小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)

4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 1 of 17 模型三模型三 蝴蝶模型蝴蝶模型 任意四邊形模型 任意四邊形模型 任意四邊形中的比例關(guān)系任意四邊形中的比例關(guān)系 蝴蝶定理蝴蝶定理 S4 S3 S2 S1 O D CB A 或者或者 1243 SSSS 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑 通過構(gòu)造模型 一方面可以使不規(guī)則四邊通過構(gòu)造模型 一方面可以使不規(guī)則四邊 形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系 另一方面 也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系 另一方面 也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系 例例 1 小數(shù)報(bào)競賽活動試題小數(shù)報(bào)競賽活動試題 如圖 某公園的外輪廓是四邊形如圖 某公園的外輪廓是四邊形ABCD 被對角線 被對角線AC BD分成四個部分 分成四個部分 AOB面積為面積為 1 平方千米 平方千米 BOC面積為面積為 2 平方千米平方千米 COD的面積為的面積為 3 平方千米 公園由陸地面積平方千米 公園由陸地面積 是是 6 92 平方千米和人工湖組成 求人工湖的面積是多少平方千米 平方千米和人工湖組成 求人工湖的面積是多少平方千米 O D C B A 分析 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米 公園四邊形的面積是平3 121 5 AOD S ABCD1231 57 5 方千米 所以人工湖的面積是平方千米7 56 920 58 鞏固鞏固 如圖 四邊形被兩條對角線分成如圖 四邊形被兩條對角線分成 4 個三角形 其中三個三角形的面積已知 個三角形 其中三個三角形的面積已知 求 求 三角形三角形的面積 的面積 BGC AG GC A B C D G 32 1 解析 根據(jù)蝴蝶定理 那么 123 BGC S A 6 BGC S A 根據(jù)蝴蝶定理 12 361 3AG GC 任意四邊形 梯形與相似模任意四邊形 梯形與相似模 型型 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 2 of 17 例例 2 四邊形四邊形的對角線的對角線與與交于點(diǎn)交于點(diǎn) 如圖所示如圖所示 如果三角形如果三角形的面積等于三角形的面積等于三角形ABCDACBDOABD 的面積的的面積的 且 且 那么 那么的長度是的長度是的長度的的長度的 倍倍 BCD 1 3 2AO 3DO CODO A BC D O H G A BC D O 解析 在本題中 四邊形為任意四邊形 對于這種 不良四邊形 無外乎兩種處理方法 利用ABCD 已知條件 向已有模型靠攏 從而快速解決 通過畫輔助線來改造不良四邊形 看到題目中給出 條件 這可以向模型一蝴蝶定理靠攏 于是得出一種解法 又觀察題目中給出的 1 3 ABDBCD SS AA 已知條件是面積的關(guān)系 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 可以得到第二種解法 但是第二種解法需要一個中介來 改造這個 不良四邊形 于是可以作垂直于 垂直于 面積比轉(zhuǎn)化為高之比 AHBDHCGBDG 再應(yīng)用結(jié)論 三角形高相同 則面積之比等于底邊之比 得出結(jié)果 請老師注意比較兩種解法 使 學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢 從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題 解法一 1 3 ABDBDC AO OCSS 236OC 6 32 1OC OD 解法二 作于 于 AHBD HCGBD G 1 3 ABDBCD SS 1 3 AHCG 1 3 AODDOC SS 1 3 AOCO 236OC 6 32 1OC OD 例例 3 如圖 平行四邊形如圖 平行四邊形的對角線交于的對角線交于點(diǎn) 點(diǎn) 的面積依次是的面積依次是ABCDOCEF OEF ODF BOE 2 4 4 和和 6 求 求 求求的面積 的面積 求求的面積的面積 OCF GCE O G F E D CB A 解析 根據(jù)題意可知 的面積為 那么和的面積都是 BCD 244616 BCO CDO 1628 所以的面積為 OCF 844 由于的面積為 8 的面積為 6 所以的面積為 BCO BOE OCE 862 根據(jù)蝴蝶定理 所以 2 41 2 COECOF EG FGSS 1 2 GCEGCF SSEG FG 那么 112 2 1233 GCECEF SS 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 3 of 17 例例 4 圖中的四邊形土地的總面積是圖中的四邊形土地的總面積是 52 公頃 兩條對角線把它分成了公頃 兩條對角線把它分成了 