高考數學集合總復習-古典概型

古典概型古典概型 導學目標導學目標 1 理解古典概型及其概率計算公式 2 會計算一些隨機事件所含的基本事件 數及事件發(fā)生的概率 自主梳理 1 基本事件有如下特點 1 任何兩個基本事件是 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 2 一般地 一次試驗有下面兩個特征 1 有限性 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 2 等可能性 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同 稱這樣的概率模型為古典概型 判斷一個試驗是否是古典概型 在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征 有限性和 等可能性 3 如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有 n 個 而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等 那么 每一個基本事件的概率都是 如果某個事件 A 包括的結果有 m 個 那么事件 A 的概率 P A 自我檢測 1 2011 濱州模擬 若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數 m n 作為點 P 的橫 縱坐標 則點 P 在直線 x y 5 下方的概率為 A B C D 1 6 1 4 1 12 1 9 2 2011 臨沂高新區(qū)期末 一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成 1 000 個大小相同的小 正方體 若將這些小正方體均勻地攪混在一起 則任意取出一個 其兩面涂有油漆的概率 是 A B C D 1 12 1 10 3 25 12 125 3 2010 遼寧 三張卡片上分別寫上字母 E E B 將三張卡片隨機地排成一行 恰 好排成英文單詞 BEE 的概率為 4 有 100 張卡片 編號從 1 號到 100 號 從中任取 1 張 取到卡號是 7 的倍數的概率 為 5 2011 大理模擬 在平面直角坐標系中 從五個點 A 0 0 B 2 0 C 1 1 D 0 2 E 2 2 中任取三個 這三點能構成三角形的概率是 用分數表示 探究點一 基本事件的概率 例 1 投擲六個面分別記有 1 2 2 3 3 3 的兩顆骰子 1 求所出現(xiàn)的點數均為 2 的概率 2 求所出現(xiàn)的點數之和為 4 的概率 變式遷移 1 一只口袋內裝有大小相同的 5 只球 其中 3 只白球 2 只黑球 從中一次 摸出兩只球 問 1 共有多少個基本事件 2 摸出的兩只球都是白球的概率是多少 探究點二 古典概型的概率計算 例 2 班級聯(lián)歡時 主持人擬出了如下一些節(jié)目 跳雙人舞 獨唱 朗誦等 指定 3 個男生和 2 個女生來參與 把 5 個人分別編號為 1 2 3 4 5 其中 1 2 3 號是男生 4 5 號是 女生 將每個人的號分別寫在 5 張相同的卡片上 并放入一個箱子中充分混合 每次從中 隨機地取出一張卡片 取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目 1 為了選出 2 人來表演雙人舞 連續(xù)抽取 2 張卡片 求取出的 2 人不全是男生的概率 2 為了選出 2 人分別表演獨唱和朗誦 抽取并觀察第一張卡片后 又放回箱子中 充 分混合后再從中抽取第二張卡片 求獨唱和朗誦由同一個人表演的概率 變式遷移 2 同時拋擲兩枚骰子 求至少有一個 5 點或 6 點的概率 探究點三 古典概型的綜合問題 例 3 2009 山東 汽車廠生產 A B C 三類轎車 每類轎車均有舒適型和標準型兩 種型號 某月的產量如下表 單位 輛 轎車 A轎車 B轎車 C 舒適型100150z 標準型300450600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取 50 輛 其中有 A 類轎車 10 輛 1 求 z 的值 2 用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個容量為 5 的樣本 將該樣本看成一個總體 從中任取 2 輛 求至少有 1 輛舒適型轎車的概率 3 用隨機抽樣的方法從 B 類舒適型轎車中抽取 8 輛 經檢測它們的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把這 8 輛轎車的得分看成一個總體 從中任取一個數 求該 數與樣本平均數之差的絕對值不超過 0 5 的概率 變式遷移 3 為了了解 中華人民共和國道路交通安全法 在學生中的普及情況 調 查部門對某校 6 名學生進行問卷調查 6 人得分情況如下 5 6 7 8 9 10 把這 6 名學生的得 分看成一個總體 1 求該總體的平均數 2 用簡單隨機抽樣方法從這 6 名學生中抽取 2 名 他們的得分組成一個樣本 求該樣 本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過 0 5 的概率 分類討論思想的應用 例 12 分 甲 乙二人用 4 張撲克牌 分別是紅桃 2 紅桃 3 紅桃 4 方片 4 玩游戲 他們將撲克牌洗勻后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽一 張 1 設 i j 分別表示甲 