高考數(shù)學(xué)填空題解題方法與策略

高考數(shù)學(xué)填空題解題方法高考數(shù)學(xué)填空題解題方法 1 1 解填空題的常用方法和技巧解填空題的常用方法和技巧 1 1 直接推理法 直接推理法 直接法是從題設(shè)條件出發(fā) 通過(guò)計(jì)算 分析推理得出正確結(jié)論的方法 解題過(guò)程中要注意優(yōu)化思 路 少算多思 盡量減少運(yùn)算步驟 合理跳步 小題小 巧 做 以節(jié)約時(shí)間 例例 2 2 從班委會(huì) 5 名成員中選出 3 名 分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員 文娛委員 與體育委員 其中甲 乙二人不能擔(dān) 任文娛文員 則不同的選法共有 用數(shù)字作答 解法解法 1 1 分四類 選甲不選乙有 12 種 選乙不選甲 同上有 12 種 甲乙都選上有 6 112 322 CCA 21 23 AC 種 甲乙二人都不選有 6 種 共有選法 12 12 6 6 36 種 3 3 A 解法解法 2 2 從反面考慮 共有 36 種 32 54 2AA 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 本題考查有限制條件的排列組合問(wèn)題 兩種解法顯然解法 2 更簡(jiǎn)捷 另外題目要求用數(shù)字作答 就不能用 等形式表示 32 54 2AA 例例 3 3 如圖 平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA 其中與夾角為 與的夾角為 且 若 OB OC OA OB 0 120OA OC 0 30 1OAOB 2 3OC OC 則的值為 OAOB R 解法解法 1 1 與夾角為 與的夾角為 OA OB 0 120OA OC 0 30 與夾角為 0 即 OC OB 0 90OB OC 0OBOAOB 即 2 0OB OAOB 1 0 2 2 又 cos OA OC OA OC OAOC 2 3 OAOAOB 2 3 OA OB 1 2 2 3 3 2 1 3 2 由 解得 2 4 6 解法解法 2 2 以 O 為原點(diǎn) OA 為 x 軸建立直角坐標(biāo)系 則 1 0 A 13 22 B OC OAOB 13 22 3 則 1 2 OA OC 0 1 2 3cos30 3 3 2 OC OA B C 得 由圖可知 0 2222 3 3 2 3 2 OC 2 則 故 2 4 6 例例 4 4 定義在 R 上的函數(shù) f x 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 都有 和 且 f 1 1 3 f x 3f x 2 f x 2f x 則 f 2011 解 解 由 f x 3 f x 3 得 f 2011 f 2008 3 f 2008 f 2005 3 f 2005 f 2002 3 f 7 f 4 3 f 4 f 1 3 共進(jìn)行 670 次 將上述同向不等式相加可得 f 2011 f 1 3 670 即 f 2011 2011 由 得 f 2011 f 2009 2 f 2009 f 2007 2 f 2007 f 2005 2 f 5 f 3 2 f x 2f x 2 f 3 f 1 2 共進(jìn)行 1005 次 將上述同向不等式相加可得 f 2011 f 1 2 1005 即 f 2011 2011 從而 f 2011 2011 例例 5 5 數(shù)列定義如下 1 且當(dāng) n 2 時(shí) n a 1 a 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 2 1 n a 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 1 1 n a 解 解 由題設(shè)易知 又由可得 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 所以當(dāng) n n 1 為奇數(shù)時(shí) 1 0 n a 1 1a 1 n a 1 1 n n a a 1 n 為偶數(shù) 為奇數(shù) 為偶 3 2 n a 3 2 n a 2 1 n a 2 1 1 2 n a 2 n 2 1 2 11 2 n n a a 1 2 21 n a 1 2 n 數(shù) 1 2 1 24 21 nn aa 2 4 n a 即 即 21 4 n aa 2 1 4 n 6n 例例 6 6 設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)?D 如果對(duì)于任意的 存在唯一的 使 C 為常 1 xD 2 xD 12 2 f xf x C 數(shù) 成立 則稱函數(shù) f x 在 D 上均值為 C 下列五個(gè)函數(shù) 則滿足其定義域上均值為 2 的所有函數(shù)的序4sinyx 3 yx lgyx 2xy 21yx 號(hào)是 解 解 對(duì)于 若 則 因?yàn)椴晃ㄒ?不合題意 對(duì)于 若 12 4sin4sin 2 2 xx 12 sinsin1xx 2 x 則是唯一的 符合題意 對(duì)于 若 則是唯一的 符合 33 12 2 2 xx 3 3 21 4xx 12 lglg 2 2 xx 4 2 1 10 x x 題意 對(duì)于 若 則可能不存在 不合題意 對(duì)于 若 12 22 2 2 xx 12 224 xx 2 x 12 2121 2 2 xx n a 已知 則正整數(shù) n 3 2 n a 則是唯一的 符合 故填 21 3xx 2 2 特例法 特例法 當(dāng)填空題的答案暗示是與變量無(wú)關(guān)的一個(gè)定值時(shí) 常可用特例法 特殊值 特殊圖形 特殊位置等 迅速求解 例例 7 7 如圖 在 ABC 中 點(diǎn) O 是 BC 的中 點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) O 