江蘇省張家港市2012-2013學年高二數(shù)學周日測試5

1 張家港外國語學校高二數(shù)學周日測試張家港外國語學校高二數(shù)學周日測試 5 5 1 如果復數(shù) i bi 21 2 其中 i 為虛數(shù)單位 b 為實數(shù) 的實部和虛部互為相反數(shù) 那么 b 2 從 8 名女生 4 名男生中 選出 3 名學生組成課外小組 如果按性別比例分層抽樣 則不 同的抽取方法數(shù)為 3 設(shè) 29211 01211 1 21 2 2 2 xxaa xaxax 則 的值為 0111 aaa 4 在面積為 S 的正三角形 ABC 中 E 是邊 AB 上的動點 過點 E 作 EF BC 交 AC 于點 F 當 點 E 運動到離邊 BC 的距離為高的時 的面積取得最大值為類比上面的ABC 1 2 EFB 1 4 S 結(jié)論 可得 在各棱條相等的體積為 V 的四面體 ABCD 中 E 是棱 AB 上的動點 過點 E 作平 面 EFG 平面 BCD 分別交 AC AD 于點 F G 則四面體 EFGB 的體積的最大值等于 5 設(shè)長方體的長 寬 高分別為 其頂點都在一個球面上 則該球的表面積為2aaa 6 在正方體中 分別是的中點 111 DCBAABCD QPNM 1111 CCDCAAAB 給出以下四個結(jié)論 平面 與相交 1 ACMN 1 ACMNPQ 1 ACPM 1 NC 與異面其中正確結(jié)論的序號是 PM 7 下列命題中 錯誤命題序號是 0 1 A 的子集有 3 個 若 22 ambmab 則 的逆命題為真 命題pq 為真 是 命題pq 為真 的必要 不充分條件 命題 xR 均有 2 320 xx 的否定是 xR 使得 2 320 xx 8 下列 若 則 形式的命題中 是的充分而不必要條件的有 個 若pqpq 或xE 則 若關(guān)于的不等式的解集為 R 則xF xEF x 2 230axaxa 0a 若是有理數(shù) 則是無理數(shù)2xx 9 已知 在區(qū)間上任取三個不同的數(shù) 均存在以 xf 3 3xxm 2 0 a b c 為邊長的三角形 則的取值范圍是 f af bf cm 10 設(shè)分別是橢圓的左 右焦點 過的直線與相交 12 FF 2 2 2 1 01 y E xb b 1 F E 于兩點 且成等差數(shù)列 則 AB 22 AFABBF AB 11 過雙曲線的左焦點 作圓的切線 22 22 1 0 0 xy ab ab 0 0 Fcc 2 22 4 a xy 切點為 E 延長 FE 交曲線右支于點 P 若 則雙曲線的離心率為 1 2 OEOFOP 12 已知拋物線方程為 2 4yx 直線l的方程為40 xy 在拋物線上有一動點 P 到 y 軸的距離為 1 d P 到直線l的距離為 2 d 則 12 dd 的最小值為 13 已知P是直線0843 yx上的動點 是圓0122 22 yxyx的切PAPB 線 是切點 C是圓心 那么四邊形PACB面積的最小值是 AB 2 14 曲線 0 0 ba ax b y與y軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為 望點 以 望點 為圓心 凡是與曲線 C 有公共點的圓 皆稱之為 望圓 則當 a 1 b 1 時 所有 的 望圓 中 面積最小的 望圓 的面積為 15 如圖所示 已知圓O x2 y2 4 直線m kx y 1 0 1 求證 直線m與圓O有兩個相異交點 2 設(shè)直線m與圓O的兩個交點為A B 求 AOB面積S的最大值 16 如圖 在圓錐PO中 已知PO O的直徑AB 2 C是弧的中點 D為AC的中 2 AB 點 1 證明 平面POD 平面PAC 2 求二面角B PA C的余弦值 17 已知函數(shù) a b是不同時為零的常數(shù) 其導函數(shù)為 32 f xaxbxba x fx 1 當時 若不等式對任意恒成立 求b的取值范圍 1 3 a 0fx x 3 1 2 若函數(shù)為奇函數(shù) 且在處的切線垂直于直線 關(guān)于x的方程 f x1x 230 xy 在上有且只有一個實數(shù)根 求實數(shù)t的取值范圍 1 4 f xt 1 1 t t 3 18 已知拋物線 0 2 2 ppyxC 的焦點為F 拋物線上一點A的橫坐標為 1 x 0 1 x 過點A作拋物線C的切線 1 l 交x軸于點D 交 y 軸于點Q 交直線 2 p l y 于點M 當 2 FD 時 60 AFD 求證 AFQ 為等腰三角形 并求拋物線C的方程 若B位于 y 軸左側(cè)的拋物線C上 過點B作拋物線C的切線 2 l 交直線 1 l 于點P 交 直線l于點N 求 PMN 面積的最小值 并求取到最小值時的 1 x 值 19 設(shè)分別是橢圓的左 右焦點 1 若橢圓上的點 12 F F 