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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò),僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除“基本不等式”教學(xué)設(shè)計一 教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(5)(人教A版)第三章第4節(jié)第一課時,主要內(nèi)容為基本不等式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用它以前面已學(xué)習(xí)的有關(guān)不等式的基本知識為依據(jù),從利用基本不等式求最值這個側(cè)面來體現(xiàn)基本不等式的應(yīng)用,而且在基本不等式的推導(dǎo)過程中滲透了分析法的解題方法,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)推理與論證的內(nèi)容埋下伏筆,同時在公式推導(dǎo)過程中滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法,此內(nèi)容都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)二學(xué)情分析學(xué)生有了不等式的基本知識作為鋪墊,對不等式的學(xué)習(xí)已具備基本的認識,而基本不等式來自生活,是從生活中抽象而來的,只要我們選材得當,能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,學(xué)生也能夠較容易理解基本不等式的推導(dǎo),且達到滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的三目標分析教學(xué)目標:1學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是:當且僅當這兩個數(shù)相等2探索并了解基本不等式的證明過程,在基本不等式的證明過程體會從特殊到一般的思維過程,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3培養(yǎng)學(xué)生生活問題數(shù)學(xué)化,并注重運用數(shù)學(xué)解決生活中實際問題的意識,有利于數(shù)學(xué)生活化、大眾化,同時通過學(xué)生自身的探索研究,領(lǐng)略獲取新知的喜悅教學(xué)重難點:本節(jié)課教學(xué)重點是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式的證明過程教學(xué)難點是基本不等式等號成立條件四教學(xué)策略本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想,層層深入,通過學(xué)生自主探究,分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路同時,借助多媒體的直觀演示,幫助學(xué)生理解,并通過教師的點撥引導(dǎo),師生互動、講練結(jié)合,從而突出重點、突破難點教法: 問題引導(dǎo)、啟發(fā)探究和歸納總結(jié)相結(jié)合學(xué)法: 自主學(xué)習(xí)與合作討論相結(jié)合教學(xué)手段: 黑板板書為主結(jié)合多媒體輔助教學(xué)五教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境 引入課題填寫下表,與的大小關(guān)系 【問題1】觀察與的大小關(guān)系,從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?猜想得到結(jié)論:一般的,如果【問題2】你能給出它的證明嗎?證法1 用比較法證明: 作差 = 變形 = 判斷符號當且僅當,即時取 取等條件證法2 用分析法證明:要證 (1)只要證 (2)要證(2),只要證 0 (3)要證(3),只要證 (4)顯然,(4)是成立的當且僅當時,(4)中的等號成立設(shè)計意圖:通過引導(dǎo),讓學(xué)生去證明猜想的結(jié)果,進一步鞏固比較兩個代數(shù)式大小的方法,并讓學(xué)生明白歸納、猜想、證明是我們發(fā)現(xiàn)世界、認知世界的重要的思維方法師歸納:(1)如果把看作是正數(shù)的等差中項,看作是正數(shù)的等比中項,那么該定理可以敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.(2)在數(shù)學(xué)中,我們稱為的算術(shù)平均數(shù),稱為的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).自主探究 深化認識1.認識基本不等式的幾何背景【問題3】能否給基本不等式一個幾何解釋呢?探究:課本第110頁的“探究”在右圖中,是圓的直徑,點是上的一點,,過點作垂直于的弦,連接、你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?易證,那么,即.這個圓的半徑為,顯然,它大于或等于,即,其中當且僅當點與圓心重合,即時,等號成立.因此:基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”設(shè)計意圖:通過展示均值不等式的幾何直觀解釋,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識,并使抽象的問題更加直觀、形象,使學(xué)生進一步加深對均值不等式的理解2.