2018七年級數(shù)學下冊全部知識點歸納(含概念、公式、實用)

數(shù)學 七年級下冊 代承義 1 第一章 整式的運算第一章 整式的運算 單項式 整 式 多項式 同底數(shù)冪的乘法 冪的乘方 積的乘方 冪運算同底數(shù)冪的除法 零指數(shù)冪 負指數(shù)冪 整式的加減 單項式與單項式相乘 單項式與多項式相乘 整式的乘法多項式與多項式相乘 整式運算平方差公式 完全平方公式 單項式除以單項式 整式的除法 多項式除以單項式 一 單項式 1 都是數(shù)字與字母的乘積數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式 2 單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù) 數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù) 3 單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù) 4 單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式 5 只含有字母因式的單項式的系數(shù)是 1 或 1 6 單獨的一個數(shù)字是單項式 它的系數(shù)是它本身 7 單獨的一個非零常數(shù)的次數(shù)是 0 8 單項式中只能含有乘法或乘方運算 而不能含有加 減等其他運算只能含有乘法或乘方運算 而不能含有加 減等其他運算 9 單項式的系數(shù)包括它前面的符號系數(shù)包括它前面的符號 10 單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時 應化成假分數(shù)系數(shù)是帶分數(shù)時 應化成假分數(shù) 11 單項式的系數(shù)是 1 或 1 時 通常省略數(shù)字 1 12 單項式的次數(shù)僅與字母有關 與單項式的系數(shù)無關次數(shù)僅與字母有關 與單項式的系數(shù)無關 二 多項式 1 幾個單項式的和叫做多項式 2 多項式中的每一個單項式叫做多項式的項每一個單項式叫做多項式的項 3 多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項不含字母的項叫做常數(shù)項 4 一個多項式有幾項 就叫做幾項式有幾項 就叫做幾項式 5 多項式的每一項都包括項前面的符號每一項都包括項前面的符號 6 多項式?jīng)]有系數(shù)的概念 但有次數(shù)的概念多項式?jīng)]有系數(shù)的概念 但有次數(shù)的概念 7 多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù) 叫做這個多項式的次數(shù) 多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù) 叫做這個多項式的次數(shù) 三 整式 1 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式 2 單項式或多項式都是整式 單項式或多項式都是整式 3 3 整式不一定是單項式 整式不一定是單項式 整 式 的 運 算 數(shù)學 七年級下冊 代承義 2 4 整式不一定是多項式整式不一定是多項式 5 分母中含有字母的代數(shù)式不是整式 分母中含有字母的代數(shù)式不是整式 而是今后將要學習的分式 四 整式的加減 1 整式加減的理論根據(jù)是 去括號法則 合并同類項法則 以及乘法分配率 2 幾個整式相加減 關鍵是正確地運用去括號法則 然后準確合并同類項 3 幾個整式相加減的一般步驟 1 列出代數(shù)式 用括號把每個整式括起來 再用加減號連接 2 按去括號法則去括號 3 合并同類項 4 代數(shù)式求值的一般步驟 1 代數(shù)式化簡 2 代入計算 3 對于某些特殊的代數(shù)式 可采用 整體代入 進行計算 五 同底數(shù)冪的乘法 1 n n 個相同因式 或因數(shù) 個相同因式 或因數(shù) a a 相乘 記作相乘 記作 a an n 讀作 讀作 a a 的的 n n 次方 冪 次方 冪 其中 其中 a a 為底數(shù) 為底數(shù) n n 為指數(shù) 為指數(shù) a an n的結(jié)的結(jié) 果叫做冪果叫做冪 2 底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪 3 同底數(shù)冪乘法的運算法則 同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變 指數(shù)相加 即 a am m a an n a am n m n 4 此法則也可以逆用 即 a am n m n a am m a an n 5 開始底數(shù)不相同的冪的乘法 如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法 先化成同底數(shù)冪再運用法則 六 冪的乘方 1 冪的乘方是指幾個相同的冪相乘 a am m n n表示表示 n n 個個 a am m相乘相乘 2 冪的乘方運算法則 冪的乘方 底數(shù)不變 指數(shù)相乘 a am m n n a amn mn 3 此法則也可以逆用 即 a amn mn a am m n n a an n m m 七 積的乘方 1 積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方 2 積的乘方運算法則 積的乘方 等于把積中的每個因式分別乘方 然后把所得的冪相乘 即 abab n n a an nb bn n 3 此法則也可以逆用 即 a an nb bn n abab n n 八 三種 冪的運算法則 異同點 1 共同點 1 1 法則中的底數(shù)不變 只對指數(shù)做運算 法則中的底數(shù)不變 只對指數(shù)做運算 2 2 法則中的底數(shù) 不為零 和指數(shù)具有普遍性 即可以是數(shù) 