2011年福建省高考數(shù)學理科60天沖刺知識點(2)

www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 20112011 年福建省高考年福建省高考數(shù)學數(shù)學 60 60 天沖刺知識點天沖刺知識點 2 2 一 直線與方程一 直線與方程 1 直線的傾斜角 直線的傾斜角 定義 x 軸正向正向與直線向上方向向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角 特別地 當直線與 x 軸平 行或重合時 我們規(guī)定它的傾斜角為 0 度 因此 傾斜角的取值范圍是 0 180 2 直線的斜率 直線的斜率 定義 傾斜角不是 90 的直線 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率 直線的斜率常 用 k 表示 即 斜率反映直線與軸的傾斜程度 tank 當時 當時 當時 不存 90 0 0 k 180 90 0 k 90 k 在 過兩點的直線的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四點 1 當時 公式右邊無意義 直線的斜率不存在 傾斜角為 90 21 xx 2 k與P1 P2的順序無關 3 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接 求得 4 求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到 3 直線方程 直線方程 點斜式 點斜式 直線斜率 k 且過點 11 xxkyy 11 y x 注意 注意 當直線的斜率為 0 時 k 0 直線的方程是y y1 當直線的斜率為 90 時 直線的斜率不存在 它的方程不能用點斜式表示 但因l 上每一點的橫坐標都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 斜截式 直線斜率為k 直線在y軸上的截距為bbkxy 兩點式 兩點式 直線兩點 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直線與軸交于點 與軸交于點 即與軸 軸的截距截距分別為 lx 0 ay 0 blxy a b 一般式 一般式 A B 不全為不全為 0 0 CByAx 注意 注意 各式的適用范圍 特殊的方程如 1 2 平行于 x 軸的直線 b 為常數(shù) 平行于 y 軸的直線 a 為常數(shù) by ax 5 直線系方程 即具有某一共同性質的直線 直線系方程 即具有某一共同性質的直線 一 平行直線系 一 平行直線系 平行于已知直線 是不全為 0 的常數(shù) 的直線系 0 000 CyBxA 00 B A C 為常數(shù) 0 00 CyBxA 二 過定點的直線系 二 過定點的直線系 斜率為k的直線系 直線過定點 00 xxkyy 00 y x 過兩條直線 的交點的直線系方0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 程為 為參數(shù) 其中直線不在直線系中 0 222111 CyBxACyBxA 2 l 6 兩直線平行與垂直 兩直線平行與垂直 當 時 111 bxkyl 222 bxkyl www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判斷直線的平行與垂直時 要注意斜率的存在與否 注意 利用斜率判斷直線的平行與垂直時 要注意斜率的存在與否 7 兩條直線的交點 兩條直線的交點 相交0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交點坐標即方程組的一組解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程組無解 方程組有無數(shù)解與重合 21 l l 1 l 2 l 8 兩點間距離公式 兩點間距離公式 設是平面直角坐標系中的兩個點 1122 A x yB xy 則 22 2121 ABxxyy 9 點到直線距離公式 點到直線距離公式 一點到直線的距離 00 y xP0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 10 兩平行直線距離公式 兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點 再轉化為點到直線的距離進行求解 二 圓的方程二 圓的方程 1 圓的定義 圓的定義 平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓 定點為圓心 定長為圓的 半徑 2 圓的方程 圓的方程 1 標準方程 標準方程 圓心 半徑為 r 2 22 rbyax ba 2 一般方程 一般方程0 22 FEyDxyx 當時 方程表示圓 此時圓心為 半徑為04 22 FED 2 2 ED FEDr4 2 1 22 當時 表示一個點 當時 方程不表示任何圖04 22 FED04 22 FED 形 3 求圓方程的方法 求圓方程的方法 一般都采用待定系數(shù)法 先設后求 一般都采用待定系數(shù)法 