高中數(shù)學(xué)第一章直線多邊形圓1.3圓與四邊形1.3.1圓內(nèi)接四邊形學(xué)案.docx

1.31圓內(nèi)接四邊形課標(biāo)解讀1.了解圓內(nèi)接四邊形的概念2掌握并靈活運用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理及其推論.圖1311圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及推論(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的對角互補如圖131，四邊形ABCD內(nèi)接于O，則有：AC180，BD180.(2)推論圖132圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角如圖132，CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一外角，則有：CBED.2圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論(1)判定定理：如果一個四邊形的內(nèi)對角互補，那么這個四邊形四個頂點共圓如圖133，若AC180，BD180，則四邊形ABCD內(nèi)接于O.(2)推論：如果四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓如圖133，若CBED，則四邊形ABCD內(nèi)接于O.圖1331判定四點共圓的方法有哪些？【提示】(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓(2)如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓(4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個三角形的四個頂點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等)圖1342如圖134，在四邊形ABCD中，若ADBACB，那么A，B，C，D共圓嗎？為什么？【提示】A，B，C，D共圓假設(shè)A，B，C，D不共圓，其中C點在圓外C1處設(shè)AC1交O于E點，連接BE，A、B、E、D四點共圓，ADBAEB.又知AEB是BEC的一個外角，AEBACB，ADBACB，這與ADBACB矛盾假設(shè)不成立同理若C1(C)點在O內(nèi)，則有：ACBADB，與ADBACB矛盾因此A、B、C、D共圓.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圖135如圖135，在RtABC中，ACB90，在AB上截取PAAC，以PC為直徑的圓分別交AB、BC、AC于D、E、F.求證：.【思路探究】先利用PC是圓的直徑，得到PFBC，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到DFPC，最后利用平行線分線段成比例證明結(jié)論【自主解答】連接DF、PF.PC是直徑，PFAC.BCAC，PFBC，.四邊形PCFD內(nèi)接于O，ADFACP，APAC，APCACP.ADFAPC.DFPC，.1在本題的證明過程中，都是利用角相等證明了兩直線平行，然后利用直線平行，得到比例式相等2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角，可用來作為三角形相似或兩直線平行的條件，從而證明一些比例式成立或證明某些等量關(guān)系已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，DEAC，交BC的延長線于E，求證：ABCEADCD.【證明】如圖，連接BD，DEAC，EACB.ACBADB，ADBE.在ABD與CDE中，ADBE，BADDCE，ABDCDE.故ABCEADCD.圓內(nèi)接四邊形的判定圖136如圖136，在ABC中，E，D，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點，且APBC于P.求證：E、D、P、F四點共圓【思路探究】證明本題可先連接PF，構(gòu)造四邊形EDPF的外角FPC，證明FPCC，再證明FPCFED即可得出結(jié)論【自主解答】連接PF，APBC，F(xiàn)為AC的中點，PFAC.FCAC，PFFC，F(xiàn)PCC.E，F(xiàn)，D分別為AB，AC，BC的中點，EFCD，EDFC，四邊形EDCF為平行四邊形，F(xiàn)EDC，F(xiàn)PCFED，E，D，P，F(xiàn)四點共圓1本題證明的關(guān)鍵是如何使用點E、D、F是中點這一條件2要判定四點共圓，多借助四邊形的對角互補或外角與內(nèi)對角的關(guān)系進行證明圖137如圖137，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點，且不與ABC的頂點重合已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個根，(1)證明：C，B，D，E四點共圓；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑【證明】(1)如圖，連接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，從而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四點共圓(2)m4，n6時，方程x214xmn0的兩根為x12，x212，故AD2，AB12.