立體幾何復習專題-線線角.doc

立體幾何復習專題-空間角之線線角一、基礎知識1.定義： 直線a、b是異面直線，經過空間一交o，分別a/a，b/b，相交直線ab所成的銳角（或直角）叫做 。2.范圍： 3.方法： 平移法、（1）平移法：在圖中選一個恰當?shù)狞c（通常是線段端點或中點）作a、b的平行線，構造一個三角形，并解三角形求角。步驟根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角；解含有的三角形，求出角的大小. (常用到余弦定理)余弦定理： (計算結果可能是其補角)（2） 補形法：把空間圖形補成正方體、平行六面體、長方體等幾何體,以便發(fā)現(xiàn)異面直線間的關系（3）三線角公式 用于求線面角和線線角.斜線和平面內的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜線和平面內的直線所成角的余弦 即： DCBAC1D1B1A1若 OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內的射影，OC為面內的一條直線，其中為OA與OC所成的角，1為OA與OB所成的角，即線面角，2為OB與OC所成的角，那么 cos=cos1cos2 （同學們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）【典型例題】例1：（1）在正方體中，下列幾種說法正確的是 （ ）A、 B、 C、與成角 D、與成角答案：D。解析：A1C1與AD成45，D1C1與AB平行，AC1與DC所成角的正切為。例2:（1）如圖，在正方體中，E,FG,H分別為，的中點，則異面直線與所成的角等于（）（2）如圖,正四棱柱中,則異面直線與所成角的余弦值為_(3) 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=，點D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成的角的余弦值_。ADCB（4）在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是_.小結：異面直線所成的角求法：平移法 三垂線例:3、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求異面直線D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：過B點作 AC的平行線（補形平移法）方法二：過AC的中點作BD1平行線例3、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點 （）證明：面面；（）求與所成的角；證明：以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為 （）證明：因由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因例4、 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面， 為的中點 求直線與所成角的余弦值；解：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則的坐標為、，從而設的夾角為，則與所成角的余弦值為 訓練題1異面直線a , b所成的角為，過空間一定點P，作直線L，使L與a ,b 所成的角均為，這樣的直線L有 條。 答案：三條。解析：如換成50，70呢。2已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內一點，且DPA=450，DPB=600，則DPC=_。答案：600 。解析：以PD為對角線構造長方體3.正方體的12條棱和12條 面對角線中，互相異面的兩條線成的角大小構成的集合是 。4.正方體中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BD1所成角的大小為 。5.已知為異面直線a與b的公垂線，點，若a、b間距離為2，點P到的距離為2，P到b的距離為 ，則異面直線a與b所成的角為 。6如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分別是A1B1，A1C1的中點，則AM與CN所成角為 。7.如圖PD平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=2DP，E為CD中點。（1）與BE所成的角為 （2）若直線PD，且AF與BE所成角為1. =30行嗎？2. =75時；= 。8.空間四邊形ABCD中，對角線AC，BD與各邊長均為1，O為的重心，M是AC的中點，E是 AO的中點，求異面直線OM與BE所成的角 。9.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分別是中點（1）AC和BD所成的角為。（2）MN與BC所成的角為。10.已知正方體AC1中，（1）E、F分別是A1D1，A1C1的中點，則AE與CF所成的角為（2）M、N分別是AA1，BB1的中點，則CM和D1N所成的角是。11、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大??；（） 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 過點A作AF/BC，且AF=BC，連結PF，CF則為異面直線PA與BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂線定理，得PFAF則AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，異面直線PA與BC所成的角為