高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線與方程3.2拋物線3.2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件

3 2 1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 一 拋物線定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l l不過(guò)F 的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線 定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn) 定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線 名師點(diǎn)撥1 拋物線的定義可歸納為 一動(dòng)三定 一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 設(shè)為點(diǎn)M 一個(gè)定點(diǎn)F 即拋物線的焦點(diǎn) 一條定直線 即拋物線的準(zhǔn)線 一個(gè)定值 即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù)1 2 注意定點(diǎn)F不在定直線l上 否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線 而是過(guò)點(diǎn)F與l垂直的一條直線 一 二 思考辨析 做一做1 過(guò)點(diǎn)A 3 0 且與y軸相切的圓的圓心軌跡為 A 圓B 橢圓C 直線D 拋物線解析 如圖 設(shè)P為滿足條件的一點(diǎn) 不難得出結(jié)論 P到A點(diǎn)的距離等于到y(tǒng)軸的距離 故P在以A為焦點(diǎn) y軸為準(zhǔn)線的拋物線上 故P的軌跡為拋物線 故選D 答案 D 一 二 思考辨析 二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 名師點(diǎn)撥1 p 的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 所以p的值恒大于0 2 只有頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程 一 二 思考辨析 做一做2 拋物線y x2的準(zhǔn)線方程是 A y 1B y 2C x 1D x 2解析 拋物線x2 4y的準(zhǔn)線方程為y 1 答案 A 一 二 思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線 2 拋物線y 8x2的準(zhǔn)線方程是y 2 3 若拋物線的方程為y2 4x 則其中的焦參數(shù)p 2 4 拋物線y 6x2的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上 探究一 探究二 探究三 思維辨析 求拋物線方程 例1 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 過(guò)點(diǎn) 3 2 2 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 焦點(diǎn)在直線x 2y 4 0上 思維點(diǎn)撥 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 要根據(jù)所給的條件確定其類型 設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程形式 然后求出參數(shù)p 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 直線x 2y 4 0與x軸的交點(diǎn)為 4 0 與y軸的交點(diǎn)為 0 2 故拋物線的焦點(diǎn)為 4 0 或 0 2 所以p 8 所以拋物線方程為y2 16x 所以p 4 所以拋物線方程為x2 8y 反思感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般采用待定系數(shù)法 即先定位 確定拋物線的開(kāi)口方向 再定量 確定參數(shù)p的值 若已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求出p值即可 若無(wú)法定位 則需分類討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 焦點(diǎn)在y軸上 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5 2 已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上 可設(shè)方程為x2 2my m 0 由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5 知 m 5 m 5 所以滿足條件的拋物線有兩條 它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2 10y和x2 10y 探究一 探究二 探究三 思維辨析 拋物線定義的應(yīng)用 例2 設(shè)點(diǎn)P是拋物線y2 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) F為拋物線的焦點(diǎn) 1 求點(diǎn)P到點(diǎn)A 1 1 的距離與點(diǎn)P到直線x 1的距離之和的最小值 2 若點(diǎn)B的坐標(biāo)為 3 2 求 PB PF 的最小值 思維點(diǎn)撥 1 中將點(diǎn)P到直線x 1的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離 2 中將點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 如圖 所示 易知拋物線的焦點(diǎn)為F 1 0 準(zhǔn)線方程是x 1 由拋物線的定義知 點(diǎn)P到直線x 1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 在曲線上求一點(diǎn)P 使點(diǎn)P到點(diǎn)A 1 1 的距離與點(diǎn)P到F 1 0 的距離之和最小 顯然 連接AF AF與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P 圖 圖 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 如圖 所示 把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2 4x中 得y 2 因?yàn)? 