25課堂教學(xué)要體現(xiàn)知識(shí)的力量.doc

課堂教學(xué)要體現(xiàn)知識(shí)的力量武清區(qū)楊村一中 梁 棟注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一.一直以來(lái)，人們對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力傾注了極大的熱情，也積累了很多行之有效的方法但是，數(shù)學(xué)思維能力的形成一般要經(jīng)過(guò)感知、感受、體驗(yàn)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，能夠吸引學(xué)生、打動(dòng)學(xué)生、進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣的是教師對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和演繹，是學(xué)生能感受到的知識(shí)的力量。因此，深入挖掘知識(shí)的內(nèi)涵是提高課堂教學(xué)效率的關(guān)鍵.本文將通過(guò)一個(gè)案例，談?wù)劰P者對(duì)課堂中體現(xiàn)知識(shí)力量的理解和嘗試.已知集合A=x|x=1n,nN+.探究1從集合A中選9個(gè)元素，使這9個(gè)元素之和恰好等于1，寫(xiě)出滿足條件的9個(gè)元素.這是學(xué)完裂項(xiàng)法后我們?cè)O(shè)置的一個(gè)問(wèn)題，目的是使學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)法有一個(gè)深層的理解.從表面上看題目涉及的知識(shí)不多，難度也不大，即使用“湊”的方法似乎也能解決，但深入下去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并非想象的那么簡(jiǎn)單，找出滿足條件的9個(gè)數(shù)并不是一件容易的事.本題是以一個(gè)常見(jiàn)的等式112+123+1n(n+1)=1-1n+1(nN+)為背景，這個(gè)等式的證明方法就是學(xué)生熟悉的裂項(xiàng)法.在這個(gè)等式中當(dāng)取n=8時(shí)，得112+123+189=1-19，整理得112+123+189+19=1.滿足條件的9個(gè)數(shù)就這樣找到了！等式一經(jīng)寫(xiě)出，很多問(wèn)題不言自明，這種以數(shù)學(xué)方法為依托，尋求解題途徑的思維方式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的價(jià)值和魅力，會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的震撼.問(wèn)題雖然普通，卻具有一定的思維含量.裂項(xiàng)法是一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，初次接觸時(shí)，學(xué)生會(huì)被它的精妙折服，但隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生總結(jié)并掌握了應(yīng)用這種方法的規(guī)律，遇到數(shù)列求和的問(wèn)題，他們從形式上就能判斷能否使用裂項(xiàng)法，漸漸地裂項(xiàng)法失去了昔日的輝煌，僅僅作為一種解題工具而存在.探究1的解決，使曇花一現(xiàn)的裂項(xiàng)法又煥發(fā)了新的活力，這個(gè)活力不僅僅是方法的應(yīng)用，更主要的是這種方法的呈現(xiàn)形式，它對(duì)學(xué)生從更高的層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，會(huì)產(chǎn)生積極的影響.探究2請(qǐng)你把集合A中每一個(gè)元素表示成A中9個(gè)元素之和的形式.這個(gè)問(wèn)題設(shè)問(wèn)的形式比較新穎，感覺(jué)有一定難度，一時(shí)難以找到解題的切入點(diǎn).設(shè)置這個(gè)問(wèn)題的意圖是使學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)探索的意識(shí)，學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法.事實(shí)上探究2是探究1的一般形式，仿照探究1的方法就可以解決探究2.對(duì)集合A中的任意一個(gè)元素1k(kN+)，應(yīng)用裂項(xiàng)法可得1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)=(1k-1k+1)+(1(k+1-1k+2)+(1k+7-1k+8)=1k-1k+8，所以1k=1k(k+1)+1(k+1)(k+2)+1(k+7)(k+8)+1k+8.當(dāng)答案擺在面前時(shí)，一切都顯得那么自然合理，那么順理成章，但對(duì)于上面的解法，如果沒(méi)有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，沒(méi)有探究1做鋪墊和對(duì)探究2的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，一般很難聯(lián)想到“近在咫尺”的裂項(xiàng)法，從這個(gè)意義上說(shuō)，探究2的作用是教師單純介紹解題方法所無(wú)法替代的.需要說(shuō)明的是上面的解法并非無(wú)懈可擊，等式的右邊雖然是9個(gè)數(shù)，但這9個(gè)數(shù)中是否有相等的呢？如果其中兩個(gè)數(shù)相等，就意味著并沒(méi)有真正解決這個(gè)問(wèn)題，前8個(gè)數(shù)的分母依次增大，任何兩個(gè)數(shù)不可能相等，但不能排除最后一個(gè)數(shù)1k+8與前8個(gè)數(shù)有相等的可能.質(zhì)疑又引發(fā)了新的探究.9個(gè)數(shù)的分子都是1，只需考慮分母即可，前8個(gè)數(shù)中第一個(gè)數(shù)的分母k(k+1)=k2+k最小，它含有k2，感覺(jué)上要比k+8大，于是下面的探索方法便應(yīng)運(yùn)而生.k(k+1)-(k+8)=k2-8，當(dāng)k3時(shí)，k2-80，即k(k+1)k+8，此時(shí)k+8不可能和任何一個(gè)數(shù)的分母相等；當(dāng)k=1和k=2時(shí)，容易檢驗(yàn)9個(gè)元素同樣沒(méi)有相同的，至此問(wèn)題得到了徹底解決.