乙抽到的牌的牌面數字 寫出甲 乙二人抽到的牌的所有情況 2 若甲抽到紅桃 3 則乙抽到的牌面數字比 3 大的概率是多少 3 甲 乙約定 若甲抽到的牌的牌面數字比乙大 則甲勝 反之 則乙勝 你認為此 游戲是否公平 說明你的理由 多角度審題 本題屬于求較復雜事件的概率 關鍵是理解題目的實際含義 把實際 問題轉化為概率模型 聯(lián)想擲骰子試驗 把紅桃 2 紅桃 3 紅桃 4 和方片 4 分別用數字 2 3 4 4 表示 抽象出基本事件 把復雜事件用基本事件表示 找出總體 I 包含的基本事 件總數 n 及事件 A 包含的基本事件個數 m 用公式 P A 求解 m n 答題模板 解 1 甲 乙二人抽到的牌的所有情況 方片 4 用 4 表示 其他用相應的數字表示 為 2 3 2 4 2 4 3 2 3 4 3 4 4 2 4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 共 12 種不同情況 6 分 2 甲抽到紅桃 3 乙抽到的牌的牌面數字只能是 2 4 4 因此乙抽到的牌的牌面數字 比 3 大的概率為 9 分 2 3 3 甲抽到的牌的牌面數字比乙大的情況有 3 2 4 2 4 3 4 2 4 3 共 5 種 故甲勝的概率 P1 同理乙勝的概率 P2 因為 P1 P2 所以此游戲公平 12 5 12 5 12 分 突破思維障礙 1 對一些較為簡單 基本事件個數不是太大的概率問題 計數時只需要用枚舉法即可 計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發(fā)生的概率 但應特別注意 計算時要嚴防遺 漏 絕不重復 2 取球模型是古典概型計算中的一個典型問題 好多實際問題都可以歸結到取球模型 上去 特別是產品的抽樣檢驗 解題時要分清 有放回 與 無放回 有序 與 無序 等條件的影響 易錯點剖析 1 題目中 紅桃 4 與 方片 4 屬兩個不同的基本事件 應用不同的數字或字母標 注 2 注意 抽出的牌不放回 對基本事件數目的影響 1 基本事件的特點主要有兩條 任何兩個基本事件都是互斥的 任何事件都可以 表示成基本事件的和 2 古典概型的基本特征是 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 每個基 本事件出現(xiàn)的可能性相等 3 計算古典概型的基本步驟有 判斷試驗結果是否為等可能事件 求出試驗包括 的基本事件的個數 n 以及所求事件 A 包含的基本事件的個數 m 代入公式 P A 求概率值 m n 滿分 75 分 一 選擇題 每小題 5 分 共 25 分 1 2011 浙江寧波十校聯(lián)考 將一枚骰子拋擲兩次 若先后出現(xiàn)的點數分別為 b c 則方程 x2 bx c 0 有實根的概率為 A B C D 19 36 1 2 5 9 17 36 2 2009 福建 已知某運動員每次投籃命中的概率低于 40 現(xiàn)采用隨機模擬的方法估 計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率 先由計算器產生 0 到 9 之間取整數值的隨機數 指定 1 2 3 4 表示命中 5 6 7 8 9 0 表示不命中 再以每三個隨機數為一組 代表三次投籃 的結果 經隨機模擬產生了如下 20 組隨機數 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據此估計 該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為 A 0 35 B 0 25 C 0 20 D 0 15 3 2011 西南名校聯(lián)考 連擲兩次骰子分別得到點數 m n 則向量 m n 與向量 1 1 的夾角 90 的概率是 A B C D 5 12 7 12 1 3 1 2 4 設集合 A 1 2 B 1 2 3 分別從集合 A 和 B 中隨機取一個數 a 和 b 確定平 面上的一個點 P a b 記 點 P a b 落在直線 x y n 上 為事件 Cn 2 n 5 n N 若事件 Cn的概率最大 則 n 的所有可能值為 A 3 B 4 C 2 5 D 3 4 5 在一個袋子中裝有分別標注數字 1 2 3 4 5 的五個小球 這些小球除標注的數字外完 全相同 現(xiàn)從中隨機取出 2 個小球 則取出的小球標注的數字之和為 3 或 6 的概率是 A B C D 1 12 1 10 1 5 3 10 二 填空題 每小題 4 分 共 12 分 6 在一次教師聯(lián)歡會上 到會的女教師比男教師多 12 人 從這些教師中隨機挑選一 人表演節(jié)目 若選到男教師的概率為 則參加聯(lián)歡會的教師共有 人 9 20 7 2011 上海十四校聯(lián)考 在集合 x x n 1 2 3 10 中任取一個元素 所取 n 6 元素恰好滿足方程 cos x 的概率是 1 2 8 2009 江蘇 現(xiàn)有 5 根竹竿 它們的長度 單位 m 分別為 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若從中 一次隨機抽取 2 根竹竿 則它們的長度恰好相差 0 3 m 的概率為 三 解答題 共 38 分 9 12 分 2011 北京朝陽區(qū)模擬 袋子中裝有編號為 a b 的 2 個黑球和編號為 c d e 的 3 個紅球 從中任意摸出 2 個球 1 寫出所有不同的結果 2 求恰好摸出 1 個黑球和 1 個紅球的概率 3 求至少摸出 1 個黑球的概率 10 12 分 2010