如圖，取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于A90，故GHAB，HFAC.從而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定的綜合運用圖138如圖138，已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圓劣弧上的點(不與點A ，C重合)，延長BD至E.(1)求證：AD的延長線DF平分CDE；(2)若BAC30，ABC中BC邊上的高為2.求ABC外接圓的面積【思路探究】(1)利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角求解；(2)ABC外接圓的圓心在BC邊的高上，通過作輔助線求解【自主解答】(1)如圖，A，B，C，D四點共圓，CDFABC.又ABAC，ABCACB，且ADBACB，ADBCDF.又由對頂角相等得EDFADB，故EDFCDF，即AD的延長線DF平分CDE.(2)設(shè)O為外接圓圓心，連接AO并延長交BC于H，則AHBC，連接OC，由題意OACOCA15，ACB75，OCH60，設(shè)圓半徑為r，則rr2，得r2，外接圓的面積為4.1在解答本題時用到了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理等知識，綜合性較強2此類問題考查知識點較為豐富，往往涉及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)的證明和應(yīng)用，最終得到某些結(jié)論的成立圖139(2012周口調(diào)研)如圖139，在ABC中，CD是ACB的平分線，ACD的外接圓交BC于點E，AB2AC.(1)求證：BE2AD；(2)當(dāng)AC1，EC2時，求AD的長【解】(1)證明：連接DE，ACED是圓的內(nèi)接四邊形，BDEBCA.又DBECBA，BDEBCA，即有，而AB2AC，BE2DE.又CD是ACB的平分線，ADDE，從而BE2AD.(2)由條件得AB2AC2，設(shè)ADt，根據(jù)割線定理得BDBABEBC，即(ABAD)BA2AD(2ADCE)，(2t)22t(2t2)，即2t23t20，解得t或t2(舍去)，即AD.圖1310(教材第24頁練習(xí)第2題)已知：如圖1310，在ABC和ABD中，CD.求證：A，B，C，D四點共圓(2013課標(biāo)全國卷)如圖1311，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓圖1311(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值【命題意圖】本題考查了幾何證明的相關(guān)知識，考查了推理論證的能力及運算求解的能力【解】(1)證明因為CD為ABC外接圓的切線，所以DCBA.由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90.因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連接CE，因為CBE90，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE.由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.1如圖1312，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于()圖1312A120B136C144 D150【解析】BCDECD32，ECD72，BOD2A2ECD144.【答案】C2下列說法正確的個數(shù)有()平行四邊形內(nèi)接于圓；梯形內(nèi)接于圓；菱形內(nèi)接于圓；矩形內(nèi)接于圓；正方形內(nèi)接于圓A1個 B2個C3個 D4個【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理知，正確【答案】B圖13133如圖1313所示，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BOD110，那么BCD的度數(shù)為_【解析】ABOD11055，BCD18055125.【答案】125圖13144如圖1314，兩圓相交于A，B，過A的直線交兩圓于點C，D，過B的直線交兩圓于點E，F(xiàn)，連接CE，DF，若C115，則D_.【解析】如圖，連接AB，C115，ABE65，DABE65.【答案】65一、選擇題1在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABCDmnpq，則有()AmpnqBmnpqCmpnq D不能確定【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知C正確【答案】C圖13152如圖1315，AB為O的直徑，P為O外一點，PA交O于D，PB交O于C，連接BD、AC交于E，下列關(guān)系中不成立的是()AADBACB90BAEDPCPAEBDPACDBP【解析】AB為O的直徑，BDAP，ACBP，ADBACB90，EDPECP90，E、D、P、C四點共圓，AEDP，A，B，C，D四點共圓，PACDBP，而PAEB無法確定【答案】C圖13163如圖1316，在O中，弦AB的長等于半徑，DAE80，則ACD的度數(shù)為()A30 B45C50 D60【解析】連接OA，OB，BCDDAE80，AOB60，BCAAOB30，ACDBCDBCA803050.