也可以是式 單項式或多項式 法則中的底數(shù) 不為零 和指數(shù)具有普遍性 即可以是數(shù) 也可以是式 單項式或多項式 3 3 對于含有 對于含有 3 3 個或個或 3 3 個以上的運算 法則仍然成立 個以上的運算 法則仍然成立 2 不同點 1 1 同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加 同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加 2 2 冪的乘方是指數(shù)相乘 冪的乘方是指數(shù)相乘 3 3 積的乘方是每個因式分別乘方 再將結(jié)果相乘 積的乘方是每個因式分別乘方 再將結(jié)果相乘 數(shù)學 七年級下冊 代承義 3 九 同底數(shù)冪的除法 1 同底數(shù)冪的除法法則 同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變 指數(shù)相減 即 同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變 指數(shù)相減 即 a am m a an n a am n m n a 0a 0 2 此法則也可以逆用 即 a am n m n a am m a an n a 0a 0 十 零指數(shù)冪 1 零指數(shù)冪的意義 任何不等于任何不等于 0 0 的數(shù)的的數(shù)的 0 0 次冪都等于次冪都等于 1 1 即 即 a a0 0 1 1 a 0a 0 十一 負指數(shù)冪 1 任何不等于零的數(shù)的 p 次冪 等于這個數(shù)的 p 次冪的倒數(shù) 即 1 0 p p a aa 注 在同底數(shù)冪的除法 零指數(shù)冪 負指數(shù)冪中底數(shù)不為 0 十二 整式的乘法 一 單項式與單項式相乘 1 單項式乘法法則 單項式與單項式相乘 把它們的系數(shù) 把它們的系數(shù) 相同相同字母的冪分別相乘 其余字母連同它字母的冪分別相乘 其余字母連同它 的指數(shù)不變 的指數(shù)不變 作為積的因式 2 系數(shù)相乘時 注意符號 系數(shù)相乘時 注意符號 3 相同字母的冪相乘時 底數(shù)不變 指數(shù)相加相同字母的冪相乘時 底數(shù)不變 指數(shù)相加 4 對于只在一個單項式中含有的字母 連同它的指數(shù)一起寫在積里 作為積的因式 5 單項式乘以單項式的結(jié)果仍是單項式 6 單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用 二 單項式與多項式相乘 1 單項式與多項式乘法法則 單項式與多項式相乘 就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項 再把所得的積相加 即 m a b c ma mb mcm a b c ma mb mc 2 運算時注意積的符號 多項式的每一項都包括它前面的符號 3 積是一個多項式 其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同 4 混合運算中 注意運算順序 結(jié)果有同類項時要合并同類項 從而得到最簡結(jié)果 三 多項式與多項式相乘 1 多項式與多項式乘法法則 多項式與多項式相乘 先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項 多項式與多項式相乘 先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項 再把所得的積相加 即 再把所得的積相加 即 m n a b ma mb na nb m n a b ma mb na nb 2 多項式與多項式相乘 必須做到不重不漏多項式與多項式相乘 必須做到不重不漏 相乘時 要按一定的順序進行 即一個多項式的每一項乘相乘時 要按一定的順序進行 即一個多項式的每一項乘 以另一個多項式的每一項 在未合并同類項之前 積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積 以另一個多項式的每一項 在未合并同類項之前 積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積 3 多項式的每一項都包含它前面的符號 確定積中每一項的符號時應用多項式的每一項都包含它前面的符號 確定積中每一項的符號時應用 同號得正 異號得負同號得正 異號得負 4 運算結(jié)果中有同類項的要合并同類項 5 對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是 1 的兩個一次二項式相乘時 可以運用下面的公式簡化運算 x a x b x x a x b x2 2 a b x ab a b x ab 十三 平方差公式 1 a ba b a b a a b a2 2 b b2 2 即 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積 等于它們的平方之差 即 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積 等于它們的平方之差 2 平方差公式中的 a b 可以是單項式 也可以是多項式 3 平方差公式可以逆用 即 a a2 2 b b2 2 a ba b a b a b 4 平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運算 解這類題 首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成 數(shù)學 七年級下冊 代承義 4 a b a b 的形式 然后看 a2與 b2是否容易計算 十四 完全平方公式 1 222222 2 2 abaabbabaabb 即即 兩數(shù)和 或差 的平方 等于它們的平方和 兩數(shù)和 或差 的平方 等于它們的平方和 加上 或減去 它們的積的加上 或減去 它們的積的 2 2 倍 倍 2 公式中的 a