22 22 1 xy C ab 0 ab C 到兩點的距離之和等于 4 寫出橢圓的方程和焦點坐標 2 設(shè)點是 3 1 2 A 12 F FCP 1 中所得橢圓上的動點 求的最大值 3 已知橢圓具有性質(zhì) 若 1 0 2 QPQ 是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點 點是橢圓上任意一點 當直線的斜率 M NCP PM PN 都存在 并記為 時 那么與之積是與點位置無關(guān)的定值 試對雙曲 PM K PN K PM K PN KP 線寫出具有類似特性的性質(zhì) 并加以證明 22 22 1 xy ab 4 20 函數(shù) 當時 求證 1ln xaxf 0 a0 x 1 1 1 x axf 在區(qū)間上恒成立 求實數(shù)的范圍 當時 求證 1 e xfx a 2 1 a 11 2 1 3 2 nnnfff nN 5 高二數(shù)學加試題高二數(shù)學加試題 1 已知 ABC A 1 0 B 3 0 C 2 1 對它先作關(guān)于 x 軸的反射變換 再將所得圖 形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 90 1 分別求兩次變換所對應(yīng)的矩陣 M1 M2 2 求點 C 在兩次 連續(xù)的變換作用下所得到的點的坐標 2 O1 和 O2 的極坐標方程分別為 4cos4sin 1 把 O1 和 O2 的極坐標方程化為直角坐標方程 2 求經(jīng)過 O1 O2 交點的直線的直角坐標方程 3 求 O1 O2 的公共弦弦長 6 3 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓 以提高下崗人員的再就業(yè)能力 每名下 崗人員可以選擇參加一項培訓 參加兩項培訓或不參加培訓 已知參加過財會培訓的有 60 參加過計算機培訓的有 75 假設(shè)每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的 且各人的選 擇相互之間沒有影響 1 任選 1 名下崗人員 求該人參加過培訓的概率 2 任選 3 名下崗人員 記 X 為 3 人中參加過培訓的人數(shù) 求 X 的概率分布和期望 4 已知數(shù)列的首項為 n a1 12 12 kn nnknnn f naCa Ca Ca C 1 若為常數(shù)列 求的值 2 若為公比為的等比數(shù)列 nN n a 4 f n a2 求的解析式 3 數(shù)列能否成等差數(shù)列 使得對一切 f n n a 1 1 2nf nn 都成立 若能 求出數(shù)列的通項公式 若不能 試說明理由 nN n a 7 參考答案 1 3 2 2 112 3 4 5 6 1 3 4 2 V 27 4 2 6 a 7 8 0 個 9 m 6 9 解析 求導 由 xf 3 3xxm 2 33fxx 得到或者 0fx 1x 1x 知道在 0 2 內(nèi) 函數(shù)先減小后增加 計算兩端及最小值x 0 2 2 1 2fm fm fm 在 0 2 上任取三個數(shù) 均存在以為邊的三角形 三個不同的數(shù) a b c f af bf c 對應(yīng)的可以有兩個相同 由三角形兩邊之和大于第三邊 可知最小 a b c f af bf c 邊長的二倍必須大于最大邊長 由題意知 1 1 20fm 得到 2 1 1 0 fff 42mm 得到 3 1 1 2 fff 422mm 由 1 2 3 得到為所求6m 10 11 12 5 2 1 2 由拋物線的定 3 410 2 義 PF 1 1d 1 1dPF 顯然當 PF 垂直于直線 122 1dddPF 40 xy 時 最小 此時為 F 12 dd 2 dPF 到直線40 xy 的距離為 22 1 04 5 2 2 11 的最小值為 12 dd 5 21 2 13 14 因為曲線 0 0 ba ax b y與y軸的交點關(guān)于原點的對稱22 3 點稱為 望點 以 望點 為圓心 凡是與曲線 C 有公共點的圓 皆稱之為 望圓 所以 當時望圓的方程可設(shè)為 面積最小的 望圓 的半徑為1 1 ba 222 1 ryx 8 0 1 到上任意點之間的最小距離 1 1 x y 22222 1 2 1 1 1 x x x x xd 所以半徑 最小面積為32 1 2 1 2 1 1 1 2 2 x x x x3 r 3 15 解析 1 證明 直線m kx y 1 0 可化為y 1 kx 故該直線恒過點 0 1 而 0 1 在圓O x2 y2 4 內(nèi)部 所以直線m與圓O恒有兩個不同交點 2 圓心O到直線m的距離為 d 而圓O的半徑r 2 1 1 k2 故弦AB的長為 AB 2 2 r2 d24 d2 故 AOB面積S AB d 2 d 