4 個小三角形 其中個小三角形 其中 2 個小三角形個小三角形 的面積分別是的面積分別是 6 公頃和公頃和 7 公頃 那么最大的一個三角形的面積是多少公頃 公頃 那么最大的一個三角形的面積是多少公頃 7 6 7 6 E D C BA 解析 在 中有 所以 的面積比為 ABEACDEAAEBCED ABEACDEA AEEB CEDE 同理有 的面積比為 所以有 也ADEABCEA AEDEBEEC ABE SA CDE SA ADE SA BCE SA 就是說在所有凸四邊形中 連接頂點(diǎn)得到 2 條對角線 有圖形分成上 下 左 右 4 個部分 有 上 下部分的面積之積等于左右部分的面積之積 即 所以有與6 ABE S A7 ADE S AABEA 的面積比為 公頃 公頃 ADEA7 6 ABE SA 7 3921 67 ADE SA 6 3918 67 顯然 最大的三角形的面積為 21 公頃 例例 5 2008 年清華附中入學(xué)測試題年清華附中入學(xué)測試題 如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是 1 則圖中陰影三角形的面積為 則圖中陰影三角形的面積為 C A B D O C A B D 解析 連接 ADCDBC 則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式 可以得到的面積為 的面積為 ABC 4 112 2 ACD 的面積為 3 313 5 2 ABD 4 213 2 所以 所以 2 3 54 7 ABCACD BO ODSS 4412 3 471111 ABOABD SS 鞏固鞏固 如圖 每個小方格的邊長都是如圖 每個小方格的邊長都是 1 求三角形 求三角形的面積 的面積 ABC A B C D E 解析 因?yàn)?且 所以 2 5BD CE BDCE 2 5DA AC 5 25 ABC S 510 2 77 DBC S 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 4 of 17 例例 6 2007 年人大附中考題年人大附中考題 如圖 邊長為如圖 邊長為 1 的正方形的正方形中 中 求三角形 求三角形ABCD2BEEC CFFD 的面積 的面積 AEG A BC D E F G A BC D E F G 解析 連接 EF 因?yàn)?所以 2BEEC CFFD 1111 23212 DEFABCDABCD SSS AA 因?yàn)?根據(jù)蝴蝶定理 1 2 AEDABCD SS A 11 6 1 2 12 AG GF 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS AA 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS AAA 即三角形的面積是 AEG 2 7 例例 7 如圖 長方形如圖 長方形中 中 三角形 三角形的面積為的面積為平方厘米 求長平方厘米 求長ABCD 2 3BE EC 1 2DF FC DFG2 方形方形的面積 的面積 ABCD A BC D E F G A BC D E F G 解析 連接 AEFE 因?yàn)?所以 2 3BE EC 1 2DF FC 3111 53210 DEFABCDABCD SSS A長方形長方形 因?yàn)?所以平方厘米 所以 1 2 AEDABCD SS A長方形 11 5 1 2 10 AG GF 510 AGDGDF SS AA 平方厘米 因?yàn)?所以長方形的面積是平方厘米 12 AFD S A 1 6 AFDABCD SS A長方形 ABCD72 例例 8 如圖 已知正方形如圖 已知正方形的邊長為的邊長為 10 厘米 厘米 為為中點(diǎn) 中點(diǎn) 為為中點(diǎn) 中點(diǎn) 為為中點(diǎn) 求三角中點(diǎn) 求三角ABCDEADFCEGBF 形形的面積的面積 BDG A BC D E F G O A BC D E F G 解析 設(shè)與的交點(diǎn)為 連接 BDCEOBEDF 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 5 of 17 由蝴蝶定理可知 而 BEDBCD EO OCSS AA 1 4 BEDABCD SS AA 1 2 BCDABCD SS AA 所以 故 1 2 BEDBCD EO OCSS AA 1 3 EOEC 由于為中點(diǎn) 所以 故 FCE 1 2 EFEC 2 3EO EF 1 2FO EO 由蝴蝶定理可知 所以 1 2 BFDBED SSFO EO AA 11 28 BFDBEDABCD SSS AAA 那么 平方厘米 111 10 106 25 21616 BGDBFDABCD SSS AAA 例例 9 如圖 在如圖 在中 已知中 已知 分別在邊分別在邊 上 上 與與相交于相交于 若若 ABC MNACBCBMANOAOM 和和的面積分別是的面積分別是 3 2 1 則 則的面積是的面積是 ABO BON MNC N M O C B A 解析 這道題給出的條件較少 需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解 根據(jù)蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 設(shè) 