排列組合方法

一 相臨問題 捆綁法 例 1 7 名學(xué)生站成一排 甲 乙必須站在一起有多少不同排法 二 不相臨問題 選空插入法 例 2 7 名學(xué)生站成一排 甲乙互不相鄰有多少不同排法 三 復(fù)雜問題 總體排除法 例 3 正六邊形的中心和頂點共 7 個點 以其中 3 個點為頂點的三角形共有多少個 四 特殊元素 優(yōu)先考慮法 例 4 1 名老師和 4 名獲獎學(xué)生排成一排照像留念 若老師不排在兩端 則共有不同的排法 種 例 5 乒乓球隊的 10 名隊員中有 3 名主力隊員 派 5 名隊員參加比賽 3 名主力隊員要安排在第一 三 五位置 其余 7 名隊員選 2 名安排在第二 四位置 那么不同的出場安排共有 種 五 多元問題 分類討論法 例 6 某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單 開演前又增加了兩個新節(jié)目 如果將這兩個節(jié)目插 入原節(jié)目單中 那么不同插法的種數(shù)為 例 7 如圖 一個地區(qū)分為 5 個行政區(qū)域 現(xiàn)給地圖著色 要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色 現(xiàn)有 4 種 顏色可供選擇 則不同的著色方法共有多少種 以數(shù)字作答 六 混合問題 先選后排法 例 8 12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查 若每個路口 4 人 則不同的分配方案共 有 例 9 從黃瓜 白菜 油菜 扁豆 4 種蔬菜品種中選出 3 種 分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上 其中黃 瓜必須種植 不同的種植方法共有 A 24 種 B 18 種 C 12 種 D 6 種 七 相同元素分配 檔板分隔法 例 10 把 10 本相同的書發(fā)給編號為 1 2 3 的三個學(xué)生閱覽室 每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其 編號數(shù) 試求不同分法的種數(shù) 請用盡可能多的方法求解 并思考這些方法是否適合更一般的情況 1 用 0 2 3 4 5 五個數(shù)字 組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 其中偶數(shù)共有 2 有 8 本不同的書 其中數(shù)學(xué)書 3 本 外語書 2 本 其它學(xué)科書 3 本 若將這些書排成一列放在書架 上 讓數(shù)學(xué)書排在一起 外語書也恰好排在一起的排法共有 種 結(jié)果用數(shù)值表示 3 用 1 2 3 4 5 6 7 8 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù) 要求 1 與 2 相鄰 2 與 4 相鄰 5 與 6 相 鄰 而 7 與 8 不相鄰 這樣的八位數(shù)共有 個 用數(shù)字作答 4 6 個人排隊 甲 乙 丙三人按 甲 乙 丙 順序排的排隊方法有多少種 5 4 個男生和 3 個女生 高矮不相等 現(xiàn)在將他們排成一行 要求從左到右女生從矮到高排列 有多少 種排法 6 7 個人坐兩排座位 第一排 3 個人 第二排坐 4 個人 則不同的坐法有多少種 7 將數(shù)字 1 2 3 4 填入標號為 1 2 3 4 的方格中 每方格填 1 個 方格標號與所填數(shù)字均不相同 的填法種數(shù)有 8 有四位司機 四個售票員組成四個小組 去開 4 輛公交車 每組有一位司機和一位售票員 則不同的 分組方案共有 9 甲 乙 丙 丁四種不同的種子 在三塊不同土地上試種 其中種子甲必須試種 那么不同的試種方 法共有 10 有 4 位學(xué)生和 3 位老師站在一排拍照 任何兩位老師不站在一起的不同排法共有 11 5 名成人帶兩個小孩排隊上山 小孩不排在一起也不排在頭尾 則不同的排法種數(shù)有 12 電視臺某段時間連續(xù)播放 5 個廣告 其中有 3 個不同的商業(yè)廣告和 2 個不同的奧運宣傳廣告 要求 最后播放的必須是奧運宣傳廣告 且 2 個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放 則不同的播放方式有 A 120 種 B 48 種 C 36 種 D 18 種 13 把 5 件不同的商品在貨架上排成一排 其中 a b 兩種必須排在一起 而 c d 兩種不能排在一起 則不同排法共有 A 12 種 B 20 種 C 24 種 D 48 種 14 從 0 l 3 5 7 9 中任取兩個數(shù)做除法 可得到不同的商共有 A 20 個 B 19 個 C 25 個 D 30 個 15 甲 乙 丙 丁 戊 5 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中參加某項志愿者活動 要求每人參加一 天且每天至多安排一人 并要求甲安排在乙 丙兩位前面 不同的安排方法共有 A 20 種 B 30 種C 40 種 D 60 種 16 有兩排座位 前排 11 個座位 后排 12 個座位 現(xiàn)安排 2 人就座 規(guī)定前排中間的 3 個座位不能坐 并且這兩人不左右相鄰 