【答案】C圖13174如圖1317，AB是O的弦，過A、O兩點的圓交BA的延長線于C，交O于D，若CD5 cm，則CB等于()A25 cm B15 cmC5 cm D. cm【解析】連接OA，OB，OD，OAOBOD，OABOBA，ODBOBD.C，D，O，A四點共圓，OABCDO，CDOOBA，CDOODBOBAOBD，即CDBCBD，CDCB，CD5 cm，CB5 cm.【答案】C二、填空題5圓內(nèi)接四邊形ABCD為平行四邊形，則cos Acos Bcos Ccos D_.【解析】四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC180，BD180，又四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD，ABCD90，cos Acos Bcos Ccos D0，cos Acos Bcos Ccos D0.【答案】0圖13186(2013信陽模擬)如圖1318，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若，則的值為_【解析】由于PBCPDA，PP，則PADPCB ，.又，.，.【答案】三、解答題圖13197如圖1319所示，AB、CD都是圓的弦，且ABCD，F(xiàn)為圓上一點，延長FD、AB使它們交于點E.求證：AEACAFDE.【證明】如圖，連接BD，ABCD，BDAC.A、B、D、F四點共圓，EBDF.又DEBFEA，EBDEFA.，即AEACAFDE.圖13208如圖1320，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，B60，F(xiàn)在AC上，且AEAF.(1)證明：B、D、H、E四點共圓；(2)證明：EC平分DEF.【證明】(1)如圖：在ABC中，ABC60，BACBCA120.AD、CE是角平分線，HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.EBDEHD180，B、D、H、E四點共圓(2)連接BH，則BH為ABC的平分線，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四點共圓，CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD.可得CEF30.EC平分DEF.圖13219如圖1321，BA是O的直徑，延長BA至E，使得AEAO，過E點作O的割線交O于D、C，使得ADDC.(1)求證：ODBC；(2)若ED2，求O的內(nèi)接四邊形ABCD的周長【解】(1)證明：連接AC，OD是O的半徑，ADDC，ODAC，又BCA90，BCAC，ODBC.(2)由(1)及EAAO，ED2，知，EC3.EDECEAEB3EA2，3EA223，即EA.CDECED1，BCODEA，四邊形ABCD的周長為ADCDBCBA2.10如圖，在直徑是AB的半圓上有兩點M，N，設(shè)AN與BM的交點為P.求證：APANBPBMAB2.【證明】作PEAB于點E.AB為直徑，ANBAMB90，P，E，B，N四點共圓，P，E，A，M四點共圓，得AB(AEBE)APANBPBM，即APANBPBMAB2.直線、多邊形、圓)圓與直線)圓與四邊形圓內(nèi)接四邊形)射影定理的應(yīng)用射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例關(guān)系，此定理常作為計算與證明的依據(jù)，在運用射影定理時，要特別注意弄清射影與直角邊的對應(yīng)，分清比例中項，否則在做題中極易出錯圖11如圖11所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，F(xiàn)D的延長線交AC的延長線于H.求證：DF2FGFH.【證明】BEAC，ABEBAE90.同理，HHAF90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓有三種位置關(guān)系，即相交、相切、相離；其中直線與圓相切的位置關(guān)系非常重要，結(jié)合此知識點所設(shè)計的有關(guān)切線的判定與性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)等問題是高考選做題熱點之一，解題時要特別注意圖12如圖12所示，O是以AB為直徑的ABC的外接圓，點D是劣弧的中點，連接AD并延長，與過C點的切線交于P，OD與BC相交于點E.求證：(1)OEAC；(2).【證明】(1)AB為O的直徑，ACBC.D是的中點，由垂徑定理得ODBC，ODAC.又點O為AB的中點，點E為BC的中點，OEAC.(2)連接CD.PC是O的切線，PCDPAC.又P是公共角，PCDPAC.得，得.D是的中點，CDBD，因此，.圓周角及其應(yīng)用在圓中，連接同弧或等弧上的圓周角，是常用的輔助線，由此可得角相等；有直徑或有垂直條件或證明垂直結(jié)論，經(jīng)常根據(jù)圖形適當(dāng)作出直徑上的圓周角. 圖13如圖13所示，AB是半圓直徑，C為中點，CDAB于D交AE于F.求證：AFCF.【證明】法一連接AC，BC.AB是直徑，ACBC.CDAB，BACD.，BCAE.CAEACD，AFCF.法二連接OC，AC，由于C為中點，O為圓心，則OCAE.CDAB，OCDOAE.OCOA，OCAOAC.DCACAE.AFCF.圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形