算術幾何平均

算術幾何平均算術幾何平均 算術幾何平均算術幾何平均兩個數的兩個數的和和 也經常寫也經常寫或或 被定義為從被定義為從和和 然后迭代然后迭代 1 1 2 2 直到直到到所需的精度 到所需的精度 和和互相靠攏互相靠攏 3 3 4 4 但但 所以所以 5 5 現(xiàn)在現(xiàn)在 添加添加對每一方對每一方 6 6 所以所以 7 7 塊頂部顯示塊頂部顯示為為和和為為 而底部的兩個情節(jié)表演而底部的兩個情節(jié)表演對于復雜的值對于復雜的值 年度股東大會是非常有用的在計算的值完成年度股東大會是非常有用的在計算的值完成橢圓積分 也可以用于尋找也可以用于尋找逆切 它的實現(xiàn)它的實現(xiàn)Wolfram 語言作為作為ArithmeticGeometricMean a b a b 可以表示在封閉形式的可以表示在封閉形式的第一類完全橢圓積分作為作為 8 8 算術幾何平均的定義還持有算術幾何平均的定義還持有復平面 正如上文所述正如上文所述 算術幾何平均的勒讓德形式給出算術幾何平均的勒讓德形式給出 9 9 在哪里在哪里和和 10 10 特殊的值特殊的值在下表中進行了總結 一個特殊的值在下表中進行了總結 一個特殊的值 11 11 OEIS OEISA014549 高斯是常數 它具有封閉形式 它具有封閉形式 12 12 13 13 上面的積分是在哪里上面的積分是在哪里雙紐線函數平等的算術幾何平均高斯積分是已知的平等的算術幾何平均高斯積分是已知的 Borwein Borwein 和貝利和貝利 20032003 年年 頁頁 1313 15 15 斯隆斯隆價值價值 A068521 1 4567910310469068692 1 4567910310469068692 A084895 1 8636167832448965424 1 8636167832448965424 A084896 2 2430285802876025701 2 2430285802876025701 A084897 2 6040081905309402887 2 6040081905309402887 年度股東大會是由的導數年度股東大會是由的導數 14 14 15 15 在哪里在哪里 是一個是一個第一類完全橢圓積分 是是第二類完全橢圓積分 的級數展開的級數展開是由是由 16 16 年度股東大會的屬性年度股東大會的屬性 17 17 18 18 19 19 20 20 解決微分方程解決微分方程 21 21 是由是由和和 算術幾何平均的泛化算術幾何平均的泛化 22 22 與微分方程的解決方案是什么與微分方程的解決方案是什么 23 23 這個案子這個案子對應于算術幾何平均通過對應于算術幾何平均通過 24 24 25 25 這個案子這個案子給出了立方相對給出了立方相對 26 26 27 27 討論討論 BorweinBorwein 和和 Borwein 1990Borwein 1990 1991 1991 和和 Borwein 1996 Borwein 1996 為 為 這個函數滿足函數方程這個函數滿足函數方程 28 28 因此因此 對于迭代對于迭代和和和和 29 29 30 30 所以所以 31 31 在哪里在哪里 32 32 參見參見 Brent Salamin 公式公式 Brent Salamin 公式公式 也叫做也叫做 Gauss Salamin 公式或公式或 Salamin 公式公式 使用的是一個公式使用的是一個公式算術幾何平均來計算來計算 二次收斂 讓 二次收斂 讓 1 2 3 4 并定義初始條件并定義初始條件 然后迭代 然后迭代和和給出了給出了算術幾何平均 是由是由 5 6 王王 1924 表明表明 這個公式和這個公式和勒讓德關系是等價的是等價的 也可能來自其他 也可能來自其他 高斯是常數高斯是常數 的的互惠的的算術幾何平均1 1 2 3 4 5 6 7 OEISA014549 是是第一類完全橢圓積分 是一個是一個雅可比 的函數 是是 