的直線分別交直線 AB AC 于不同的兩點(diǎn) MN 若 則 m n 的值為 ABmAM ACnAN 解解 1 1 O 是 BC 的中點(diǎn) 1 2 AOABAC 2 m AM 三點(diǎn)共線 得 2 n AN M O N1 22 mn 2mn 解解 2 2 用特例法 取與 B 重合 與 C 重合 此時(shí) m n 1 得 m n 2 MN 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 本題利用特殊位置迅速得解 3 3 充分應(yīng)用已知結(jié)論 充分應(yīng)用已知結(jié)論 因?yàn)樘羁疹}不必寫出解答過(guò)程 要提高解題速度 可以應(yīng)用一些典型習(xí)題的重要結(jié)論或方 法 心算 筆算結(jié)合 能減少運(yùn)算步驟 簡(jiǎn)化計(jì)算 例例 8 8 已知 則的值等于 52345 012345 1 xaa xa xa xa xa x 024135 aaaaaa 分析 分析 在二項(xiàng)式的展開式中有結(jié)論 其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為 奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 nf xaxb 1 f 偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 1 1 1 2 ff 1 1 1 2 ff 解 解 分別令 x 1 x 1 得 0 012345 aaaaaa 0123 aaaa 4 a 32 由此解得 5 a 024 16aaa 135 16aaa 256 024135 aaaaaa 例例 9 9 若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為 側(cè)棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的面上 則此球的體積為 6 2 6 分析 分析 當(dāng)一個(gè)正 n 棱柱各頂點(diǎn)都在球面上 則有結(jié)論 正 n 棱柱的體對(duì)角線即為外接球的直徑 解 解 正六棱柱的外接球的球心在正六棱柱的體對(duì)角線的中點(diǎn)上 如圖所示 又 1111 26FCAF 1 6FF 四邊形為正方形 11 FFCC 1 622 3FC 外接球直徑 即 22 3R 3R 3 4 4 3 3 VR 例例 1010 已知的方程是 的方程是 10 0 由動(dòng)點(diǎn) P 向和所引的切OA 22 20 xy O A 2 x 2 y8xOA O A 線長(zhǎng)相等 則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程是 A B O N C M A BC D EF A1 B1C1 D1 E1F1 分析 分析 有關(guān)圓的切線長(zhǎng)有結(jié)論 若圓方程為 0 則由點(diǎn) P x y 引 22 0 xyDxEyF 2 D 2 E4F 圓的切線長(zhǎng)為 22 xyDxEyF 解 解 設(shè) P x y 由切線長(zhǎng)公式得 化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 22 2xy 22 810 xyx 3 2 x 4 4 觀察法 觀察法 通過(guò)仔細(xì)觀察 抓住題設(shè)中的隱含條件或特征 挖掘出題目的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行求解 例例 1111 已知數(shù)列對(duì)于任意 有 若 則 n a p qN pqp q aaa 1 1 9 a 36 a 解 解 令 則 pn 1q 11nn aaa 11 1 9 nn aaa 所以數(shù)列是等差數(shù)列 4 n a 361 36aa 5 5 圖解法 圖解法 有些填空題涉及的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合 數(shù)以形而直觀 形以數(shù)而入微 利用圖形往往直觀 易懂 又可節(jié)省時(shí)間 例例 1212 已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為 2 焦點(diǎn)到漸近線的距離為 6 則該雙曲線的離心率為 解法解法 1 1 設(shè)雙曲線方程為 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 漸近線 則有 22 22 1 xy ab 0 a 0 c0bxay 即 22 2 ab ab ab c 22 6 bc b ab 3ac 3 c e a 解法解法 2 2 如圖 A F 分別為頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 則 即 OFFC OAAB 6 3 2 c a 6 6 等價(jià)轉(zhuǎn)化法 等價(jià)轉(zhuǎn)化法 通過(guò)命題的等價(jià)轉(zhuǎn)換 將所給命題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的命題形式 例例 1313 若函數(shù)的定義域?yàn)?R 則的取值范圍為 2 2 21 xax a f x a 解 解 函數(shù)的定義域?yàn)?R 即 1 對(duì)恒成立 等價(jià)于 0 對(duì) 2 2 21 xax a f x 2 2 2x ax a xR 2 2xaxa 恒成立 xR 0 0 1 0 2 2 4aa 1 a a a 例例 1414 函數(shù)的最小值是 cos cos2 yxxxR 分析 分析 本題關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào) 由 可設(shè) 將原函數(shù)轉(zhuǎn)化 2 