先設后求 確定一個圓需要三個獨立條件 若利用圓的標準方 程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圓的幾何性質 如弦的中垂線必經(jīng)過原點 以此來確定圓心的位置 另外要注意多利用圓的幾何性質 如弦的中垂線必經(jīng)過原點 以此來確定圓心的位置 3 直線與圓的位置關系 直線與圓的位置關系 直線與圓的位置關系有相離 相切 相交三種情況 基本上由下列兩種方法判斷 1 設直線 圓 圓心到l的距離0 CByAxl 2 22 rbyaxC baC 為 則有 22 BA CBbAa d 相離與Clrd 相切與Clrd 相交與Clrd 2 設直線 圓 先將方程聯(lián)立消元 得到0 CByAxl 2 22 rbyaxC 一個一元二次方程之后 令其中的判別式為 則有 相離與Cl 0相切與Cl 0相交與Cl 0 注 如果圓心的位置在原點 可使用公式去解直線與圓相切的問題 其中 2 00 ryyxx 表示切點坐標 r 表示半徑 00 y x 3 過圓上一點的切線方程 過圓上一點的切線方程 圓 x2 y2 r2 圓上一點為 x0 y0 則過此點的切線方程為 課本命題 2 00 ryyxx 圓 x a 2 y b 2 r2 圓上一點為 x0 y0 則過此點的切線方程為 x0 a x a y0 b y b r2 課本命題的推廣 4 圓與圓的位置關系 圓與圓的位置關系 通過兩圓半徑的和 差 與圓心距 d 之間的大小比較來確定 www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 設圓 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和 差 與圓心距 d 之間的大小比較來確定 當時兩圓外離 此時有公切線四條 rRd 當時兩圓外切 連心線過切點 有外公切線兩條 內(nèi)公切線一條 rRd 當時兩圓相交 連心線垂直平分公共弦 有兩條外公切線 rRdrR 當時 兩圓內(nèi)切 連心線經(jīng)過切點 只有一條公切線 rRd 當時 兩圓內(nèi)含 當時 為同心圓 rRd 0 d 三 立體幾何初步三 立體幾何初步 1 柱 錐 臺 球的結構特征 柱 錐 臺 球的結構特征 1 棱柱 定義 棱柱 定義 有兩個面互相平行 其余各面都是四邊形 且每相鄰兩個四邊形的公共 邊都互相平行 由這些面所圍成的幾何體 分類分類 以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示表示 用各頂點字母 如五棱柱或用對角線的端點字母 如五棱 EDCBAABCDE 柱 AD 幾何特征幾何特征 兩底面是對應邊平行的全等多邊形 側面 對角面都是平行四邊形 側棱平行 且相等 平行于底面的截面是與底面全等的多邊形 2 棱錐 棱錐 定義定義 有一個面是多邊形 其余各面都是有一個公共頂點的三角形 由這些面所圍成的幾 何體 分類分類 以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐 四棱錐 五棱錐等 表示表示 用各頂點字母 如五棱錐 EDCBAP 幾何特征幾何特征 側面 對角面都是三角形 平行于底面的截面與底面相似 其相似比等于頂點 到截面距離與高的比的平方 3 棱臺 定義 棱臺 定義 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐 截面和底面之間的部分 分類分類 以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài) 四棱臺 五棱臺等 表示表示 用各頂點字母 如五棱臺 EDCBAP 幾何特征幾何特征 上下底面是相似的平行多邊形 側面是梯形 側棱交于原棱錐的頂點 4 圓柱 定義 圓柱 定義 以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉 其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的 幾何體 幾何特征幾何特征 底面是全等的圓 母線與軸平行 軸與底面圓的半徑垂直 側面展開 圖是一個矩形 5 圓錐 定義 圓錐 定義 以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸 旋轉一周所成的曲面所圍成的幾 何體 幾何特征幾何特征 底面是一個圓 母線交于圓錐的頂點 側面展開圖是一個扇形 6 圓臺 定義 圓臺 定義 用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐 截面和底面之間的部分 幾何特征 幾何特征 上下底面是兩個圓 側面母線交于原圓錐的頂點 側面展開圖是一個弓 形 www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 7 球體 定義 球體 定義 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸 半圓面旋轉一周形成的幾何體 幾何特征 幾何特征 球的截面是圓 球面上任意一點到球心的距離等于半徑 2 空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖 定義三視圖 正視圖 光線從幾何體的前面向后面正投影 側視圖 從左向右 俯視圖 從上向下 注 正視圖反映了物體上下 左右的位置關系 即反映了物體的高度和長度 俯視圖反映了物體左右 前后的位置關系 即反映了物體的長度和寬度 側視圖反映了物體上下 前后的位置關系 即反映了物體的高度和寬度 3 空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖 斜二測畫法斜二測畫法 斜二測畫法特點 斜二測畫法特點 原來與 x 軸平行的線段仍然與 x 平行且長度不變 原來與 y 軸平行的線段仍然與 y 平行 長度為原來的一半 4 柱體 錐體 臺體的表面積與體積 柱體 錐體 臺體的表面積與體積 1 幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和 幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和 2 特殊幾何體表面積公式 特殊幾何體表面積公式 c 為底面周長 為底面周長 h 為高 為高 為斜高 為斜高 l 為母線 為母線 h chS 直棱柱側面積 rhS 2 圓柱側 2 1 chS 正棱錐側面積 rlS 圓錐側面積 2 1 21 hccS 正棱臺側面積 lRrS 圓臺側面積 lrrS 2 圓柱表 lrrS 圓錐表 22 RRlrlrS 圓臺表 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 柱體 錐體 臺體的體積公式 VSh 柱 2 VShr h 圓柱 1 3 VSh 錐 hrV 2 3 1 圓錐 1 3 VSS SS h 臺 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圓臺 4 球體的表面積和體積公式 球體的表面積和體積公式 V S 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 4 空間點 直線 平面的位置關系 空間點 直線 平面的位置關系 1 平面 平面 平面的概念 平面的概念 A 描述性說明 B 平面是無限伸展的 平面的表示 平面的表示 通常用希臘字母 表示 如平面 通常寫在一個銳角內(nèi) 也可以用兩個相對頂點的字母來表示 如平面 BC 點與平面的關系 點與平面的關系 點 A 在平面內(nèi) 記作 點不在平面內(nèi) 記作 A A A 點與直線的關系 點與直線的關系 點 A 的直線 l 上 記作 A l 點 A 在直線 l 外 記作 Al www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 直線與平面的關系直線與平面的關系 直線 l 在平面 內(nèi) 記作 l 直線 l 不在平面 內(nèi) 記作 l 2 公理 公理 1 如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi) 那么這條直線是所有的點都在這個平面 內(nèi) 即直線在平面內(nèi) 或者平面經(jīng)過直線 應用 應用 檢驗桌面是否平 判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理用符號語言表示公理 1 Al Bl ABl 3 公理 公理 2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點 有且只有一個平面 推論 推論 一直線和直線外一點確定一平面 兩相交直線確定一平面 兩平行直線確定一 平面 公理公理 2 及其推論作用 及其推論作用 它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù) 4 公理 公理 3 如果兩個不重合的平面有一個公共點 那么它們有且只有一條過該點的公共直 線 符號 符號 平面 和 相交 交線是 a 記作 a 符號語言 符號語言 PABABl Pl 公理公理 3 的作用 的作用 它是判定兩個平面相交的方法 它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系 交線必過公共點 它可以判斷點在直線上 即證若干個點共線的重要依據(jù) 5 公理 公理 4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 6 空間直線與直線之間的位置關系 空間直線與直線之間的位置關系 異面直線定義 異面直線定義 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質異面直線性質 既不平行 又不相交 異面直線判定 異面直線判定 過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角異面直線所成角 直線 a b 是異面直線 經(jīng)過空間任意一點 O 分別引直線 a a b b 則把直線 a 和 b 所成的銳角 或直角 叫做異面直線 a 和 b 所成的角 兩條異面直 線所成角的范圍是 0 90 若兩條異面直線所成的角是直角 我們就說這兩條異面兩條異面 直線互相垂直 直線互相垂直 說明說明 1 判定空間直線是異面直線方法 根據(jù)異面直線的定義 異面直線的判定定 