函數 這信件被高斯第一次注意到 這信件被高斯第一次注意到 他探索的基礎他探索的基礎雙紐線函數 Borwein 和貝利和貝利 2003 頁頁 13 15 兩個迅速收斂級數兩個迅速收斂級數是由是由 8 9 芬奇芬奇 2003 p 421 高斯的常數高斯的常數連分數 0 1 5 21 歲歲 3 4 14 日日 1 1 1 1 1 3 1 日日 15 日日 OEISA053002 逆高斯的常數是由逆高斯的常數是由 10 10 OEISA053004 芬奇芬奇 2003 p 420 Borwein 和貝利和貝利 2003 年年 13 頁頁 1 5 21 歲的歲的 3 4 14 日日 1 1 1 1 1 3 1 15 日日 1 OEISA053003 的值的值 11 11 OEISA097057有時被稱為有時被稱為無處不在的常數 Spanier 和奧爾德姆和奧爾德姆 1987 施羅德施羅德 1987 芬奇芬奇 2003 p 421 和和 12 12 OEISA076390有時被稱為第二有時被稱為第二雙紐線不變 芬奇芬奇 2003 p 421 高斯的常量高斯的常量和和有關有關雙紐線不變通過通過 13 14 芬奇芬奇 2003 p 420 無處不在的常數無處不在的常數 讓讓是是高斯是常數和和是它的乘法逆元 然后是它的乘法逆元 然后 OEISA097057 有時被稱為無處不在的常數有時被稱為無處不在的常數 Spanier 和奧爾德姆和奧爾德姆 1987 施羅德施羅德 1987 芬奇芬奇 1994 p 421 U n 基本超幾何級數基本超幾何級數 多個系列基本超幾何級數的概括多個系列基本超幾何級數的概括統(tǒng)一的組織 基本定理 基本定理系列采用了系列采用了 和和 不確定的和不確定的和 然后 然后 在假定沒有分母消失在假定沒有分母消失 博博 1995 p 22 這個定理稱為一個系列 這個定理稱為一個系列系列系列 米爾恩博米爾恩博 1985 1985 年年 p 22 許多其他的許多其他的結果結果 包括包括q binomial 定理和和q Saalschutz 總和可以推廣到可以推廣到系列 系列 貝特曼函數貝特曼函數 為為 在那里在那里是一個是一個合流超幾何函數的第二種 第一類合流超幾何函數第一類合流超幾何函數 第一種的合流超幾何函數第一種的合流超幾何函數是一種墮落的是一種墮落的超幾何函數作為解決方案的出現(xiàn)作為解決方案的出現(xiàn)合流超幾何方程 它也被稱為第一類 它也被稱為第一類 Kummer 領軍的功能 有許多其他領軍的功能 有許多其他 的符號用于函數的符號用于函數 斯萊特斯萊特 1960 年年 p 2 包括包括 Kummer 領軍領軍 1836 Airey 和韋伯和韋伯 1918 亨伯特亨伯特 1920 年年 和和 Magnus 和和 Oberhettinger 1948 另一種形式的解決方案 另一種形式的解決方案合流超幾何方程被稱為被稱為惠塔克函數 第一種的合流超幾何函數的實現(xiàn)第一種的合流超幾何函數的實現(xiàn)Wolfram 語言作為作為Hypergeometric1F1 a b z 合流超幾何函數的合流超幾何函數的超幾何級數給出的給出的 1 1 在哪里在哪里和和是是Pochhammer 符號 如果 如果和和是是整數 要么要么或或 那么系列收益率那么系列收益率多項式有有限數量的條件 如果有有限數量的條件 如果是一個是一個整數 然后然后 是未定義的 合流超幾何函數得到的是未定義的 合流超幾何函數得到的拉蓋爾多項式通過通過 2 2 Arfken 1985 p 755 還有一個積分表示還有一個積分表示 3 3 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 p 505 貝塞爾函數 小塊土地 不完整的 函數 埃爾米特多項式 拉蓋爾多項式 以及其他都是這個函數的特殊情況以及其他都是這個函數的特殊情況 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 