河北省張家口市2020屆高三數(shù)學(xué)12月階段檢測(cè)試題理（含解析）.docx

河北省張家口市2020屆高三數(shù)學(xué)12月階段檢測(cè)試題 理（含解析）第卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題；每題5分，共計(jì)60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解不等式確定集合，再由交集定義求得交集【詳解】由題意，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合交集運(yùn)算，求解時(shí)需選確定集合中的元素，然后才可以求交集運(yùn)算2.在公差不為零的等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式表示出再由等比數(shù)列性質(zhì)可求得【詳解】由題意，成等比數(shù)列，即，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)屬于基礎(chǔ)題3.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由（）（），用誘導(dǎo)公式求解【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，解題時(shí)需分析“已知角”和“未知角”的關(guān)系，確定選用什么公式4.若直線（，）過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（ ）A. 9B. 8C. D. 【答案】A【解析】【分析】把代入直線方程得滿足的等量關(guān)系，用“1”的代換把湊配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值【詳解】直線（，）過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為9故選：A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，解題時(shí)要注意基本不等式求最值的條件：一正二定三相等，常常需要湊配出定值，“1”的代換是常用湊配方法5.已知，則下列命題中必然成立的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷每一個(gè)命題是否正確，可舉反例不等式不成立【詳解】若，則，A錯(cuò)；滿足，但是，B錯(cuò)；若，則，C正確；，但，D錯(cuò)。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)成立的條件是解題基礎(chǔ)對(duì)不一定成立的不等式可通過(guò)舉反例說(shuō)明6.已知點(diǎn)為雙曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).若，則（ ）A. 27B. 3C. 3或27D. 9或21【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的半焦距，說(shuō)明是雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義計(jì)算，但要由已知條件確定點(diǎn)是否可能在兩支上【詳解】由題意，則，是雙曲線的焦點(diǎn)，又，點(diǎn)在雙曲線左支上，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，在涉及到雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，可用雙曲線的定義求解注意雙曲線的定義是，解題時(shí)如不能確定雙曲線上的點(diǎn)在哪支上，則兩支都有可能7.已知菱形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn),則（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】選取和為基底, 菱形的邊長(zhǎng)為,則,用基底,分別表示與即可求得.【詳解】畫(huà)出幾何圖像:選取和為基底, 菱形的邊長(zhǎng)為 ,點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn) 由 可得: 故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想,求解過(guò)程中要注意基底選擇的合理性,即一般是選擇模和夾角已知的兩個(gè)向量作為基底.8.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù),判斷的奇偶性和單調(diào)性,即可求解,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】 則定義是.又 ,可得: 是奇函數(shù). 則 是單調(diào)增函數(shù). 故: ,化簡(jiǎn)可得: ,即根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),得: , 故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的奇偶性,解題關(guān)鍵是掌握利用單調(diào)性和奇偶性解函數(shù)不等式,屬于基礎(chǔ)題.9.已知三棱錐中,則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐中,構(gòu)建長(zhǎng)方體,即長(zhǎng)方體體對(duì)角線是外接球的直徑,即可求得外接球的表面積.【詳解】 在中, , ,故是直角三角形且為直角. 中, ,故是直角三角形且為直角.可得 結(jié)合已知 可得:面 可構(gòu)建長(zhǎng)方體,如圖:則三棱錐的外接球的直徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線, 外接球的 根據(jù)球的表面積公式:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)建長(zhǎng)方體,得到長(zhǎng)方體的外接球是三棱錐的外接球是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則（ ）A. 或B. 或C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),所以設(shè)點(diǎn),利用,求得,即可求得答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為,焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，即 可得: ,即 ,代入解得: 即: 由兩點(diǎn)間距離公式可得: 故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用,同時(shí)也考查了共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解題的關(guān)鍵就是求出點(diǎn) 的縱坐標(biāo),考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.11.定義在上運(yùn)算：，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由新定義把不等式轉(zhuǎn)化為，然后由不等式恒成立求得的范圍【詳解】由題意，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，解得或故選：A【點(diǎn)睛】本題考查新定義，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用新定義把“新不等式”轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不等式，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值并解不等式得參數(shù)范圍12.已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),滿足,其中,則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因?yàn)榍?由圖像可知在二次函數(shù)圖像上且,數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍,即可求得的取值范圍.【詳解】畫(huà)出圖像,如圖 且,由圖像可知在二次函數(shù)圖像上且由圖可知,即 的取值范圍是:.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查了二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法,函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)形式,它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì).第卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把正確答案填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置上.13.已知的內(nèi)角,的對(duì)邊分別為,且,則的面積為_(kāi)._.【答案】；【解析】【分析】將化簡(jiǎn)可得: ,由余弦定理,解得,結(jié)合已知,由三角面積公式,即可求得的面積.