根據(jù)共邊定理我們可以得 MON Sx 解得 ANMABM MNCMBC SS SS 3 3 32 2 3 1 2 x x 22 5x 例例 10 2009 年迎春杯初賽六年級年迎春杯初賽六年級 正六邊形正六邊形的面積是的面積是 2009 平方厘米 平方厘米 分分 123456 A A A A A A 123456 B B B B B B 別是正六邊形各邊的中點(diǎn) 那么圖中陰影六邊形的面積是別是正六邊形各邊的中點(diǎn) 那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米 平方厘米 B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 O B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 解析 如圖 設(shè)與的交點(diǎn)為 則圖中空白部分由個與一樣大小的三角形組成 只要 62 B A 13 B AO6 23 A OA 求出了的面積 就可以求出空白部分面積 進(jìn)而求出陰影部分面積 23 A OA 連接 63 A A 61 B B 63 B A 設(shè)的面積為 則面積為 面積為 那么面積為 116 AB B 1 126 B A B 1 126 A A B 2 636 A A B 的倍 為 梯形的面積為 的面積為 126 A A B 24 1236 A A A A224212 263 A B A 6 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 6 of 17 的面積為 123 B A A 2 根據(jù)蝴蝶定理 故 126326 13 1 6 B A BA A B BOA OSS 2 3 6 16 A OA S 123 12 7 B A A S 所以 即的面積為梯形面積的 故為六邊形 231236 12 12 1 7 7 A OAA A A A SS 梯形23 A OA 1236 A A A A 1 7 面積的 那么空白部分的面積為正六邊形面積的 所以陰影部分面積為 123456 A A A A A A 1 14 13 6 147 平方厘米 3 200911148 7 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 7 of 17 板塊二板塊二 梯形模型的應(yīng)用梯形模型的應(yīng)用 梯形中比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系 梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理 A BC D O b a S3 S2 S1 S4 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab 的對應(yīng)份數(shù)為的對應(yīng)份數(shù)為 S 2 ab 梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上 下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道 通過構(gòu)造模型 直接應(yīng)用結(jié)梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上 下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道 通過構(gòu)造模型 直接應(yīng)用結(jié) 論 往往在題目中有事半功倍的效果 論 往往在題目中有事半功倍的效果 具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明 例例 11 如圖 如圖 求梯形的面積 求梯形的面積 2 2S 3 4S S4 S3 S2 S1 解析 設(shè)為份 為份 根據(jù)梯形蝴蝶定理 所以 又因?yàn)?所 1 S 2 a 3 S 2 b 2 3 4Sb 2b 2 2Sab 以 那么 所以梯形面積 或者1a 2 1 1Sa 4 2Sab 1234 12429SSSSS 根據(jù)梯形蝴蝶定理 22 129Sab 鞏固鞏固 2006 年南京智力數(shù)學(xué)冬令營年南京智力數(shù)學(xué)冬令營 如下圖 梯形如下圖 梯形的的平行于平行于 對角線 對角線 交于交于 ABCDABCDACBDO 已知已知與與的面積分別為的面積分別為 平方厘米與平方厘米與平方厘米 那么梯形平方厘米 那么梯形的面積是的面積是AOB BOC 2535ABCD 平方厘米 平方厘米 35 25 O AB CD 解析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 可得 再根據(jù)梯形蝴蝶定理 2 25 35 AOBBOC SSaab AA 5 7a b 所以 平方厘米 那么梯形的面積為 2222 5 725 49 AOBDOC SSab AA 49 DOC S A ABCD 平方厘米 25353549144 例例 12 梯形梯形的對角線的對角線與與交于點(diǎn)交于點(diǎn) 已知梯形上底為 已知梯形上底為 2 且三角形 且三角形的面積等于三角的面積等于三角ABCDACBDOABO 形形面積的面積的 求三角形 