b 可以是單項式 也可以是多項式 3 掌握理解完全平方公式的變形公式 1 1 222222 1 2 2 2 ababababababab 2 2 22 4ababab 3 3 22 1 4 ababab 4 完全平方式 我們把形如 2222 2 2 aabb aabb 的二次三項式稱作完全平方式 5 當計算較大數(shù)的平方時 利用完全平方公式可以簡化數(shù)的運算 6 完全平方公式可以逆用 即 222222 2 2 aabbabaabbab 十五 整式的除法 一 單項式除以單項式的法則 1 單項式除以單項式的法則 一般地 單項式相除 把系數(shù) 同底數(shù)冪分別相除后 作為商的因式 對 于只在被除式里含有的字母 則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式 2 根據(jù)法則可知 單項式相除與單項式相乘計算方法類似 也是分成系數(shù) 相同字母與不相同字母三部 分分別進行考慮 二 多項式除以單項式的法則 1 多項式除以單項式的法則 多項式除以單項式 先把這個多項式的每一項分別除以單項式 再把所得多項式除以單項式 先把這個多項式的每一項分別除以單項式 再把所得 的商相加 用字母表示為 的商相加 用字母表示為 abcmambmcm 2 多項式除以單項式 注意多項式各項都包括前面的符號 知識點 一 概念應用 1 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式 單項式有三種 單獨的字母 單項式有三種 單獨的字母 a wa w 等 等 單獨的數(shù)字 單獨的數(shù)字 125125 3 253 25 14562 14562 等 等 7 3 數(shù)字與字母乘積的一般形式 數(shù)字與字母乘積的一般形式 2s 2s 等 等 a 3 2 x5 2 2 單項式的系數(shù)是指數(shù)字部分 如單項式的系數(shù)是指數(shù)字部分 如的系數(shù)是的系數(shù)是 注意系數(shù)部分應包含注意系數(shù)部分應包含 因 因abc 23 23 為為是常數(shù) 是常數(shù) 單項式的次數(shù)是它所有字母的指數(shù)和 記住不包括數(shù)字和 單項式的次數(shù)是它所有字母的指數(shù)和 記住不包括數(shù)字和的指數(shù) 的指數(shù) 如 如 次數(shù)是次數(shù)是 8 8 532 56yx 3 3 多項式 幾個單項式的和叫做多項式 多項式 幾個單項式的和叫做多項式 4 4 多項式的特殊形式 多項式的特殊形式 等 等 2 ba 5 5 一個多項式次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù) 如一個多項式次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù) 如是是 3 3 次次 3 3 項式 項式 12 3 1 2 yyx 數(shù)學 七年級下冊 代承義 5 6 6 單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是 單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是 0 0 知識點 二 公式應用 1 1 m n m n 都是正整數(shù) 如都是正整數(shù) 如 nmnm aaa 523 bbb 拓展運用拓展運用 如已知如已知 2 2 8 8 求求 解 解 2 8 16 2 8 16 nmnm aaa m a n a nm a nmnm aaa 2 2 m n m n 都是正整數(shù) 都是正整數(shù) 如如 mnnm aa 1243624362 2 2aaaaa 拓展應用拓展應用 若若 則 則 mnnmmn aaa 2 n a42 222 nn aa 3 3 n n 是正整數(shù)是正整數(shù) 拓展運用拓展運用 nnn baab nnn abba 4 4 a a 不為不為 0 0 m nm n 都為正整數(shù) 且都為正整數(shù) 且 m m 大于大于 n n nmnm aaa 拓展應用拓展應用 如若如若 則 則 nmnm aaa 9 m a3 n a339 nmnm aaa 5 5 是正整數(shù) 是正整數(shù) 如如 0 1 0 aa0 1 a a a p p 8 1 2 1 2 3 3 6 6 平方差公式 平方差公式 a a 為相同項 為相同項 b b 為相反項 為相反項 22 bababa 如如 2222 4 2 2 2 nmnmnmnm 7 7 完全平方公式 完全平方公式 222 2 bababa 222 2 bababa 逆用 逆用 222222 2 2 aabbabaabbab 如如 222 44 2 yxyxyx 8 8 應用式 應用式 abbaba2 222 abbaba2 222 abbaba4 22 abbaba4 22 兩位數(shù)兩位數(shù) 10a10a b b 三位數(shù)三位數(shù) 100a100a 10b10b c c 9 9 單項式與多項式相乘 單項式與多項式相乘 m a b c ma mb mcm a b c ma mb mc 1010 多項式與多項式相乘 多項式與多項式相乘 m n a b ma mb na nb m n a b ma mb na nb 11 多項式除以單項式的法則多項式除以單項式的法則 abcmambmcm 1212 常用變形 常用變形 221 nn xyxy 2n2n 1 y x y x 知識點 三 運算 1 常見誤區(qū) 數(shù)學 七年級下冊 代承義 6 1 5635 53 2 3 5 2222 xxxx106155 22 xx 2 3 22 aaa 632 aaa 5 a 4 5 444 2bbb 8 b 1055 xxx 5 2x 6 7 44 aa 4 1 a 222 6 3 qppq 22 9qp 8 9 1 1 236 aaa 3 a0 55 aa0 14 3 0 10 22 2 2 2 bababa 22 4 ba 11 64 8 8 2 ababab64 22 ba 12 222 