p 1972 Kummer 領軍顯示領軍顯示 4 4 Koepf 1998 42 頁頁 Kummer 領軍的第二個公式給了給了 5 6 在哪里在哪里 參見參見 Pochhammer 象征象征 Pochhammer 符號符號 1 2 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 p 256 Spanier 1987 Koepf 1998 p 5 一個不幸的符號用于理論的特殊功能一個不幸的符號用于理論的特殊功能上升 也被稱為階乘崛起也被稱為階乘崛起 Graham et al 1994 年年 48 頁頁 或提升或提升 階乘階乘 米德爾斯堡和摩爾米德爾斯堡和摩爾 2004 p 16 Pochhammer 符號實現(xiàn)的符號實現(xiàn)的Wolfram 語言作為作為Pochhammer x n 組合的符號組合的符號 羅馬羅馬 1984 年年 p 5 Comtet 1974 年年 p 6 或或 Graham et al 1994 年年 p 48 用于用于上升 而而或或表示表示下降 Graham et al 1994 年年 p 48 因此需 因此需 要極其謹慎的解釋的符號要極其謹慎的解釋的符號和和 的頭幾個值的頭幾個值為非負整數為非負整數是是 3 4 5 6 7 OEISA054654 在封閉的形式在封閉的形式 可以寫可以寫 8 在哪里在哪里是一個是一個斯特靈第一種的數量 Pochhammer 象征滿足象征滿足 9 分為兩半的公式分為兩半的公式 10 11 和復制公式和復制公式 12 米德爾斯堡和摩爾米德爾斯堡和摩爾 2004 p 17 的比例的比例 Pochhammer 符號在封閉的形式給出符號在封閉的形式給出 13 米德爾斯堡和摩爾米德爾斯堡和摩爾 2004 p 17 的導數是的導數是 14 在哪里在哪里是是雙函數 特殊值包括特殊值包括 15 16 Pochhammer 符號符號由于歐拉遵循轉換由于歐拉遵循轉換 17 在哪里在哪里是是向前的區(qū)別和和 18 N rlund 1955 的總和的總和可以做在封閉的形式可以做在封閉的形式 19 為為 考慮到產品考慮到產品 20 21 這個函數收斂于這個函數收斂于 0 一個有限值一個有限值 或發(fā)散或發(fā)散 這取決于的價值這取決于的價值 給出的臨界曲線 給出的臨界曲線隱式方程 22 在這條曲線上在這條曲線上 函數收斂于函數收斂于 0 而外面而外面 它發(fā)散 最大的融合發(fā)生是由真正的價值它發(fā)散 最大的融合發(fā)生是由真正的價值 OEISA090462 最小值最小值 的極值值 的極值值是由是由 OEISA090463 在關鍵的輪廓 在關鍵的輪廓 需要的值需要的值 23 策劃的適當擴展版本策劃的適當擴展版本與與 有限顯示美麗的和微妙的結構如上文所述有限顯示美麗的和微妙的結構如上文所述 m Trott per 通訊 通訊 12 月月 1 日日 2003 另一個美麗的可視化情節(jié)另一個美麗的可視化情節(jié) 正如上文所述正如上文所述 m Trott per 通訊 通訊 2003 年年 12 月月 2 日日 參見參見 合流超幾何函數的第二種合流超幾何函數的第二種 第二類的合流超幾何函數使第二個線性無關的解第二類的合流超幾何函數使第二個線性無關的解合流超幾何方程 它也被稱為 它也被稱為 Kummer 領軍的第二種功能領軍的第二種功能 Tricomi 函數函數 或戈登功能 它是表示或戈登功能 它是表示 可以定義為可以定義為 1 2 在哪里在哪里是一個正規(guī)化是一個正規(guī)化第一類合流超幾何函數 是一個是一個 函數 是一個是一個廣義超幾何函數 這是收斂的地方但存在作為一個正式的冪級數這是收斂的地方但存在作為一個正式的冪級數 阿布拉莫阿布拉莫 維茨維茨 Stegun 1972 p 504 它有一個積分表示它有一個積分表示 