《工程數(shù)學(本)》第1章行列式學習輔導

1 第第 1 章章 行列式行列式 學習要點 學習要點 行列式的遞歸定義 行列式的性質 克萊姆法則 本章重點 本章重點 行列式的計算 復習要求 復習要求 1 理解階行列式的遞歸定義 掌握代數(shù)余子式的計算 n 階行列式n nnnn n n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 表示一個由特定的運算關系所得到的數(shù) 當時 2 n 21122211 2221 1211 2 aaaa aa aa D 當時 2 n n ij ijijnnn AaAaAaAaD 1112121111 其中數(shù)為第 行第列的元素 為的代數(shù)余子式 為的余子 ij aij ij ji ij MA 1 ij a ij M ij a 式 它是由劃去第 行和第列后余下元素構成的階行列式 即 n Dij1 n nnnjnjn nijijii nijijii nijij ij aaaa aaaa aaaa aaaa M 111 1111111 1111111 11111 要注意 元素的余子式與代數(shù)余子式之間僅僅相差一個代數(shù)符號 ij a ij M ij A ji 1 2 掌握利用性質計算行列式的方法 任何一個行列式就是代表一個數(shù)值 因此行列式之間的運算就是數(shù)之間的運算 計算行列式的方法有 1 按某一行 列 展開 展開時必須要正確掌握代表余子式的概念和計算 2 根據(jù)行列式的性質 1 與性質 5 對行列式作簡化 以使許多元素成為 0 而且 要盡量使 0 出現(xiàn)在同一行 列 中 3 利用性質 把所計算的行列式化為三角行列式 而三角行列式的值等于主對角線 元素的乘積 4 是范德蒙行列式則可直接套用結果 利用行列式可以表達未知數(shù)個數(shù)和方程式個數(shù)相等的線性方程組的解 在系數(shù)行列根 據(jù)行列式的性質 1 與性質 5 對行列式作簡化 以使許多元素成為 0 而且要盡量使 0 出現(xiàn)在同一行 列 中 3 知道克萊姆法則 如果線性方程組的系數(shù)行列式 那么它有解0 D 2 D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 例題講解 1 階行列式中元素的代數(shù)余子式與余子式之間的關系是 n n D ij a ij A ij M 解 由定義 應填 ij ji ij MA 1 2 設行列式 則中元素的代數(shù)余子式 211 201 231 DD ij a 23 A 解 由代數(shù)余子式的定義 應填 11 31 11 31 1 32 3 333231 232221 131211 333231 232221 131211 666 333 aaa aaa aaa aaa aaa aaa 解 因為 18 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 所以 應填 18 4 行列式 111 111 111 D 解 4 200 220 111 111 111 111 D 應填 4 5 行列式 0100 0020 0003 1234 D 666 3 666 333 666 333 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 3 應填 6 300 020 001 1 4321 3000 0200 0010 14 D 6 行列式的元素的代數(shù)余子式的值為 701 215 683 21 a 21 A A 33 B 33 C 56 D 56 解 因為元素的代數(shù)余子式 所以結論 D 正確 21 a56 70 68 1 12 21 A 7 設 則的余子式 3133 2123 3331 2321 333231 232221 131211 aa aa N aa aa M aaa aaa aaa D 12 a A 是 M B 是 N C 是 M 和 N D 56 不是 M 和 N 解 因為的余子式為 所以 A 正確 12 a 3331 232121 1 aa aa 8 下列等式成立的是 其中為常數(shù) dcba A B ac bd dc ba 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba C D dc ba dc ba 2 22 22 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba 解 因為 dc ba dc ba cd ab ab cd ac bd 由行列式性質 5 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba dc ba dc ba dc ba 24 22 22 1 1 1 1 1 1 c b d a cdab dc ba cbda 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba 所以 B 正確 9 行列式 的值等于 0004 0030 0200 1000 A 24 B 120 C 120 D 24 解 因為 4 0004 0030 0200 1000 02 10 3 4 003 020 100 4 1 14 24 2 12 所以 D 正確 10 設 則的根是 112 211 211 2 2 x xxf0 xf A 1 1 2 2 B 1 1 2 2 C 1 1 2 2 D 1 1 2 2 解 因為 1 4 31 40 310 400 211 112 211 211 22 2 2 2 2 2 2 xx x x x x x x 要使 則根為 所以 C 正確 0 xf2 2 1 1 11 已知行列式 寫出其代數(shù)余子式 并求的值 7295 2164 4173 2152 43 A 43 A 解 分析 余子式是去掉行列式中第四行 第三列的所有元素 將剩下的元素按原來 43 M 的順序排列成的三階行列式 的值是計算出的值 43 A 43 A 43 34 1 M 因為 且 43 A 43 34 1 M 264 473 252 43 M 所以 264 473 252 1 34 43 A 264 473 252 1 34 43 A 012 0177 252 54 27 2 12 177 2 12 計算行列式 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 解 分析 可以直接計算其值 但運用性質可能更簡便更不易出錯 此行列式的特 點是每一行或每一列的元素之和相等 利用這個特點將行列式的第二 三列都加到第一列 相應的元素上 提取公因式 在降階求值 5 解 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 11 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 12 2 1 4 1 2 2 1 00 0 2 1 0 2 1 11 2 2 1 2 1 0 0 2 1 0 2 1 11 2 13 計算行列式 2 9 1 2 1 2 3 1001 6131 1 3 1 3 2 3 1 解 分析 先提取公因式 去掉分母 再選擇含零較多的行或列展開 2 9 1 2 1 2 3 1001 6131 1 3 1 3 2 3 1 9213 1001 6131 3121 2 1 3 1 1221 513 412 6 1 12213 0001 5131 4121 6 1 9213 1001 6131 3121 6 1 2 5 6 15 205 11 6 1 2005 101 412 6 1 14 計算行列式 aaaa aaa aaa 321 312 321 解 分析 利用性質 將第三行看成 分成兩個行列式之和計aaaa 321 00 算 aaaa aaa aaa 321 312 321 aaaa aaa aaa 321 312 321 00 321 312 321 aaa aaa aaa a aaa aa