2516 54 yxyx 22 254016yxyx 2 簡便運算 公式類2525125 2504 0 252504 0 2504 0 200520052005200520062005 11 8125 0 8125 0 2 125 0 2125 0 1001001001001003100300100 平方差公式11123123 1123 1123 123122124123 2222 完全平方公式998001120001000000 11000 999 22 第二章第二章 平行線與相交線平行線與相交線 余角 余角補角 補角 角兩線相交對頂角 同位角 三線八角內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角 平行線的判定 平行線 平行線的性質(zhì) 尺規(guī)作圖 平行線與相交線 數(shù)學 七年級下冊 代承義 7 一 平行線與相交線 平行線 在同一平面內(nèi) 不相交的兩條直線叫做平行線 若兩條直線只有一個公共點 我們稱這兩條直線為相交線 二 余角與補角 1 如果兩個角的和是直角 那么稱這兩個角互為余角 簡稱為互余如果兩個角的和是直角 那么稱這兩個角互為余角 簡稱為互余 稱其中一個角是另一個角的余角 2 如果兩個角的和是平角 那么稱這兩個角互為補角 簡稱為互補 如果兩個角的和是平角 那么稱這兩個角互為補角 簡稱為互補 稱其中一個角是另一個角的補角 3 互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角 它們只與角的度數(shù)有關 與角的位置無關 4 余角和補角的性質(zhì) 同角或等角的余角相等 同角或等角的補角相等 余角和補角的性質(zhì) 同角或等角的余角相等 同角或等角的補角相等 5 余角和補角的性質(zhì)用數(shù)學語言可表示為 1 1 0000 1290 180 1390 180 則則23 同角的余角 或補角 相等同角的余角 或補角 相等 2 2 0000 1290 180 3490 180 且且14 則則23 等角的余角 或補角 相等等角的余角 或補角 相等 6 余角和補角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個重要方法證明兩角相等的一個重要方法 三 對頂角 1 兩條直線相交成四個角 其中不相鄰的兩個角是對頂角兩條直線相交成四個角 其中不相鄰的兩個角是對頂角 2 一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線 這兩個角叫做對頂角一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線 這兩個角叫做對頂角 3 對頂角的性質(zhì) 對頂角相等 對頂角相等 4 對頂角的性質(zhì)在今后的推理說明中應用非常廣泛 它是證明兩個角相等的依據(jù)及重要橋梁 5 對頂角是從位置上定義的 對頂角一定相等 但相等的角不一定是對頂角 四 垂線及其性質(zhì) 1 垂線 當兩條直線相交所成的四個角中 有一個角是直角時 就說這兩條直線互相垂直 其中的一條 直線叫做另一條直線的垂線 它們的交點叫做垂足表示符號 符號語言記作 如圖所示 AB CD 垂足為 O 2 垂線的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段最短 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段最短 五 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角 1 兩條直線被第三條直線所截 形成了 8 個角 三線八角 2 同位角 兩個角都在兩條直線的同側(cè) 并且在第三條直線 截線 的同旁 這樣的一對角叫做同位角 3 內(nèi)錯角 兩個角都在兩條直線之間 并且在第三條直線 截線 的兩旁 這樣的一對角叫做內(nèi)錯角 4 同旁內(nèi)角 兩個角都在兩條直線之間 并且在第三條直線 截線 的同旁 這樣的一對角叫同旁內(nèi)角 5 這三種角只與位置有關 與大小無關 通常情況下 它們之間不存在固定的大小關系 六 六類角 1 補角 余角 對頂角 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的 2 余角 補角只有數(shù)量上的關系 與其位置無關 3 同位角 內(nèi)錯角 同旁內(nèi)角只有位置上的關系 與其數(shù)量無關 4 對頂角既有數(shù)量關系 又有位置關系 AB C D O 數(shù)學 七年級下冊 代承義 8 七 平行線的判定方法 1 同位角相等 兩直線平行 2 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 3 同旁內(nèi)角互補 兩直線平行 4 在同一平面內(nèi) 如果兩條直線都平行于第三條直線 那么這兩條直線平行 5 在同一平面內(nèi) 如果兩條直線都垂直于第三條直線 那么這兩條直線平行 八 平行線的性質(zhì) 1 兩直線平行 同位角相等 2 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 3 兩直線平行 同旁內(nèi)角互補 4 平行線的判定與性質(zhì)具備互逆的特征 其關系如下 補充平行線的判定方法 1 平行線的定義 如果兩條直線沒有交點 不相交 那么兩直線平行 2 平行于同一條直線的兩直 線平行 幾何符號語言 3 2 AB CD 同位角相等 兩直線平行 1 2 AB CD 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 4 2 180 AB CD 同旁內(nèi)角互補 兩直線平行 請同學們注意書寫的順序以及前因后果 平行線的判定是由角相等 然后得出平行 平行線的判定是寫 角相等 然后寫平行 在應用時要正確區(qū)分積極向上的題設和結(jié)論 九 尺規(guī)作線段和角 1 在幾何里 只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖 2 