3 為為 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 p 505 第二類的合流超幾何函數的實現(xiàn)第二類的合流超幾何函數的實現(xiàn)Wolfram 語言作為作為HypergeometricU a b z 的的惠塔克函數提供解決方案的另一種形式 提供解決方案的另一種形式 該函數有一個該函數有一個麥克勞林級數 4 和和漸近級數 5 有有導數 6 和和不定積分 7 在哪里在哪里是一個是一個梅耶爾準備功能和和是一個是一個積分常數 梅耶爾準備功能梅耶爾準備功能 梅耶爾的梅耶爾的函數是一個非常通用功能函數是一個非常通用功能 減少在許多常見情況下簡單的特殊功能 梅耶爾的減少在許多常見情況下簡單的特殊功能 梅耶爾的函數被定義為函數被定義為 1 在哪里在哪里是是 函數 Erdelyi et al 1981 年年 p 1068 Gradshteyn 和和 Ryzhik 2000 形式不同但功能等價的形式被 形式不同但功能等價的形式被 Prudnikov et al 1990 第第 793 頁頁 2 這種形式提供了更多的一致性的定義這個函數通過一個逆這種形式提供了更多的一致性的定義這個函數通過一個逆梅林變換 梅耶爾的梅耶爾的函數的實現(xiàn)函數的實現(xiàn)Wolfram 語言作為作為MeijerG a1 一個一個 n 1 美聯(lián)社美聯(lián)社 b1 bm b m 1 bq z 一個廣義的定義的函數形式 一個廣義的定義的函數形式 3 實現(xiàn)的實現(xiàn)的Wolfram 語言作為作為MeijerG a1 一個一個 n 1 美聯(lián)社美聯(lián)社 b1 bm b m 1 bq z r 在這兩種在這兩種 2 和和 3 輪廓之間的謊言之間的謊言波蘭人的的和和波蘭人的的 例如 例如 輪廓為為如上圖如上圖 在嗎在嗎復平面和疊加函數本身和疊加函數本身 m Trott Prudnikov et al 1990 包含了一個廣泛的近包含了一個廣泛的近 200 頁的清單梅耶爾的公式頁的清單梅耶爾的公式函數 函數 特殊情況包括特殊情況包括 4 5 6 7 的一個特例的一個特例 2 argument 形式形式 8 參見參見 L 函數 編輯 本詞條缺少名片圖名片圖 補充相關內容使詞條更完整 還能快速升級 趕緊來編輯吧 是有算術有意義和算術背景的 L 函數 例如黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素數定理時 引出了和素數分布有關的復變量的黎曼 zeta 函數 中文名中文名 L 函數 用用 途途 Dirichlet 級數 發(fā)布者發(fā)布者 羅伯特 朗蘭茲 編編 輯輯 黎曼猜想 目錄 1 1 1 簡介 2 2 2 來源 3 2 1 算術 L 函數 4 2 2 自守 L 函數 5 3 3 研究內容 6 3 1 解析延拓 函數方程 1 3 2 零點的分布 2 3 3 特殊點的值 3 4 4 研究意義 4 5 5 三個公開問題 5 5 1 廣義 Riemann 猜想 1 5 2 廣義 Lindelof 猜想 2 5 3 廣義 Ramanujan 猜想 1 簡介編輯 一般地 對于數學對象 我們可定義復數列 形如 且具有 Euler 乘積的 Dirichlet 級數 我們稱其為關于 的 函數 2 來源編輯 一般地說 函數來源由兩類組成 算術 L 函數和自守 L 函數 這兩者又是密切聯(lián)系在一起的 根據羅伯特 朗蘭茲的猜想 籠統(tǒng)地說 一切有意義的 L 函數都來自自守 L 函數 2 1 算術 L 函數 簡單地說 同樣地 狄利克雷在研究算術級數中的素數分布時 引入了 Dirichlet L 函數 Dedekind zeta 函數 設 為一代數數域 橢圓曲線的 Haass Weil L 函數 設 為一非奇異的橢圓曲線 定義 為曲線在有限域 上的解 設 則下面的級數稱為關于曲線的 