拓廣探究(展示并介紹古代弦圖)同學(xué)們現(xiàn)在看到的是中國古代數(shù)學(xué)中著名的一副圖,叫做弦圖它是由我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計的早在1300多年以前,這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理,這是世界上最早證明勾股定理的方法之一弦圖不僅造型美觀,而且蘊藏著很多玄機(展示24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標)大家現(xiàn)在看到的是2002年在我們北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標這個會標設(shè)計源于古代弦圖它的色調(diào)明暗相間,使它看上去象一個風(fēng)車,這不但象征中國人民的熱情好客,同時也充分展現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)對世界所做出的重大貢獻今天咱們也來研究一下弦圖教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系1 探究圖形中的不等關(guān)系【問題4】請觀察會標圖形,圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們在面積上有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形中四個全等的直角三角形設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為那么正方形的邊長為這樣,4個直角三角形的面積的和是,正方形的面積為由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式:(利用多媒體演示會標圖形的變化,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四個直角三角形的面積之和小于或等于正方形的面積)【問題5】大家看,這個圖形里還真有點奧妙我們從圖中找到了一個不等式這里、的取值有沒有什么限制條件? 不等式中的等號什么時候成立呢?當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即時,正方形縮為一個點,這時有2得到結(jié)論:一般的,如果3思考證明:你能給出它的證明嗎?證明:因為 當所以,即師歸納:(1)從上述兩個不等式中,可以發(fā)現(xiàn),如果, 對于不等式,我們用分別、代替,可得,通常我們把上式寫作:(2)以上,我們是從數(shù)和形兩個角度充分分析了這個不等式.可見,數(shù)與形是一個事物的兩個方面設(shè)計意圖: 通過問題情境的設(shè)計激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力;其次,簡略介紹中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的生平,滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化實際運用 強化新知【例題】(1)用籬笆圍一個面積為100的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用的籬笆最短,最短的籬笆是多少?(2)一段長為36的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大最大面積是多少?分析:(1)當長和寬的乘積確定時,問周長最短就是求長和寬和的最小值(2)當長和寬的和確定時,求長與寬取何值時兩者乘積最大解:(1)設(shè)矩形菜園的長為 ,寬為,則 籬笆的長為2()由 ,可得 2()等號當且僅當,因此,這個矩形的長、寬為10時,所用籬笆最短,最短籬笆為40(2)設(shè)矩形菜園的長為,寬為,則2()=36,=18,矩形菜園的面積為,由 可得 ,可得等號當且僅當 因此,這個矩形的長、寬都為9時,菜園的面積最大,最大面積為81設(shè)計意圖:讓學(xué)生初步運用基本不等式解決實際問題, 通過對實際問題的解決讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活,同時又服務(wù)于生活回顧反思 拓展延伸1.課堂小結(jié)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法,小組之間互相補充完成課堂小結(jié),實現(xiàn)對基本不等式認識的再次深化體會從特殊到一般的研究方法;體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;體會歸納、猜想、證明的思維方法;掌握基本不等式,理解它的幾何背景,并能運用它解決實際問題設(shè)計意圖:小結(jié)的目的一方面讓學(xué)生再次回顧本節(jié)課的活動過程,重點和難點所在,另一方面,更是對探索過程的再認識,對數(shù)學(xué)思想方法的升華,對思維的反思,可為學(xué)生以后解決問題提供經(jīng)驗和教訓(xùn)2.作業(yè)布置必做題:P.1131、2、3、4選做題:1.已知都是正數(shù),求證:(1)如果積是定值,那么和有最小值,此時;(2)如果和是定值,那么積有最大值,此時2.當時不等式成立,若,則有不等式成立研究性作業(yè):(1)設(shè),稱為的調(diào)和平均數(shù)如圖,為線段上的點,且,為中點,以為直徑作半圓過點作的垂線,垂足為,連結(jié),則圖中線段 的長度是的算術(shù)平均數(shù),線段 的長度是的幾何平均數(shù),線段 的長度是的調(diào)和平均數(shù)(2)已知都是正數(shù),證明:設(shè)計意圖:分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時,拓展自主發(fā)展的空間,讓不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅,發(fā)揮自己的潛能六教學(xué)反思新課程的理念倡導(dǎo)學(xué)生積極主動地探索知識的發(fā)生、發(fā)展,但這必須是在教師的引領(lǐng)之下,否則學(xué)生很容易誤入歧途教師應(yīng)該盡力做好學(xué)生探究活動的引路人在設(shè)計這節(jié)課
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