尺規(guī)作圖是最基本 最常見的作圖方法 通常叫基本作圖 3 尺規(guī)作圖中直尺的功能是 1 在兩點間連接一條線段 2 將線段向兩方延長 4 尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是 1 以任意一點為圓心 任意長為半徑作一個圓 2 以任意一點為圓心 任意長為半徑畫一段弧 5 熟練掌握以下作圖語言 1 作射線 2 在射線上截取 3 在射線 上依次截取 4 以點 為圓心 為半徑畫弧 交 于點 5 分別以點 點 為圓心 以 為半徑作弧 兩弧相交于點 AB CD E F 1 2 3 4 數(shù)學 七年級下冊 代承義 9 6 過點 和點 畫直線 或畫射線 7 在 的外部 或內(nèi)部 畫 6 在作較復雜圖形時 涉及基本作圖的地方 不必重復作圖的詳細過程 只用一句話概括敘述就可以了 1 畫線段 2 畫 知識點 一 1 方位問題 若從 A 點看 B 是北偏東 20 則從 B 看 A 是南偏西 20 南北相對 東西相對 數(shù)值不變 從甲地到乙地 經(jīng)過兩次拐彎若方向不變 則兩次拐向相反 角相等 若方向相反 則兩 次拐向相同 角互補 2 光反射問題 如圖 若光線 AO 沿 OB 被鏡面反射則 AOC BOD AON BON 第三章第三章 變量之間的關系變量之間的關系 自變量 變量的概念 因變量 變量之間的關系表格法 關系式法 變量的表達方法速度時間圖象 圖象法 路程時間圖象 一 變量 自變量 因變量 1 在某一變化過程中 不斷變化的量叫做變量 2 如果一個變量 y 隨另一個變量 x 的變化而變化 則把 x 叫做自變量 y 叫做因變量 3 自變量與因變量的確定 1 自變量是先發(fā)生變化的量 因變量是后發(fā)生變化的量 2 自變量是主動發(fā)生變化的量 因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量 3 利用具體情境來體會兩者的依存關系 二 表格 1 表格是表達 反映數(shù)據(jù)的一種重要形式 從中獲取信息 研究不同量之間的關系 1 首先要明確表格中所列的是哪兩個量 2 分清哪一個量為自變量 哪一個量為因變量 3 結(jié)合實際情境理解它們之間的關系 2 繪制表格表示兩個變量之間關系 A B N CD 數(shù)學 七年級下冊 代承義 10 1 列表時首先要確定各行 各列的欄目 2 一般有兩行 第一行表示自變量 第二行表示因變量 3 寫出欄目名稱 有時還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位 4 在第一行列出自變量的各個變化取值 第二行對應列出因變量的各個變化取值 5 一般情況下 自變量的取值從左到右應按由小到大的順序排列 這樣便于反映因變量與自變量之間 的關系 三 關系式 1 用關系式表示因變量與自變量之間的關系時 通常是用含有自變量 用字母表示 的代數(shù)式表示因變 量 也用字母表示 這樣的數(shù)學式子 等式 叫做關系式 2 關系式的寫法不同于方程 必須將因變量單獨寫在等號的左邊 3 求兩個變量之間關系式的途徑 1 將自變量和因變量看作兩個未知數(shù) 根據(jù)題意列出關于未知數(shù)的方程 并最終寫成關系式的形式 2 根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關系式 3 根據(jù)實際問題中的基本數(shù)量關系寫出變量之間的關系式 4 根據(jù)圖象寫出與之對應的變量之間的關系式 4 關系式的應用 1 利用關系式能根據(jù)任何一個自變量的值求出相應的因變量的值 2 同樣也可以根據(jù)任何一個因變量的值求出相應的自變量的值 3 根據(jù)關系式求值的實質(zhì)就是解一元一次方程 求自變量的值 或求代數(shù)式的值 求因變量的值 四 圖象 1 圖象是刻畫變量之間關系的又一重要方法 其特點是非常直觀 形象 2 圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況 3 用圖象表示變量之間的關系時 通常用水平方向的數(shù)軸 又稱橫軸 上的點表示自變量 用豎直方向 的數(shù)軸 又稱縱軸 上的點表示因變量 4 圖象上的點 1 對于某個具體圖象上的點 過該點作橫軸的垂線 垂足的數(shù)據(jù)即為該點自變量的取值 2 過該點作縱軸的垂線 垂足的數(shù)據(jù)即為該點相應因變量的值 3 由自變量的值求對應的因變量的值時 可在橫軸上找到表示自變量的值的點 過這個點作橫軸的垂 線與圖象交于某點 再過交點作縱軸的垂線 縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應值 4 把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應的自變量的值 5 圖象理解 1 理解圖象上某一個點的意義 一要看橫軸 縱軸分別表示哪個變量 2 看該點所對應的橫軸 縱軸的位置 數(shù)據(jù) 3 從圖象上還可以得到隨著自變量的變化 因變量的變化趨勢 6 6 事物變化趨勢的描述 事物變化趨勢的描述 對事物變化趨勢的描述一般有兩種 1 隨著自變量 x 的逐漸增加 大 因變量 y 逐漸增加 大 或者用函數(shù)語言函數(shù)語言描述也可 因變量 y 隨著 自變量 x 的增加 大 而增加 大 2 隨著自變量 x 的逐漸增加 大 因變量 y 逐漸減小 或者用函數(shù)語言函數(shù)語言描述也可 因變量 y 隨著自變 量 x 的增加 大 而減小 注意 如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣 可以采用分段描述 例如在什么范圍內(nèi)隨著自變量 x 的 逐漸增加 大 因變量 y 逐漸增加 大 等等 5 5 估計 或者估算 估計 或者估算 對事物的估計 或者估算 有三種 數(shù)學 七年級下冊 代承義 11 1 利用事物的變化規(guī)律進行估計 或者估算 例如 自變量 x 每增加一定量 因變量 y 的變化情況 平 均每次 年 的變化情況 平均每次的變化量 尾數(shù) 首數(shù) 次數(shù)或相差年數(shù) 