沿著裂項(xiàng)法的思路繼續(xù)下去，發(fā)現(xiàn)解題的途徑并不唯一.由11(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)=1k(1-18k+1)，得1k=1k(k+1)+1(k+1)(2k+1)+1(7k+1)(8k+1)+1k(8k+1).同樣的疑問(wèn)，等式的最后一個(gè)數(shù)和其它8個(gè)數(shù)是否有相等的可能？這里無(wú)法套用剛才的方法論證了，因?yàn)閗(8k+1)明顯大于k+1，甚至大于(k+1)(2k+1)，但又比(7k+1)(8k+1)小，只能另辟蹊徑.前8個(gè)數(shù)的分母都是(mk+1)(m+1)k+1形式的數(shù)，其中kN+，mN，且0m7，如果k(8k+1)等于其中一個(gè)數(shù)的分母，則存在mN，使k(8k+1)=(mk+1)(m+1)k+1，整理得8-m(m+1)k2=2km+1.注意到m(m+1)是偶數(shù)，故8-m(m+1)k2是偶數(shù)，而2km+1是奇數(shù)，可見(jiàn)m不存在，9個(gè)元素是彼此相異的.整數(shù)問(wèn)題學(xué)生普遍感到困難，主要是接觸比較少，這里涉及的奇數(shù)偶數(shù)的判斷會(huì)使學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的解決方法有進(jìn)一步了解.探究2是思維深化的過(guò)程，只有親身體驗(yàn)了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程，才能逐漸體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式，在探究中形成批判性的思維習(xí)慣，在反思中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)理性精神的崇尚.探究3從集合A中選3個(gè)元素，使這3個(gè)元素恰好成等差數(shù)列.由于只涉及三個(gè)元素，采用具體嘗試的方法也不失為一種選擇，但顯然是低層次的，有了上面兩個(gè)問(wèn)題的探究，引導(dǎo)學(xué)生借助裂項(xiàng)法得到答案，可謂瓜熟蒂落，水到渠成.我們知道，x,y,z成等差數(shù)列的充要條件是2y=x+z，由123=12-13，即16=12-13，得12=13+16，從而24=13+16，可見(jiàn)13,14,16成等差數(shù)列.同樣，由156=15-16，可得16,110,130成等差數(shù)列.用這種方法，可以迅速寫(xiě)出一組等差數(shù)列，這是理解數(shù)學(xué)方法并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的又一次深化.司空見(jiàn)慣的裂項(xiàng)法竟有如此意想不到的作用，這無(wú)疑是知識(shí)力量的一種體現(xiàn).當(dāng)按照某種套路運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解題時(shí)，數(shù)學(xué)方法就是一種程式化的工具，如果把自己的理解融進(jìn)數(shù)學(xué)方法，并加以靈活運(yùn)用，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法也有它生動(dòng)的一面，其中的內(nèi)涵也會(huì)隨之慢慢展現(xiàn)出來(lái).仔細(xì)品味，這種基于裂項(xiàng)法尋找等差數(shù)列的方法，確實(shí)精彩絕妙，回味無(wú)窮，它將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的形成.探究4從集合A中選4個(gè)元素，使這4個(gè)元素恰好成等差數(shù)列.從3個(gè)元素到4個(gè)元素，雖然只是數(shù)量上的增加，但解題思路變化很大，在沒(méi)有直接結(jié)論支持的情況下，最自然的想法是在探究3的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索.等差數(shù)列13,14,16的公差等于16-14=-112，再添一個(gè)數(shù)x，使13,14,16,x成等差數(shù)列，可求出x=112，也就是說(shuō)13,14,16,112這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.然而在等差數(shù)列16,110,130的基礎(chǔ)上卻無(wú)法得到探究4中含有4項(xiàng)的等差數(shù)列.進(jìn)一步思考：能否寫(xiě)出所有含有A中4個(gè)元素的等差數(shù)列？是否存在含有A中5個(gè)元素、6個(gè)元素，甚至更多元素的等差數(shù)列？這時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)得到的兩個(gè)等差數(shù)列13,14,16,112和16,110,130，不難發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的分母都是最后一項(xiàng)分母的因數(shù)，或者說(shuō)最后一項(xiàng)的分母是其他各項(xiàng)分母的公倍數(shù)，另外，求公差時(shí)要用到分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算，這就需要分?jǐn)?shù)通分，通分后兩個(gè)等差數(shù)列分別是412,312,212,112和530,330,130.第一個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)讓我們豁然開(kāi)朗，考慮正整數(shù)n的階乘，當(dāng)n3時(shí)，數(shù)列nn!,n-1n!,n-2n!,1n!是項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是集合A中的元素，這里n!=123n.從形式上看，這個(gè)等差數(shù)列讓人賞心悅目，這是數(shù)學(xué)的形式之美、和諧之美；簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一列數(shù)，透出無(wú)窮的智慧和豐富的內(nèi)涵，這又是數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美、