理 2 在異面直線所成角定義中 空間一點 O 是任取的 而和點 O 的位置無關 求異面直線所成角步驟 A 利用定義構造角 可固定一條 平移另一條 或兩條同時平移到某個特殊的位置 頂 點選在特殊的位置上 B 證明作出的角即為所求角 C 利用三角形來求角 7 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行 那么這兩角相等或互補 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行 那么這兩角相等或互補 8 空間直線與平面之間的位置關系 空間直線與平面之間的位置關系 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點 三種位置關系的符號表示 三種位置關系的符號表示 a a A a 9 平面與平面之間的位置關系 平面與平面之間的位置關系 平行 沒有公共點 相交 有一條公共直線 b 5 空間中的平行問題 空間中的平行問題 1 直線與平面平行的判定及其性質 直線與平面平行的判定及其性質 線面平行的判定定理線面平行的判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行 則該直線與此平面平行 線線平行線面平行 線面平行的性質定理 線面平行的性質定理 如果一條直線和一個平面平行 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交 www tesoon co m 天星教育 網(wǎng) 那么這條直線和交線平行 線面平行線線平行 2 平面與平面平行的判定及其性質 平面與平面平行的判定及其性質 兩個平面平行的判定定理兩個平面平行的判定定理 1 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 線面平行 面面平行 2 如果在兩個平面內(nèi) 各有兩組相交直線對應平行 那么這兩個平面平行 線線平行 面面平行 3 垂直于同一條直線的兩個平面平行 兩個平面平行的性質定理兩個平面平行的性質定理 1 如果兩個平面平行 那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行 面面平行 線面 平行 2 如果兩個平行平面都和第三個平面相交 那么它們的交線平行 面面平行 線線平 行 7 空間中的垂直問題 空間中的垂直問題 1 線線 面面 線面垂直的定義 線線 面面 線面垂直的定義 兩條異面直線的垂直 如果兩條異面直線所成的角是直角 就說這兩條異面直線互相垂 直 線面垂直 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直 就說這條直線和這個平面 垂直 平面和平面垂直 如果兩個平面相交 所成的二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所 組成的圖形 是直二面角 平面角是直角 就說這兩個平面垂直 2 垂直關系的判定和性質定理 垂直關系的判定和性質定理 線面垂直判定定理和性質定理線面垂直判定定理和性質定理 判定定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 那么這條直線垂直這個平 面 性質定理 如果兩條直線同垂直于一個平面 那么這兩條直線平行 面面垂直的判定定理和性質定理面面垂直的判定定理和性質定理 判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 那么這兩個平面互相垂直 性質定理 如果兩個平面互相垂直 那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另 一個平面 9 空間角問題 空間角問題 1 直線與直線所成的角 直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角 規(guī)定為 0 兩條相交直線所成的角 兩條直線相交其中不大于直角的角 叫這兩條直線所成的角 兩條異面直線所成的角 過空間任意一點 O 分別作與兩條異面直線 a b 平行的直線 形成兩條相交直線 這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線ba 所成的角 2 直線和平面所成的角 直線和平面所成的角 平面的平行線與平面所成的角 規(guī)定為 平面的垂線與平面所成的角 規(guī)定為 0 90 平面的斜線與平面所成的角 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角 叫做這 條直線和這個平面所成的角 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角 一作 二證 三計算 在 作角 時依定義關鍵作射影 由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線 在解題時 注意挖掘題設中兩個主要信息 1 斜線上一點到面的垂線 2 過斜線上 的一點或過斜線的平面與已知面垂直 由面面垂直性質易得垂線 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二