等等 2 利用圖象 首先根據(jù)若干個對應組值 作出相應的圖象 再在圖象上找到對應的點對應的因變量 y 的 值 3 利用關系式 首先求出關系 式 然后直接代入求值即可 優(yōu)缺點比較 優(yōu)缺點比較 優(yōu)優(yōu) 點點缺缺 點點備備 注注 列表法列表法 對于表中自變量的每一個值可以不 通過計算 直接把因變量的值找到 查詢時很方便 只能列出部分自變量與因變量的對 應值 難以反映變量間的變化全貌 而且從表中看不出變量間的對應規(guī) 律 通常自變量表示在表格的上方 因變量表示在表格的下方 解析法解析法 簡明扼要 規(guī)范準確 有些變量之間的關系很難或不能用 關系式表示 求對應值也需要逐個 計算 比較麻煩 通常自變量表示在式子的右邊 因變量表示在式子的左邊 圖象法圖象法 形象直觀 可以很形象地反映事物變 化的全過程 變化的趨勢和某些性質(zhì) 圖象是近似的 局部的 觀察或由圖 象確定的因變量的值往往是不準確 通常自變量用水平方向的數(shù)軸 橫軸 上的點來表示 因變量 數(shù)學 七年級下冊 代承義 12 因變量的增減性 點的對稱 最大值 或最小值 等 的用豎直方向的數(shù)軸 縱軸 上的 點來表示 五 速度圖象 1 弄清哪一條軸 通常是縱軸 表示速度 哪一條軸 通常是橫軸 表示時間 2 準確讀懂不同走向的線所表示的意義 1 上升的線 從左向右呈上升狀的線 其代表速度增加 2 水平的線 與水平軸 橫軸 平行的線 其代表勻速行駛或靜止 3 下降的線 從左向右呈下降狀的線 其代表速度減小 六 路程圖象 1 弄清哪一條軸 通常是縱軸 表示路程 哪一條軸 通常是橫軸 表示時間 2 準確讀懂不同走向的線所表示的意義 1 上升的線 從左向右呈上升狀的線 其代表勻速遠離起點 或已知定點 2 水平的線 與水平軸 橫軸 平行的線 其代表靜止 3 下降的線 從左向右呈下降狀的線 其代表反向運動返回起點 或已知定點 七 三種變量之間關系的表達方法與特點 表達方法特 點 表格法多個變量可以同時出現(xiàn)在同一張表格中 關系式法準確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關系 圖象法直觀 形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢 第四章第四章 三角形三角形 三角形三邊關系 三角形三角形內(nèi)角和定理 角平分線 三條重要線段中線 高線 全等圖形的概念 全等三角形的性質(zhì) SSS 三角形SAS 全等三角形全等三角形的判定ASA AAS HL 適用于 Rt 全等三角形的應用利用全等三角形測距離 作三角形 一 三角形概念 1 不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形 稱為三角形 可以用符號 表示 2 頂點是 A B C 的三角形 記作 ABC 讀作 三角形 ABC 3 組成三角形的三條線段叫做三角形的邊 即邊 AB BC AC 有時也用 a b c 來表示 頂點 A 所對的 數(shù)學 七年級下冊 代承義 13 邊 BC 用 a 表示 邊 AC AB 分別用 b c 來表示 4 A B C 為 ABC 的三個內(nèi)角 二 三角形中三邊的關系 1 三邊關系 三角形任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 用字母可表示為 a b c a c b b c a a b c a c b b cc a c b b c a 同時成立時 能組成三角形 2 當兩條較短線段之和大于最長線段時 則可以組成三角形 3 確定第三邊 未知邊 的取值范圍時 它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和 即 abcab 三 三角形中三角的關系 1 三角形內(nèi)角和定理 三角形的三個內(nèi)角的和等于 1800 2 三角形按內(nèi)角的大小可分為三類 1 銳角三角形 即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形 2 直角三角形 即有一個內(nèi)角是直角的三角形 我們通常用 Rt 表示 直角三角形 其中直角 C 所對的邊 AB 稱為直角三角表的斜邊 夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊 注 直角三角形的性質(zhì) 直角三角形的兩個銳角互余 3 鈍角三角形 即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形 3 判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù) 4 直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半 5 任意一個三角形都具備六個元素 即三條邊和三個內(nèi)角 都具有三邊關系和三內(nèi)角之和為 1800的性質(zhì) 6 三角形內(nèi)角和定理包含一個等式 它是我們列出有關角的方程的重要等量關系 四 三角形的三條重要線段 1 三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線 中線和高線 2 三角形的角平分線 1 三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交 這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角 平分線 2 任意三角形都有三條角平分線 并且它們相交于三角形內(nèi)一點 3 三角形的中線 1 在三角形中 連接一個頂點與它對邊中點的線段 叫做這個三角形的中線 2 三角形有三條中線 它們相交于三角形內(nèi)一點 4 三角形的高線 1 從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線 頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線 簡 稱為三角形的高 2 