cos22cos1xx 2 2 cos 1x cos tx 為關(guān)于變量 t 的函數(shù) 最后利用轉(zhuǎn)化的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于求解 t 的絕對(duì)值的函數(shù)的最小值問(wèn)題 解 解 令 0 1 則 cos tx 2 21 ytt 當(dāng)時(shí) 得 2 1 2 t 2 21ytt 2 19 2 48 t 2 2 2 y y x O AF C B 當(dāng)時(shí) 得 2 0 2 t 2 21ytt 2 19 2 48 t 29 28 y 的最小值是 y 2 2 訓(xùn)練題訓(xùn)練題 1 1 1 把 10 個(gè)相同的小球放入三個(gè)盒子中 每個(gè)盒子至少放一個(gè)球 則不同的放法種數(shù)是 2 方程 x y z 15 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 3 把 10 個(gè)相同的小球放入三個(gè)編號(hào)為 的三個(gè)盒子中 要求放入各盒的個(gè)數(shù)不少于它們的編號(hào)數(shù) 則 共有不同的放法 種 2 2 給出定義 若 其中 m 為整數(shù) 則 m 叫做離實(shí)數(shù) x 最近的整數(shù) 記作 即 11 22 mxm x xm 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù) f x x x 的四個(gè)命題 函數(shù) y f x 的定義域是 R 值域是 函數(shù) y f x 的圖像關(guān)于直線 x k Z 對(duì)稱 函數(shù) y f x 1 0 22 k 是周期函數(shù) 最小正周期是 1 函數(shù) y f x 在上是增函數(shù) 則其中真命題是 寫出所有真命 1 1 2 2 題的序號(hào) 3 定義一種新運(yùn)算 如下 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 對(duì)于函數(shù) f x 2 ab aba ab 2 abb x 和 仍是通常的乘法和減法 把 f x 的圖像按向量平移后得到 g x 的圖像 若 g 2 xx 2 2 x a x 為奇函數(shù) 則 a 4 在四棱錐 P ABCD 中 側(cè)面 PAD 為正三角形 底面 ABCD 為正方形 側(cè)面 PAD 底面 ABCD M 為底面 ABCD 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且滿足 MP MC 則點(diǎn) M 在正方形 ABCD 內(nèi)的軌跡為下圖中的 5 給出下列定義 連接平面點(diǎn)集內(nèi)兩點(diǎn)的線段上的點(diǎn)都在該點(diǎn)集內(nèi) 則這種線段的最大長(zhǎng)度就叫做該平面點(diǎn)集的 長(zhǎng)度 已知平面點(diǎn)集 M 由不等式組 2 220 xx 給出 則 M 的長(zhǎng)度是 10 xy 0y 6 已知 M 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn) 且 定義 f M m n p 其中 m n p 分2 3AB AC 0 30BAC AB CD P AB CD AB CD AB CD AB CD 甲乙丙丁 別是 MBC MCA MAB 的面積 若 f P 則的最小值是 1 2 x y 14 xy 7 在數(shù)列中 若 則該數(shù)列的通項(xiàng) n a 11 1 231 n nn aaan n a 8 口袋里裝有個(gè)紅球和個(gè)白球 現(xiàn)從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球 若摸出的兩個(gè)球是同色的概率等于mn4mn 摸出的兩個(gè)球是異色的概率 則滿足關(guān)系的數(shù)組的個(gè)數(shù)有 個(gè) 40mn m n 9 已知橢圓的長(zhǎng)軸為 短軸為 將所在平面沿軸折成一個(gè)二面角 使點(diǎn)在平面 22 1 1612 xy 12 A A 12 B By 2 A 的射影恰好是橢圓的左焦點(diǎn) 則此二面角大小為 112 B AB 10 設(shè)函數(shù) 給出下列四個(gè)命題 f xx xbxc 當(dāng)時(shí) 是奇函數(shù) 當(dāng)時(shí) 方程只有一個(gè)實(shí)根 0c yf x 0 0bc 0f x 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 方程至多有兩個(gè)實(shí)根 yf x 0 c 0f x 其中正確命題的個(gè)數(shù)有 個(gè) 11 雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為 點(diǎn) 在其右支上 且滿足 22 2xy 12 F F nnn Pxy1 2 3n 則的值是 121nn P FP F 1212 PFFF 2008 x 12 用四種不同顏色對(duì)圓上依次排列的 A B C D 四點(diǎn)染色 每個(gè)點(diǎn)染一種顏色 且相鄰兩點(diǎn)染不同的顏色 則染色方案的總數(shù)為 13 設(shè)函數(shù)的定義域分別為 且 若對(duì)于任意 都有 則稱函數(shù) fg xx fg DD fg DD f xD gf xx 為在上的一個(gè)延拓函數(shù) 設(shè) 為在 R 上的一個(gè)延拓函數(shù) 且是偶函數(shù) gx f x g D 2 0 x f xx gx f x gx 則 gx 14 數(shù)列滿足 且對(duì)于任何正整數(shù) n 均成立 則 n a 1 1 4 a 2 1 5 a 1223111nnn a aa aa ana a 的值為 1297 111 aaa 15 已知二次函數(shù)的值域?yàn)?則