那么不同的排法的種數(shù)是 17 A B C D E 五個元素排成一列 若 A 在 B 的前面且 D 在 E 的前面 則有 種不同的排法 18 有 4 張分別標有數(shù)字 1 2 3 4 的紅色卡片和 4 張分別標有數(shù)字 1 2 3 4 的藍色卡片 從這 8 張 卡片中取出 4 張卡片排成一行 如果取出的 4 張卡片所標的數(shù)字之和等于 10 則不同的排法共有 種 19 甲 乙 丙 丁 戊 5 名同學(xué)進行某種勞動技術(shù)比賽 決出了第 1 到第 5 名的名次 甲 乙兩名參賽 者去詢問成績 回答者對甲說 很遺憾 你和乙都未拿到冠軍 對乙說 你當然不會是最差的 從這個回答分析 5 人的名次排列共可能有多少種不同的情況 用數(shù)字作答 20 有 3 名男生 4 名女生 在下列不同條件下 求不同的排列方法的總數(shù) 1 選其中 5 人排成一行 2 排成前后兩排 前排 3 人 后排 4 人 3 全體排成一行 甲乙相鄰 丙丁不相鄰 4 全體排成一行 男生必須排在一起 女生必須排在一起 且男生甲和女生乙不能相鄰 5 全體排成一行 甲 乙兩人中間必須有 3 人 且甲在乙的左邊 直接法 優(yōu)先考慮特殊元素特殊位置 特殊元素法 特殊位置法 直接分類討論 例 1 從名外語系大學(xué)生中選派名同學(xué)參加廣州亞運會翻譯 交通 禮儀三項義工活動 要求翻譯54 有人參加 交通和禮儀各有 人參加 則不同的選派方法共有 21 例 2 北京 財富 全球論壇期間 某高校有名志愿者參加接待工作 若每天排早 中 晚三班 14 每班人 每人每天最多值一班 則開幕式當天不同的排班種數(shù)為4 A B C D 1244 14128 C C C 1244 14128 C A A 1244 14128 3 3 C C C A 12443 141283 C C C A 例 3 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球 個不同的白球 46 從中任取個球 紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種 4 若取一個紅球記分 取一個白球記 分 從中任取個球 使總分不少于分的取法有多少2157 種 例 4 有名劃船運動員 其中 人只會劃左舷 人只會劃右舷 其余人既會劃左舷也會劃右12345 舷 從這名運動員中選出人平均分在左 右舷劃船參加比賽 有多少種不同的選法 126 例 5 從名女生 名男生中 按性別采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生組成課外小組 則不同的抽645 取方法種數(shù)為 A B C D 32 64 CC 23 64 CC 5 10 C 32 64 AA 例 6 從 7 名男生 5 名女生中 選出 5 人 分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種 必須當選 AB 都不當選 AB 不全當選 AB 至少有 2 名女生當選 選出 5 名同學(xué) 讓他們分別擔(dān)任體育委員 文娛委員等 5 種不同工作 但體育委員由男生擔(dān) 任 文娛委員由女生擔(dān)任 例 7 甲組有名男同學(xué) 名女同學(xué) 乙組有名男同學(xué) 名女同學(xué) 若從甲 乙兩組中各選出5362 名同學(xué) 則選出的人中恰有 名女同學(xué)的不同選法共有 241 例 8 從名大學(xué)畢業(yè)生中選 人擔(dān)任村長助理 則甲 乙至少有 人入選 而丙沒有入選的不同選法1031 的種數(shù)為 例 9 某班級要從 4 名男生 2 名女生中選派 4 人參加某次社區(qū)服務(wù) 如果要求至少有 1 名女生 那么 不同的選派方案種數(shù)為 例 10 要從個人中選出個人去參加某項活動 其中甲乙必須同時參加或者同時不參加 問共104 有多少種不同的選法 例 11 有四個停車位 停放四輛不同的車 有幾種不同的停法 若其中的一輛車必須停放在兩邊 的停車位上 共有多少種不同的停法 例 12 某班 5 位同學(xué)參加周一到周五的值日 每天安排一名學(xué)生 其中學(xué)生甲只能安排到周一或 周二 學(xué)生乙不能安排在周五 則他們不同的值日安排有 例 13 用 5 6 7 8 9 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰好有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的 五位數(shù)的個數(shù)為 例 14 某電視臺連續(xù)播放個不同的廣告 其中有 個不同的商業(yè)廣告和個不同的奧運宣傳532 廣告 要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告 且兩個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放 則不同 的播放方式有 例 15 從 6 人中選 4 人分別到巴黎 倫敦 悉尼 莫斯科四個城市游覽 要求每個城市有一人游覽 每人只游覽一個城市 且這 6 人中 甲 乙兩人不去巴黎游覽 則不同的選擇方案共有 種 用數(shù)字作答 例 16 甲組有名男同學(xué) 名女同學(xué) 