任意三角形都有三條高線 它們所在的直線相交于一點 區(qū) 別相 同 中 線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部 角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部 銳角三角形 三條高線都在三角形內(nèi)部 直角三角形 其中兩條恰好是直角邊高 線 垂直于對 邊 或其 延長線 鈍角三角形 其中兩條在三角表外部 1 都是線段 2 都從頂點畫出 3 所在直線相交于一點 五 全等圖形 1 兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形 2 全等圖形的性質(zhì) 全等圖形的形狀和大小都相同 數(shù)學 七年級下冊 代承義 14 3 全等圖形的面積或周長均相等 4 判斷兩個圖形是否全等時 形狀相同與大小相等兩者缺一不可 5 全等圖形在平移 旋轉(zhuǎn) 折疊過程中仍然全等 6 全等圖形中的對應角和對應線段都分別相等 六 全等分割 1 把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割 2 對一個圖形全等分割 1 首先要觀察分析該圖形 發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點 2 其次要大膽嘗試 敢于動手 必要時可采用計算 交流 討論等方法完成 七 全等三角形 1 能夠重合的兩個三角形是全等三角形 用符號 連接 讀作 全等于 2 用 連接的兩個全等三角形 表示對應頂點的字母寫在對應的位置上 3 全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對應邊 對應角相等 這是今后證明邊 角相等的重要依據(jù) 4 兩個全等三角形 準確判定對應邊 對應角 即找準對應頂點是關鍵 八 全等三角形的判定 1 三邊對應相等的兩個三角形全等 簡寫為 邊邊邊 或 SSS 2 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 簡寫為 角邊角 或 ASA 3 兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 簡寫為 角角邊 或 AAS 4 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 簡寫為 邊角邊 或 SAS 5 注意以下內(nèi)容 1 三角形全等的判定條件中必須是三個元素 并且一定有一組邊對應相等 2 三邊對應相等 兩邊及夾角對應相等 一邊及任意兩角對應相等 這樣的兩個三角形全等 3 兩邊及其中一邊的對角對應相等不能判定兩三角形全等 6 熟練運用以下內(nèi)容 1 熟練運用三角形判定條件 是解決此類題的關鍵 2 已知 SS 可考慮 A 第三邊 即 SSS B 夾角 即 SAS 3 已知 SA 可考慮 A 另一角 即 AAS 或 ASA B 夾角的另一邊 即 SAS 4 已知 AA 可考慮 A 任意一邊 即 AAS 或 ASA 7 三角形的穩(wěn)定性 根據(jù)三角形全等的判定方法 SSS 可知 只要三角形三邊的長度確定了 這個三 角形的形狀和大小就完全確定了 三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性 九 作三角形 1 作圖題的一般步驟 1 已知 即將條件具體化 2 求作 即具體敘述所作圖形應滿足的條件 3 分析 即尋找作圖方法的途徑 通常是畫出草圖 4 作法 即根據(jù)分析所得的作圖方法 作出正式圖形 并依次敘述作圖過程 5 證明 即驗證所作圖形的正確性 通常省略不寫 2 熟練以下三種三角形的作法及依據(jù) 1 已知三角形的兩邊及其夾角 作三角形 2 已知三角形的兩角及其夾邊 作三角形 3 已知三角形的三邊 作三角形 十 利用三角形全等測距離 1 利用三角形全等測距離 實際上是利用已有的全等三角形 或構(gòu)造出全等三角形 運用全等三角形的 性質(zhì) 對應邊相等 把較難測量或無法測量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測量的線段的長度 從而得 到被測距離 2 運用全等三角形解決實際問題的步驟 數(shù)學 七年級下冊 代承義 15 1 先明確實際問題應該用哪些幾何知道解決 2 根據(jù)實際問題抽象出幾何圖形 3 結(jié)合圖形和題意分析已知條件 4 找到解決問題的途徑 十一 直角三角形全等的條件 1 在直角三角形中 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 簡寫成 斜邊 直角邊 或 HL 2 HL 是直角三角形特有的判定條件 對非直角三角形是不成立的 3 書寫時要規(guī)范 即在三角形前面必須加上 Rt 字樣 十二 分析 綜合法 1 我們在平時解幾何題時 采用的解題方法通常有兩種 綜合法與分析法 2 綜合法 從問題的條件出發(fā) 通過分析條件 依據(jù)所學知識 逐步探索 直到得出問題的結(jié)論 3 分析法 從問題的結(jié)論出發(fā) 不斷尋找使結(jié)論成立的條件 直至已知條件 4 在具體解題中 通常是兩種方法結(jié)合起來使用 既運用綜合法 又運用分析法 第五章第五章生活中的軸對稱生活中的軸對稱 軸對稱圖形 軸對稱分類 軸對稱 角平分線 軸對稱實例線段的垂直平分線 等腰三角形 等邊三角形 生活中的軸對稱 軸對稱的性質(zhì) 軸對稱的性質(zhì) 鏡面對稱的性質(zhì) 圖案設計 軸對稱的應用 鑲邊與剪紙 一 軸對稱圖形 1 如果一個圖形沿一條直線折疊后 直線兩旁的部分能夠完全重合 那么這個圖形叫做軸對稱圖形 這 數(shù)學 七年級下冊 代承義 16 條直線叫做對稱軸 2 理解軸對稱圖形要抓住以下幾點 1 指一個圖形 2 存在一條直線 對稱軸 3 圖形被直線分成的兩部分互相重合 4 軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條 有的則存在多條 5 線段 角 長方形 正方形 菱形 等腰三角形 圓都是軸對稱圖形 