 2(a+ b-c).立由 1,2兩步本命題對一切 x R均成以上三式相加 ,c 便得 12371設 ha , hb, hc分別為 ABC的三邊 a, b, c的b2+ c 2+ c 2+ a 2+ a 2+ b2 2(a+ b+ c).abc b + hc 29高試證 : h2 a 2 2,其中 表示三元循環(huán)根據(jù)正弦定理、余弦定理及三角形恒等式 和abc=2Rr (a+ b+ c),并利用前式可得 證明由三角形面積公式 ,有 co sA co sB co sC 1 abc sin2A + sin2B + sin2C = aha =.222 224R 2R 2(b2+ cc + aa + b2 = +-a-b-c) 于是 hb 2+2 hc 2= 42 (2bb22+2 c 2) abc ab c a ac 2R 2(a+ b+ c) R=.b2+ c 2 abc r =4R 2 故原不等式成立 ,且易知式中等號當且僅當 =2R 12 a 2 ABC為正三角形時成立 12391在凸四邊形 A B CD的邊 AB , CD上各有一=2sin2A .AM CN 從而知 ,證式等價于 動點 M、N ,如果 MB = ND ,那么 M CD , NABsin2A 9 的面積之和恒為定值 4證明先用一個引理 :在四邊形 A B CD中, AB MN DC 若AB = a, DC = b, AM = m ,則MD n MN = m ab+ bna (見圖 ,證明簡單 ,從略 ) 再回到正題上來 :作 DD CC 垂直 ,垂足為 D 、N DD .NN 兩邊同乘以 2 AB S N AB =m S ABC + nS ABD m + n (AC、BD未連結(jié)是為了簡化圖形 ) BM m顯然 MA = n ,類似地必然有 : m S ADC + nS BDC S M CD = m + n S M CD + S NAD m (S ABC + S ADC )+ n (S ABD + S BDC ) = m + n = S ABCD m +(mn + n)= S ABCD (定值 ) 12401能否在單位正方形中放置 200個點 ,使其1內(nèi)部任一個面積為 100的小正方形都含有至少一個已給的點 ?解結(jié)論是肯定的 ,下面給出證明 設單位正方形 Q = (x , y ) 1 0x 1, 0y 1,在直線 y = k (k = 1, 2, , 14)上均勻放置 1415 個點 :( tk ),1t1415, 15如圖 1,對一個邊長為 a的正方形 ,其內(nèi)切圓半徑為 a 2,半徑為 a 的內(nèi)切圓 ,2其內(nèi)接正方形邊長為 2 2 a.對單位正方形內(nèi)的任一個面積為 1 的小正方形 ,其內(nèi)切圓半徑為 1 10020,1這個半徑為 20的內(nèi)切圓 ,有一個邊與單位正方形邊平行的內(nèi)接小正方形 ,其邊長為 20 2 21 20 15k (1k 14)之15 間,它必與某條線段相交 ,則它覆蓋這條線段的長21度為 15,因此其蓋住某一已給點 20 所以邊長為 202 的小正方形內(nèi)含有一個已1給點 ,即面積為 100的小正方形含有一個已給點 2000年 3月號問題 (來稿請注明出處 編者 ) 12411求函數(shù) y = sinnx + cos nx (nN )的最值 (丁鳳桂提供 ) 12421求最大的正整數(shù) n,使得 n 2+ 2000n是一個完全平方數(shù) (袁金提供 ) 12431在 ABC中, ABC = A CB = 40, P , Q為形內(nèi)兩點 , PA B = QA C = 20, P CB = Q CA = 10,求證 : B , P , Q三點共線 (田永海提供 ) 12441設 xi 1000, 2000, i= 1, 2, , n (n 2) ,則有 n 2 xi x 1 i 98 n 2,且左等號成立 ni=1 x 1= = x ni=n1 1000, 2000;右等號成立 n是偶數(shù) ,且#i: xi= 1000= # i: xi= 2000= n/2. (崔恒建提供 ) 12451設雙圓四邊形 A B CD , A