2015年北京高考數(shù)學(xué)文科試題及答案

絕密啟封并使用完畢前2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）若集合則（ ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) （2）圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）（3）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）（A） （B）（C） （D）（4）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為（ ）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300（5） 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（ ）（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6（6）設(shè)是非零向量，“”是“/”的（ ）（A） 充分而不必要條件（B） 必要而不充分條件（C） 充分必要條件（D） 既不充分也不必要條件（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（ ） (A) 1 （B） （B） (D) 2（8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況。在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（ ）加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程（A）6升 （B）8升 （C）10升 （D）12升 第二部分（非選擇題共110分）2、 填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）復(fù)數(shù)的實部為（10）三個數(shù)中最大數(shù)的是（11）在中，則 （12）已知是雙曲線的一個焦點，則（13）如圖，及其內(nèi)部的點組成的集合記為D，為D中任意一點，則的最大值為（14）高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，兩同學(xué)的成績名次更靠前的科目是三、解答題（共6題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）（15）（本小題13分）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最小值。（16）（本小題13分）已知等差數(shù)列滿足（）求的通項公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿足；問：與數(shù)列的第幾項相等？（17）（本小題13分）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“”表示未購買。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598（）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；（）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？（18）（本小題14分）如圖，在三棱錐中，平面 平面，為等邊三角形，,且,分別為的中點。（）求證: /平面;（）求證：平面平面;（）求三棱錐的體積。（19）（本小題13分）設(shè)函數(shù)。（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點。(20)(本小題14分)已知橢圓：,過點且不過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線交于點。（1）求橢圓的離心率；（II）若垂直于軸，求直線的斜率；（III）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由。絕密考試結(jié)束前 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）乙 數(shù)學(xué)三、解答題（共6小題，共80分） （15）（13分）解：（） 的最小正周期為.（）當(dāng) 時，即時，取得最小值.所以在上的最小值為(16)(共13分)解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為. 又 （）設(shè)等比數(shù)列的公比為. 由 與數(shù)列的第63項相等.（17）（共13分）解：（）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙， 所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為（）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁， 另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品。 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為（）與（）同理，可得： 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為， 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為， 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為， 所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大。（18）（共14分）解：（）因為分別為的中點， 所以 又因為平面, 平面 所以平面（）因為，為的中點， 所以. 又因為平面平面，且平面， 平面 平面 所以平面，又因為平面 所以平面平面（）在等腰直角中， 所以 所以正的面積 又因為平面， 所以,又因為, 所以.(19) (共13分) 解：（）由 所以的定義域為 令 解得 與在區(qū)間上的情況如下：減增 所以，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為； 在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為. 因為存在零點，所以，所以. 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且.所以是在區(qū)間上的唯一的零點. 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且所以在區(qū)間上僅有一個零點. 綜上可知：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點。(20) (共14分) 解：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以 所以橢圓的離心率（）因為直線過點且垂直于軸， 所有可設(shè) 直線的方程為