1 2 1 24 d2 4d2 d4 d2 2 2 4 而d2 因為 1 k2 1 所以d2 0 1 1 1 k2 1 1 k2 顯然當d2 0 1 時 S單調(diào)遞增 所以當d2 1 即k 0 時 S取得最大值 3 此時直線m的方程為y 1 0 16 如圖所示 連接OC 因為OA OC D是AC的中點 所以AC OD 又PO 底面 O AC 底面 O 所以AC PO 因為OD PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線 所以AC 平面POD 而AC 平面PAC 所以平面POD 平面PAC 2 在平面POD中 過O作OH PD于H 由 1 知 平面POD 平面PAC 所以O(shè)H 平面 PAC 又PA 平面PAC 所以PA OH 在平面PAO中 過O作OG PA于G 連接HG 則有PA 平面OGH 從而PA HG 故 OGH為二面角B PA C的平面角 在 Rt ODA中 OD OA sin 45 2 2 在 Rt POD中 9 OH PO OD PO2 OD2 2 2 2 2 1 2 10 5 在 Rt POA中 OG PO OA PO2 OA2 2 1 2 1 6 3 在 Rt OHG中 sin OGH OH OG 10 5 6 3 15 5 所以 cos OGH 1 sin2 OGH 1 15 25 10 5 故二面角B PA C的余弦值為 10 5 解法二 1 證明 如圖所示 以O(shè)為坐標原點 OB OC OP所在直線分別為x軸 y 軸 z軸建立空間直角坐標系 則 O 0 0 0 A 1 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 D 2 1 2 1 2 0 設(shè)n n1 x1 y1 z1 是平面POD的一個法向量 則由n n1 0 n n1 0 得Error OD OP 所以z1 0 x1 y1 取y1 1 得n n1 1 1 0 設(shè)n n2 x2 y2 z2 是平面PAC的一個法向量 則由n n2 0 n n2 0 PA PC 得Error 所以x2 z2 y2 z2 22 取z2 1 得n n2 1 22 因為n n1 n n2 1 1 0 1 0 所以n n1 n n2 從而平面POD 平面PAC 22 10 2 因為y軸 平面PAB 所以平面PAB的一個法向量為n n3 0 1 0 由 1 知 平面PAC的一個法向量為n n2 1 22 設(shè)向量n n2和n n3的夾角為 則 cos n n2 n n3 n n2 n n3 2 5 10 5 由圖可知 二面角B PA C的平面角與 相等 所以二面角B PA C的余弦值為 10 5 17 1 當時 分 1 3 a 2 1 2 3 fxxbxb 依題意 即恒成立 2 1 2 3 fxxbxb 1 3 2 20 xbxb 解得 2 440bb 01b 所以b的取值范圍是 分 0 1 2 因為為奇函數(shù) 所以 所以 32 f xaxbxba x 0b 3 f xaxax 又在處的切線垂直于直線 所以 即 2 3fxaxa f x1x 230 xy 1a 6 分 3 f xxx 在 上是單調(diào)遞增函數(shù) 在上是單調(diào)遞減 f x 3 3 3 3 33 33 函數(shù) 由解得 7 分 0f x 1x 0 x 法一 如圖所示 作與的圖像 若只有一個交點 則 yf x 4 t y 當時 3 1 3 t 1 0 4 f tt 即 解得 3 4 t tt 33 23 t 當時 3 0 3 t 1 0 4 f tt 解得 3 0 3 t x 1O y 1 1O x y f t 4 t y t 1 O x y f t 4 t y 3 3 11 當時 不成立 0t 當時 3 0 3 t 1 0 4 f tt 即 解得 3 4 t tt 3 0 3 t 當時 3 1 3 t 1 0 4 f tt 解得 33 32 t 當時 1t 38 3 1 439 t ft 4 t y 分 綜上t的取值范圍是或或 分 3 0 2 t 3 0 2 t 8 3 9 t 法二 由 13 42 f xxx 解之得0 x 作與的圖知交點橫坐標為 yf x 1 4 yx 3 2 x 0 x 當時 過圖象上任意一點向左作平行于軸的 33 0 0 22 x 8 3 9 1 4 yx x 直線與都只有唯一交點 當取其它任何值時都有兩個或沒有交點 yf x x 所以當時 方程在上有且只有 33 0 0 22 t 8 3 9 1 4 f xt 1 1 t t 一個實數(shù)根 18 1 設(shè) 11 yxA 則切線AD的方程為 p x x p x y 2 2 11 所以 0 0 2 1 1 yQ x D 1 2 y p FQ 1 2 y p FA 所以 FAFQ 1 x y 3 3 f t 4 t y t O x y O