Haass Weil L 函數 阿廷 L 函數 設 是一個有限維的伽羅瓦表示 其中 為一代數數域 2 2 自守 L 函數 全純模形式的 L 函數 Maass L 函數 標準 L 函數等等 1 3 研究內容編輯 根據羅伯特 朗蘭茲在國際數學家大會上的報告所指 研究一個 L 函數主要有三部分內容 2 3 1 解析延拓 函數方程 L 函數的解析延拓和函數方程這是最基本的一部分 對于一般的自守 L 函數這是較容易得到的 但是對算術的 L 函數這一部分并不是容易得 到的 例如 對于 Haass Weil L 函數 這部分就是谷山 志村猜想 該猜想一部分就能推出費爾馬大定理 關于阿廷 L 函數的全純解析沿拓的阿廷 猜想也是數論中重要的未知問題 對于數學對象 的 L 函數 我們定義其的 gamma 因子為 3 其中 為復參數 定義下面關于 的完全 函數 那么 一般地我們有函數方程 其中 為模為 1 的復數 為關于 的對偶對象 3 2 零點的分布 非零區(qū)域 如黎曼 zeta 函數的目前最好的非零區(qū)域為 4 黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題 5 在假設黎曼猜想下 零點虛部的分布問題與隨機矩陣的聯(lián)系等等 3 3 特殊點的值 中心值 臨界點 整點的值 極點的留數等 這里面也有很多猜想 像 BSD 猜想 類數問題 Deligne 猜想 Beilinson 猜想 Goldfeld 猜想 其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大 而是關心的這個量里面隱含著什么樣的算術意義 像 Dedekind zeta 函數在 s 1 處的留數 里 面包含了一個數域的很多不變量 類數 判別式 regular 等 BSD 猜想就是 Haass Weil L 函數在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩 4 研究意義編輯 對于一個研究對象 如素數 伽羅瓦擴張 橢圓曲線 代數簇等等 我們可根據其性質構造出一個復變量的 L 函數 函數的解析性質 零點和極點 函數方程 展開系數 特殊點的值等等 往往能夠充分反映 的算術 幾何 或代數性質 5 三個公開問題編輯 關于 L 函數的研究 有許多未解決的公開問題 在這些問題中 尤以下面三個著名 6 5 1 廣義 Riemann 猜想 L 函數所有非平凡的零點均位于 線上 5 2 廣義 Lindelof 猜想 在 3 1 的函數方程中 有猜想 其中 為任意小的正實數 5 3 廣義 Ramanujan 猜想 在 3 1 的函數方程中 猜想對非分歧的有 和 庫侖波函數庫侖波函數 的一個特例的一個特例第一類合流超幾何函數 它使徑向薛定諤方程的解在庫侖勢 它使徑向薛定諤方程的解在庫侖勢 的原子核的原子核 1 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 Zwillinger 1997 p 122 完整的解決方案 完整的解決方案 2 第一種的庫侖作用第一種的庫侖作用 3 在哪里在哪里 4 是是第一類合流超幾何函數 是是 函數第二類第二類 庫侖函數庫侖函數 5 在哪里在哪里 阿布拉莫維茨和定義阿布拉莫維茨和定義 Stegun 1972 第第 538 頁頁 坎寧安函數坎寧安函數 坎寧安函數坎寧安函數 有時也稱為有時也稱為 Pearson Cunningham 函數函數 可以表達可以表達惠塔克函數 惠塔克和沃森惠塔克和沃森 1990 p 353 在哪里在哪里是一個是一個合流超幾何函數的第二種 阿布拉莫維茨和阿布拉莫維茨和 Stegun 1972 p 510 惠塔克函數惠塔克函數 惠塔克函數產生的解決方案惠塔克函數產生的解決方案惠塔克微分方程 這個方程的線性獨立的解決方案 這個方程的線性獨立的解決方案 1 2 和和 是一個是一個合流超幾何函數的第