【詳解】 可得 即 可得: 又,故 是等腰三角形, 由三角形面積公式: 故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問(wèn)題,熟記余弦定理和三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.14.已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求軌跡方程【詳解】在的中垂線上，又，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)軌跡方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查用雙曲線的定義求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)雙曲線定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，然后求出得標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意所求軌跡方程是不是圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程15.已知,將,按從小到大的順序排列_.【答案】；【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)是減函數(shù),可得:,根據(jù)冪函數(shù)是增函數(shù)可得:,即可求得,按從小到大關(guān)系.【詳解】 指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)可得: 冪函數(shù)是增函數(shù)可得: 即:有 綜上所述, 故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查比較數(shù)值大小,這類(lèi)大小比較一般是借助中間值,與中間值比較后可得它們的大小關(guān)系.16.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)落在另一條漸近線上，則雙曲線的離心率為_(kāi).【答案】2【解析】【分析】由得，從而有，因此可得坐標(biāo)，于是有中點(diǎn)坐標(biāo)，代入漸近線方程可得的等式，轉(zhuǎn)化后可求得離心率【詳解】如圖，設(shè)在漸近線上，而，是中點(diǎn)，由已知在漸近線上，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查漸近線方程，考查向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系解題關(guān)鍵是尋找關(guān)于的等式，然后轉(zhuǎn)化后可求得題中用到一個(gè)結(jié)論：在漸近線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且則有三、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.17.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1），時(shí)，由可得數(shù)列的遞推關(guān)系，從而確定數(shù)列是等比數(shù)列，易得其通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得，因此用錯(cuò)位相減法求和【詳解】（1）數(shù)列前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，即（常數(shù)），故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由于，所以，所以，得，整理得.【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和在由時(shí)，要注意，與它們的求法不同，要分類(lèi)求解數(shù)列求和問(wèn)題中有兩類(lèi)數(shù)列的求和法一定要掌握：數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列的和的求法是裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的和的求法是錯(cuò)位相減法18.在中,內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,已知.（1）求角的大小;（2）若,求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）逆用二倍角公式將原式降冪,將化簡(jiǎn)為:, 根據(jù)輔助角公式: ,(),即可求得角的大小;（2）由余弦定理,得,故,可得,即可求得的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）可得即根據(jù)輔助角公式: ,() ， ，由于.解得.（2）由余弦定理得即由得解得:.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);又得;所以 周長(zhǎng)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查由輔助角公式和余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握輔助角公式: ,(),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19.如圖（1）,在直角梯形中,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,現(xiàn)將沿折疊,使得,如圖（2）.（1）求證:平面平面;（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求證平面,即可求證:平面平面;（2）設(shè)平面的法向量和平面的法向量,求出和,根據(jù),即可求得二面角的大小.【詳解】證明：（1） , ,又,故:平面,平面,故:平面平面.（2）以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:設(shè), ,可得:,設(shè)平面的法向量,則,取,得,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則, ,二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的翻折問(wèn)題和求二面角的計(jì)算,在處理翻折問(wèn)題時(shí),要注意翻折前后相關(guān)直線的位置關(guān)系以及長(zhǎng)度的變化,對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,可以利用空間向量法,利用向量的夾角公式求解.20.已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.（1）求與的值；（2）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在與的取值無(wú)關(guān)的定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）,； （2）存在點(diǎn).【解析】【分析】（1）由拋物線上點(diǎn)的焦半徑為可求得，從而再求得；（2）假設(shè)設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，令，條件轉(zhuǎn)化為，即，整理得：，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消去（注意討論的情形），得的方程，由韋達(dá)定理得，代入它是與無(wú)關(guān)的等式，從而可得【詳解】（1）根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得，拋物線方程為，點(diǎn)在拋物線上，得，.（2）拋物線方程為：，當(dāng)，直線只與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，令，設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，即：，即，整理得：，整理得，解的，因此存在點(diǎn)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦半徑公式，考查直線與拋物線相交問(wèn)題對(duì)存在性命題，一般是假設(shè)存在，然后根據(jù)這個(gè)存在性去推導(dǎo)計(jì)算，方法是設(shè)而不求思想方法如果能求出定點(diǎn)，說(shuō)明真正存在，如果求不出說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在定點(diǎn)滿足題意21.已知橢圓:（）的左,右焦點(diǎn)分別為，,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義,可知,解得,由,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消掉得得:, 根據(jù)韋達(dá)定理可得:,.根據(jù)弦長(zhǎng)公式求,由點(diǎn)到直線:的距離,求得的邊上的高,即可求得面積的最大值.【詳解】（1）由橢圓的定義,可知.解得.又 . 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消掉得得:. ,得.設(shè),根據(jù)韋達(dá)定理可得:,.根據(jù)弦長(zhǎng)公式得: 點(diǎn)到直線:的距離: 當(dāng)即,時(shí)取等號(hào); 面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題,弦長(zhǎng)問(wèn)題,可