2 所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部 過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線 垂足為點(diǎn)Q 交拋物線于點(diǎn)P1 連接P1F 此時(shí) 由拋物線定義知 P1Q P1F 所以 PB PF P1B P1Q BQ 3 1 4 即 PB PF 的最小值為4 反思感悟本題是將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 從而構(gòu)造出 兩點(diǎn)之間線段最短 或 垂線段最短 使問(wèn)題解決 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2若點(diǎn)P到點(diǎn)F 0 2 的距離比它到直線y 4 0的距離小2 則點(diǎn)P的軌跡方程為 A y2 8xB y2 8xC x2 8yD x2 8y解析 由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)F 0 2 的距離比它到直線y 4 0的距離小2 因此點(diǎn)P到點(diǎn)F 0 2 的距離與到直線y 2 0的距離相等 故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn) y 2為準(zhǔn)線的拋物線 P的軌跡方程為x2 8y 選C 答案 C 探究一 探究二 探究三 思維辨析 拋物線的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 例3 一輛卡車高3m 寬1 6m 欲通過(guò)斷面為拋物線形的隧道 如圖所示 已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍 若拱寬為am 求能使卡車通過(guò)的a的最小整數(shù)值 思維點(diǎn)撥 要求拱寬a的最小值 需先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 寫(xiě)出拋物線的方程 再利用方程求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 以拱頂為原點(diǎn) 拱高所在直線為y軸 建立直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè)拋物線方程為x2 2py p 0 則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 又點(diǎn)B在拋物線上 解得a 12 21 因?yàn)閍取整數(shù) 所以a的最小值為13 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟解決與拋物線有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí) 一般可根據(jù)題意 或圖形 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 依據(jù)題意得到拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo) 從而可求出拋物線的方程 繼而利用其幾何性質(zhì)進(jìn)行推理 運(yùn)算 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3下圖是拋物線形拱橋 當(dāng)水面在l時(shí) 拱頂離水面2m 水面寬4m 水位下降1m后 水面寬m 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 使拱橋的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為 0 0 設(shè)l與拋物線的交點(diǎn)為A B 根據(jù)題意 知A 2 2 B 2 2 設(shè)拋物線的解析式為y ax2 則有 2 a 2 2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因?qū)佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程理解不正確而致誤 典例 設(shè)拋物線y mx2 m 0 的準(zhǔn)線與直線y 1的距離為3 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 易錯(cuò)分析 對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征沒(méi)有理解清楚 受二次函數(shù)的影響 以為y mx2就是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 從而得到準(zhǔn)線為y 的錯(cuò)誤結(jié)論 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 8y或x2 16y 糾錯(cuò)心得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式 要找準(zhǔn)拋物線的焦點(diǎn)的位置及它的開(kāi)口方向 最好畫(huà)出示意圖 就不會(huì)出錯(cuò)了 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練拋物線y x2的準(zhǔn)線方程是 A y 1B y 2C x 1D x 2解析 因?yàn)閽佄锞€y x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 4y 所以準(zhǔn)線方程為y 1 答案 A 12345 1 拋物線y2 8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 A 1B 2C 4D 8解析 拋物線y2 8x 2p 8 即p 4 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 答案 C 12345 2 設(shè)拋物線y2 8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4 則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 A 4B 6C 8D 12解析 如圖所示 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F 2 0 準(zhǔn)線方程為x 2 由拋物線的定義知 PF PE 4 2 6 答案 B 12345 3 已知點(diǎn)P在拋物線y2 4x上 那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q 2 1 的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為 解析 將點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離 過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)R 由拋物線的定義知 PQ PF PQ PR F為焦點(diǎn) 當(dāng)P Q R三點(diǎn)共線時(shí) PQ PR 取得最小值 最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離 因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x 1 故最小值為3 答案 3 12345 4 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸的正半軸上 拋物線上的點(diǎn)M 3 m 到焦點(diǎn)的距離等于5 則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值分別為和 12345 因此拋物線方程為y2 8x 又點(diǎn)M 3 m 在拋物線上 12345 5 某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成 尺寸如圖所示 某卡車空車時(shí)能通過(guò)此隧道 現(xiàn)載一集裝箱 箱寬3m 車與箱共高4 5m 問(wèn)此車能否通過(guò)該隧道 說(shuō)明理由 12345 解 在以拋物線的頂點(diǎn)為坐