第二學(xué)期《線性代數(shù)》期終考試試卷 B卷

復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院2011-2012學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷B卷 共 9頁(yè)課程代碼：COMP120004.02考試形式：開卷 閉卷2012年 9月（本試卷答卷時(shí)間為120分鐘，答案必須寫在試卷上，做在草稿紙上無(wú)效）專業(yè)學(xué)號(hào)姓名成績(jī) 題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一、 名詞解釋（10%）1. 矩陣的秩2. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系3. 線性空間的維數(shù)4. 分別寫出非齊次方程組的解存在與齊次方程組的解存在的充分必要條件5. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形二、 選擇題（10%）1. 在階行列式中將第行第列的元素乘以，其值變?yōu)?。A. B. C. D. 2. 改變一個(gè)階行列式的每一個(gè)元素為原來(lái)的一半，其值將變?yōu)?。A. B. C. D. 3. 假設(shè)都為階矩陣，為正整數(shù)，下列正確的是 。A. 若，則B. C. D. 4. 假設(shè)，其中為階矩陣，為階矩陣，則 。A. B. C. D. 5. 階實(shí)反對(duì)稱矩陣的全體按矩陣通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，此空間的維數(shù)為 。A. B. C. D. 三、 填空題（10%）1. 在階行列式中位于某行，某列交叉點(diǎn)的個(gè)元素全為0，且，則 。2. 假設(shè)是矩陣，則齊次方程組只有零解的充要條件是 ；有非零解的充要條件是 。3. 假設(shè)矩陣，是矩陣的伴隨矩陣，= 。4. 假設(shè)是四階矩陣，它的特征值分別是1，-1，2，-2。則行列式= 。5. 假設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，其中是奇數(shù)。且，生成子空間的維數(shù)為 。四、 是非題（10%）1. 假設(shè)是矩陣，對(duì)于非齊次線性方程組，有，則此方程必相容。【 】2. 假設(shè)是矩陣，其秩為，則中必定存在一個(gè)階子式不為零。 【 】3. 假設(shè)是矩陣，它的個(gè)行向量線性相關(guān)，則它的個(gè)列向量也線性相關(guān)?！?】4. 假設(shè)為實(shí)數(shù)域，為復(fù)數(shù)域，則是復(fù)數(shù)域上的線性空間。 【 】5. 假設(shè)都是階對(duì)稱矩陣，且，則與相似。 【 】五、 行列式計(jì)算（10%）1. 行列式 六、 計(jì)算逆陣（10%）1. 七、 計(jì)算非齊次方程組的通解(10%)：1. 八、 計(jì)算題（10%）1. 已知線性空間的向量組：，（1）計(jì)算子空間的維數(shù)和一個(gè)基；（2）確定在這個(gè)基下的坐標(biāo)；（3）向量是否屬于子空間。九、 證明題（20%）1. 假設(shè)是階矩陣，試證: (1) 矩陣可以分解成實(shí)對(duì)稱矩陣與實(shí)反對(duì)稱矩陣之和； (2) 若，其中是實(shí)對(duì)稱矩陣，是實(shí)反對(duì)稱矩陣，而且，則。2. 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是空間上的線性變換，在數(shù)域上有個(gè)不同的特征值，證明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要條件是；（2）若，則是的線性表示，其中表示上的恒等變換。