離散時間信號的時域變換.doc

第七章離散信號與系統(tǒng)時域分析7-1離散信號及其時域特性一、離散時間信號如果信號僅在一些離散的瞬間具有確定的數(shù)值，則稱之為離散時間信號。若選取的離散瞬間是等間隔的，則一般常用f(kT)表示，其中k=0,1,2,；T為離散間隔。一般把這種按一定規(guī)則有秩序排列的一系列數(shù)值稱為序列，簡記為f(k)。本書僅討論這種等間隔的離散時間信號。離散時間信號可用序列f(k)表示。比如也可以用數(shù)據(jù)表格形式給出，如圖7-1(a)所示，或以圖形方式表示，如圖7-1(b)所示?？梢?，f(k)具有兩重意義：既代表一個序列，又代表序列中第k個數(shù)值。離散時間信號獲取的方式常有兩種：一種是連續(xù)時間信號離散化，即根據(jù)抽樣定理對連續(xù)時間信號進行均勻時間間隔取樣，使連續(xù)時間信號在不失去有用信息的條件下轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散時間信號，這是目前信號數(shù)字化處理中最常用的方法之一。另一種是直接獲取離散信號，比如計算機系統(tǒng)中記憶器件上儲存的記錄，地面對人造地球衛(wèi)星或其他飛行體的軌道觀測記錄以及一切統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，這都是一些各不相同的離散時間信號。二、離散時間信號的時域運算離散時間信號常有以下幾種運算。1.相加觀看動畫兩個離散信號f1(k)和f2(k)相加是指它們同序號的值逐項對應(yīng)相加，其和為一新的離散信號f(k)，即f(k)=f1(k)+f2(k) （7-1）例如，圖7-2(a)，(b)所示的離散時間信號和進行相加，其結(jié)果為用圖形表示如圖7-2(c)所示。離散時間信號的相加可用加法器實現(xiàn)。2.相乘兩個離散信號f1(k)和f2(k)相乘是指它們同序號的值逐項對應(yīng)相乘，其積為一新的離散信號f(k),即f(k)=f1(k)f2(k)(7-2)例如，圖7-2(a)，(b)中的f1(k)和f2(k)相乘，其結(jié)果為用圖形表示如圖7-2(d)所示。離散時間信號的相乘可用乘法器實現(xiàn)。3.數(shù)乘數(shù)乘是指對離散信號f(k)每一個取樣值均乘以一個實常數(shù)a,而得到一個新的離散信號y(k)，即通?？捎脭?shù)乘器或比例器來實現(xiàn)這種運算。4.累加和離散信號f(k)的累加和是指對f(k)進行多項值累加而得到一個新的離散信號y(k)，即累加和的運算可用累加器實現(xiàn)。三、離散時間信號的時域變換離散時間信號時域變換主要有以下幾種。1.移位觀看動畫移位是指將離散信號f(k)沿k軸逐項依次移m位而得到一新的離散信號y(k)，即式中，m為大于零的整數(shù)。若y(k)=f(k+m)，則y(k)比f(k)提前m位，對應(yīng)圖形左移m位；若y(k)=f(k-m)，則y(k)比f(k)延遲m位，對應(yīng)圖形右移m位。例如圖7-3(a)所示離散信號f(k)，即則其圖形相對f(k)右移2個序號，如圖7-3(b)所示。而其圖形相對f(k)左移2個序號，如圖7-3(c)所示。2.折疊折疊是將離散信號f(k)中變量k用-k取代而得到一新的離散信號y(k)，即從圖形上看是將f(k)以縱坐標為軸翻轉(zhuǎn)。例如對圖7-3(a)所示的f(k)進行折疊變換，所得結(jié)果y(k)=f(-k)，其圖形與圖7-3(c)所示圖形相同。3.倒相倒相是將離散信號f(k)乘以-1后而得到的另一離散信號y(k)，即從圖形上可以看出,倒相是將f(k)以橫坐標為軸進行翻轉(zhuǎn)的一種變換。例如圖7-3(a)所示f(k)的倒相結(jié)果如圖7-4(a)所示。4.展縮展縮是指將離散信號f(k)在時間序號上進行壓縮或擴展，即式中，a為非零值的正實常數(shù)。若a1，則所得y(k)在時間上比f(k)壓縮a倍；若0a1，則y(k)比f(k)在時間序號上擴展了1/a倍。需要注意的是，對f(k)進行展縮變換后所得序列y(k)可能會出現(xiàn)k為非整數(shù)情況，在此情況下舍去這些非整數(shù)的k及其值。例如圖7-3(a)所示f(k)，即則這里k不取奇數(shù)。其圖形如圖7-4(b)所示，可見y(k)比f(k)在時間序號上擴展了2倍。而其圖形如圖7-4(c)所示。由于出現(xiàn)的非整數(shù)序號，故舍去該點及其值，所得結(jié)果應(yīng)為可見，y(k)比f(k)在時間序號上壓縮了12。還應(yīng)指出，對于離散信號壓縮后再展寬不能恢復(fù)原序列。5.差分離散時間信號的差分是指序列f(k)與其移位序列f(km)的運算。一般有兩種：(1)f(k)的后向差分，記(一階后向差分)(二階后向差分)(2)f(k)的前向差分，記(一階前向差分)(二階前向差分)可見，差分實際上是離散信號時域變換與運算的綜合形式。四、常用的離散時間信號1.單位序列單位序列定義為其圖形如圖7-5所示?？梢娫撔蛄袃H在k=0處取單位值，其余點均為零值，因此又稱之為“單位取樣序列”、“單位函數(shù)”、“單位脈沖序列”等。單位序列作用類似于連續(xù)時間信號中的，也具有抽樣性，即但是與有本質(zhì)的差別：是一個奇異信號，可理解為一個在t=0處寬度無窮小、幅度無窮大、面積為1的窄脈沖，實際中無法實現(xiàn)。而是一個非奇異信號，它在k=0處取有限值1，這在實際工程中是完全存在的。2.單位階躍序列單位階躍序列定義為其圖形如圖7-6所示。可見單位階躍序列類似于連續(xù)時間信號中的單位階躍函數(shù)，它也是有截除性。即可將一個雙邊序列截為一個單邊序列同樣與也有本質(zhì)的差別：是一種奇異信號，它在t=0處發(fā)生躍變，；而是一種非奇異信號，它在k=0處明確定義為1。U(k)與有如下關(guān)系：3.單位矩形序列(門序列)單位矩形序列定義為對應(yīng)圖形如圖7-7所示。若用單位階躍序列表示，則4.單邊實指數(shù)序列實指數(shù)序列是指序列值隨序號變化而按指數(shù)規(guī)律變化的離散時間信號，常用的實指數(shù)序列為單邊實指數(shù)序列，即當k0時，f(k)=0，即若|1，則f(k)為一個發(fā)散序列，如圖7 8 (a)所示；若|1，則f(k)為一個收斂序列，如圖7 8 (b)所示；當| = 0時，f(k)=U(k)。如果，則當|a|1時，f(k)為發(fā)散序列；當|a|1時，f(k)為收斂序列。5.正弦序列正弦序列定義為或式中，為正弦序列的數(shù)字角頻率；A，或為正弦序列的振幅和初相。典型正弦序列如圖7-9所示。當為整數(shù)時，正弦序列f(k)為一個周期性離散時間信號，重復(fù)周期為；當為有理數(shù)時，正弦序列f(k)也是一個周期性的離散時間信號，重復(fù)周期；