二 軸對稱 1 對于兩個圖形 如果沿一條直線對折后 它們能互相重合 那么稱這兩個圖形成軸對稱 這條直線就 是對稱軸 可以說成 這兩個圖形關于某條直線對稱 2 理解軸對稱應注意 1 有兩個圖形 2 沿某一條直線對折后能夠完全重合 3 軸對稱的兩個圖形一定是全等形 但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形 4 對稱軸是直線而不是線段 軸對稱圖形軸對稱 是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關系區(qū)別 對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條 沿某條直線對折后都能夠互相重合共同點 如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體 那么它就是一個軸對稱圖形 如果把軸對稱圖形分成兩部分 兩個圖形 那么這兩部分關于這條對稱軸成軸對稱 三 角平分線的性質(zhì) 1 角平分線所在的直線是該角的對稱軸 2 性質(zhì) 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 四 線段的垂直平分線 1 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線 又叫線段的中垂線 2 性質(zhì) 線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等 五 等腰三角形 1 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形 2 相等的兩條邊叫做腰 另一邊叫做底邊 3 兩腰的夾角叫做頂角 腰與底邊的夾角叫做底角 4 三條邊都相等的三角形也是等腰三角形 5 等腰三角形是軸對稱圖形 有一條對稱軸 等邊三角形除外 其底邊上的高或頂角的平分線 或底 邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸 6 等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸 它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸 7 等腰三角形底邊上的高 底邊上的中線 頂角的平分線互相重合 簡稱為 三線合一 8 三線合一 是等腰三角形所特有的性質(zhì) 一般三角形不具備這一重要性質(zhì) 9 三線合一 是等腰三角形特有的性質(zhì) 是指其頂角平分線 底邊上的高和中線 這三線 并非其他 10 等腰三角形的兩個底角相等 簡寫成 等邊對等角 11 判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法 1 兩條邊相等的三角形是等腰三角形 2 如果一個三角形有兩個角相等 那么它們所對的邊也相等相等 簡寫為 等角對等邊 六 等邊三角形 1 等邊三角形是指三邊都相等的三角形 又稱正三角形 是最特殊的三角形 2 等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形 所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì) 數(shù)學 七年級下冊 代承義 17 3 等邊三角形有三條對稱軸 三角形的高 角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸 4 等邊三角形的三邊都相等 三個內(nèi)角都是 600 圖形定義性質(zhì) 等腰三 角形 有兩邊 相等的 三角形 1 兩腰相等 兩底角相等 2 頂角 1800 2 底角 底角 1800 頂角 2 3 頂角的平分線 底邊上的中線和高 三線合一 4 軸對稱圖形 有一條對稱軸 等邊三 角形 又叫 正三角 形 三邊都 相等的 三角形 1 三邊都相等 三內(nèi)角相等 且每個內(nèi)角都等于 600 2 具有等腰三角形的所有性質(zhì) 3 軸對稱圖形 有三條對稱軸 七 軸對稱的性質(zhì) 1 兩個圖形沿一條直線對折后 能夠重合的點稱為對應點 對稱點 能夠重合的線段稱為對應線段 能夠重合的角稱為對應角 2 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形 3 如果兩個圖形關于某條直線對稱 那么對應點所連的線段被對稱軸垂直平分 4 如果兩個圖形關于某條直線對稱 那么對應線段 對應角都相等 5 類似地 軸對稱圖形的性質(zhì)有 1 軸對稱圖形對應點所連的線段被對稱軸垂直平分 2 軸對稱圖形的對應線段 對應角相等 3 根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求作軸對稱圖形的對應點 對應線段或?qū)?并由此能補全軸對稱圖形 八 圖案設計 1 作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形 實際上是軸對稱圖形的性質(zhì)的靈活運用 2 作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形的步驟 1 首先要確定一個簡單平面圖形上的幾個特殊點 2 然后利用軸對稱的性質(zhì) 作出其相應的對稱點 對應點所連的線段被對稱軸垂直平分 3 分別連接其對稱點 則可得其對稱圖形 3 表達方式 以點 M 為例 1 過點 M 作對稱軸l的垂線 垂足為 A 2 延長 MA 到 M 到 使 M A MA 則點 M 就是點 M 關于直線l的對稱點 3 在復雜的作圖中 也可以敘述為 作出點 M 關于直線l的對稱點 M 4 在運用軸對稱設計圖案時 就注意以下幾點 1 要有明確的設計意圖 2 創(chuàng)意要新穎獨特 3 設計出的圖案要符合要求 4 能清楚地表達自己的設計意圖和制作過程 5 圖案的設計除采用對稱的手段外 通常還綜合采用旋轉(zhuǎn) 倒置 重復等手段和形式 數(shù)學 七年級下冊 代承義 18 6 設計的圖案要美觀 大方 積極向上 反映時代特色 九 鏡面