x y 3 3 4 t y f t t t 4 t y 4 t y 12 所以 AFQ 為等腰三角形 3分 且D為 AQ 中點 所以 AQDF 60 2 AFDDF 1 2 60 p QFD 得 2 p 拋物線方程為 yx4 2 7分 II 設(shè) 0 222 xyxB 則B處的切線方程為 22 2 22 x x x y 由 4 2 42 42 2121 2 22 2 11 xxxx P x x x y x x x y 1 2 2 1 42 1 1 2 11 x x M y x x x y 同理 1 2 2 2 2 x x N 所以面積 21 2 211221 2 2 1 1 16 4 4 1 2 2 2 2 2 1 xx xxxxxx x x x x S 設(shè)AB的方程為 bkxy 則 0 b 由 044 4 2 2 bkxx yx bkxy 得 bxx kxx 4 4 21 21 代入 得 b bkb b bbk S 2222 1 64 44 1616 使面積最小 則 0 k 得到 b bb S 2 1 令 tb 得 t tt t t tS 1 2 1 3 22 2 22 1 13 t tt tS 所以當 3 3 0 t 時 tS 單調(diào)遞減 當 3 3 t tS 單調(diào)遞增 所以當 3 3 t 時 S取到最小值為 9 316 此時 3 1 2 tb 0 k 所以 3 1 1 y 即 3 32 1 x 15分 13 19 解 1 橢圓的焦點在軸上 由橢圓上的點到兩點的距離之和是 4 得CxA 12 F F 24a 即 又在橢圓上 解得 于是2a 3 1 2 A 2 2 3 1 2 1 2b 2 3b 2 1c 所以橢圓的方程是 焦點C 22 1 43 xy 12 1 0 1 0 FF 設(shè) 則 P x y 22 1 43 xy 22 4 4 3 xy 2222222 14111713 4 5 2343432 PQxyyyyyyy 又 當時 33y 3 2 y max 5PQ 類似的性質(zhì)為 若是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點 點是雙曲線 M N 22 22 1 xy C ab P 上任意一點 當直線的斜率都存在 并記為時 那么與之積是與 PM PN PMPN kk PM k PN k 點位置無關(guān)的定值 P 設(shè)點 則點 其中 設(shè)點 則由 M m n Nmn 22 22 1 mn ab P x y PM yn k xm 得 將 PN yn k xm 22 22 PMPN ynynyn kk xm xmxm 代入上式得 22 222222 22 bb yxb nmb aa 2 2 PMPN b kk a 20 I 證明 設(shè) 0 1 1ln 1 11 x x axa x axfx 則 則 即在處取到最小值 0 2 x a x a x 1 x x 1 x 則 即原結(jié)論成立 4 分 01 x II 解 由得 xxf xxa 1ln 即 另 x x a ln 1 1 ln 1 x x x xg 2 ln 1 ln x x x x xg 另 則單調(diào)遞增 所以 x x xxh 1 ln 0 11 2 xx xh xh 01 hxh 14 因為 所以 即單調(diào)遞增 則的最大值為 0 xh 0 x g xg xg 1 eeg 所以的取值范圍為 8 分a 1e III 證明 由第一問得知則 x x 1 1ln n n 1 1ln 則 nnnfff 1ln3ln2ln 2 1 132 nn 1ln3ln2ln n n 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 32 1 21 1 22 12 1 32 1 22 1 22 nn n n n 112 nn 2 分 加試題參考答案 1 解 1 M1 M2 1 0 0 1 0 1 1 0 2 因為 M M2 M1 所以 M 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 21 0 1 1 0 2 1 1 2 故點 C 在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點的坐標是 1 2 1 O1 的直角坐標方程為 22 40 xyx O2 的直角坐標方程為 22 40 xyy 2 yx 3 22 3 解 任選 1 名下崗人員 記 該人參加過財會培訓 為事件 A 該人參加過計算機培訓 為事件 B 由題設(shè)知 事件 A 與 B 相互獨立 且 P A 0 6 P B 0 75 1 解法一 任選 1 名下崗人員 該人沒有參加過培訓的概率是 P1 P P P A B A B 0 4 0 25 0 1 所以該人參加過培訓的概率是 P2 1 P1 1 0 1 0