乙組有名男同學(xué) 名女同學(xué) 若從甲 乙兩組中各選5362 出名同學(xué) 則選出的人中恰有 名女同學(xué)的不同選法共有 241 例 17 將名大學(xué)生分配到個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官 每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名 則不同的分配方案有43 種 例 18 一生產(chǎn)過程有道工序 每道工序需要安排一人照看 現(xiàn)從甲 乙 丙等名工人中安排46 人分別照看一道工序 第一道工序只能從甲 乙兩工人中安排 人 第四道工序只能從甲 丙41 兩工人中安排 人 則不同的安排方案共有 1 例 19 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排 若男生甲不站兩端 3 位女生中有且只有兩位女 生相鄰 則不同排法的種數(shù)為 例 20 從名女生 名男生中 按性別采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生組成課外小組 則不同645 的抽取方法種數(shù)為 A B C D 32 64 CC 23 64 CC 5 10 C 32 64 AA 例 21 名志愿者中安排人在周六 周日兩天參加社區(qū)公益活動 若每天安排 人 則不同的安763 排方案共有 種 用數(shù)字作答 例 22 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球 個不同的白球 46 從中任取個球 紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種 4 若取一個紅球記分 取一個白球記 分 從中任取個球 使總分不少于分的取法有多少2157 種 例 23 年廣州亞運會組委會要從小張 小趙 小李 小羅 小王五名志愿者中選派四人2010 分別從事翻譯 導(dǎo)游 禮儀 司機四項不同工作 若其中小張和小趙只能從事前兩項工作 其余三人均能從事這四項工作 則不同的選派方案共有 例 24 某地奧運火炬接力傳遞路線共分 6 段 傳遞活動分別由 6 名火炬手完成 如果第一棒火 炬手只能從甲 乙 丙三人中產(chǎn)生 最后一棒火炬手只能從甲 乙兩人中產(chǎn)生 則不同的 傳遞方案共有 種 用數(shù)字作答 例 25 某人手中有 5 張撲克牌 其中 2 張為不同花色的 2 3 張為不同花色的 A 有 5 次出牌機會 每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限 此人有多少種不同的出牌方法 例 26 從 7 人中選派 5 人到 10 個不同交通崗的 5 個中參加交通協(xié)管工作 則不同的選派方法 有 A 種 B 種 C 種 D 555 7105 C A A 555 7105 A C P 55 107 C C 55 710 C A 例 27 12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查 若每個路口 4 人 則不同的分配 方案共有 A 種 B 3種 C 種 D 種 444 1284 C C C 444 1284 C C C 443 1283 C C A 444 1284 3 3 C C C A 例 28 現(xiàn)有男 女學(xué)生共 人 從男生中選人 從女生中選 人分別參加數(shù)學(xué) 物理 化學(xué)821 三科競賽 共有種不同方案 那么男 女生人數(shù)分別是 90 例 29 將個小球任意放入 個不同的盒子中 43 若個小球各不相同 共有多少種放法 4 若要求每個盒子都不空 且個小球完全相同 共有多少種不同的放法 4 若要求每個盒子都不空 且個小球互不相同 共有多少種不同的放法 4 例 30 將個小球任意放入個不同的盒子中 每個盒子都不空 74 若個小球完全相同 共有多少種不同的放法 7 若個小球互不相同 共有多少種不同的放法 7 例 31 四個不同的小球 每球放入編號為 的四個盒子中 1234 隨便放 可以有空盒 但球必須都放入盒中 有多少種放法 四個盒都不空的放法有多少種 恰有一個空盒的放法有多少種 恰有兩個空盒的放法有多少種 甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種 間接法 直接求解類別比較大時 例 32 以三棱柱的頂點為頂點共可組成 個不同的三棱錐 例 33 將甲 乙 丙 丁四名學(xué)生分到三個不同的班 每個班至少分到一名學(xué)生 且甲 乙兩 名學(xué)生不能分到同一個班 則不同分法的種數(shù)為 例 34 在排成的方陣的個點中 中心個點在某一個圓內(nèi) 其余個點在圓外 在44 16412 個點中任選 個點構(gòu)成三角形 其中至少有一頂點在圓內(nèi)的三角形共有 163 A 個 B 個 C 個 D 個312328340264 例 35 從名男醫(yī)生 名女醫(yī)生中選 名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊 要求其中男 女醫(yī)生都有 543 則不同的組隊方案共有 例 36 甲 乙兩人從門課程中各選修門 則甲 乙所選的課程中至少有 門不相同的選法