求三角形與三角形與三角形的面積之比的面積之比 BOC 2 3 AODBOC 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 8 of 17 O A BC D 解析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 可以求出 2 2 3 AOBBOC SSab b AA 2 3a b 再根據(jù)梯形蝴蝶定理 2222 2 34 9 AODBOC SSab AA 通過利用已有幾何模型 我們輕松解決了這個問題 而沒有像以前一樣 為了某個條件的缺乏而千 辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè) 所以 請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論 例例 13 第十屆華杯賽第十屆華杯賽 如下圖 四邊形如下圖 四邊形中 對角線中 對角線和和交于交于點(diǎn) 已知點(diǎn) 已知 并且 并且ABCDACBDO1AO 那么 那么的長是多少 的長是多少 3 5 ABD CBD 三角形的面積 三角形的面積 OC A B C D O 解析 根據(jù)蝴蝶定理 所以 又 所以 ABDAO CBDCO 三角形的面積 三角形的面積 3 5 AO CO 1AO 5 3 CO 例例 14 梯形的下底是上底的梯形的下底是上底的倍 三角形倍 三角形的面積是的面積是 問三角形 問三角形的面積是多少 的面積是多少 1 5OBC 2 9cmAOD A BC D O 解析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 1 1 52 3a b 2222 2 34 9 AODBOC SSab 所以 2 4 cm AOD S 鞏固鞏固 如圖 梯形如圖 梯形中 中 的面積分別為的面積分別為和和 求梯形 求梯形的面積 的面積 ABCDAOB COD 1 22 7ABCD O D C BA 解析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 所以 22 4 9 AOBACOD SSab AA 2 3a b 2 3 2 AODAOB SSab ab a AA 3 1 21 8 2 AODCOB SS AA 1 21 81 82 77 5 ABCD S 梯形 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 9 of 17 例例 15 如下圖 一個長方形被一些直線分成了若干個小塊 已知三角形如下圖 一個長方形被一些直線分成了若干個小塊 已知三角形的面積是的面積是 三角形 三角形 ADG11 的面積是的面積是 求四邊形 求四邊形的面積 的面積 BCH23EGFH H G F E DC B A H G F E DC B A 解析 如圖 連結(jié) EF 顯然四邊形 ADEF 和四邊形 BCEF 都是梯形 于是我們可以得到三角形 EFG 的面 積等于三角形 ADG 的面積 三角形 BCH 的面積等于三角形 EFH 的面積 所以四邊形 EGFH 的面 積是 112334 鞏固鞏固 人大附中入學(xué)測試題人大附中入學(xué)測試題 如圖 長方形中 若三角形如圖 長方形中 若三角形 1 的面積與三角形的面積與三角形 3 的面積比為的面積比為 4 比比 5 四邊形 四邊形 2 的面積為的面積為 36 則三角形 則三角形 1 的面積為的面積為 321 321 解析 做輔助線如下 利用梯形模型 這樣發(fā)現(xiàn)四邊形 2 分成左右兩邊 其面積正好等于三角形 1 和三角 形 3 所以 1 的面積就是 3 的面積就是 4 3616 45 5 3620 45 例例 16 如圖 正方形如圖 正方形面積為面積為 平方厘米 平方厘米 是是邊上的中點(diǎn) 求圖中陰影部分的面積 邊上的中點(diǎn) 求圖中陰影部分的面積 ABCD3MAD G M D C B A 解析 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn) 所以 根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道MAD 1 2AM BC 設(shè)份 則 22 1 1 2 1 2 21 2 2 4 AMGABGMCGBCG SSSS 1 AGM S 123 MCD S 份 所以正方形的面積為份 份 所以 所以1224312 224S 陰影 1 3SS 陰影正方形 平方厘米 1S 陰影 鞏固鞏固 在下圖的正方形在下圖的正方形中 中 是是邊的中點(diǎn) 邊的中點(diǎn) 與與相交于相交于點(diǎn) 三角形點(diǎn) 三角形的面積為的面積為 1 平平ABCDEBCAEBDFBEF 方厘米 那么正方形方厘米 那么正方形面積是面積是 平方厘米 平方厘米 ABCD A BC D E F 解析 連接 根據(jù)題意可知 根據(jù)蝴蝶定理得 平方厘米 DE 1 2BE AD 2 129S 梯形 平方厘米 那么 平方厘米 3 ECD S 12 ABCD S A 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 10 of 17 例例 17 如圖面積為如圖面積為平方厘米的正方形平方厘米的正方形中 中 是是邊上的三等分點(diǎn) 求陰影部分的面邊上的三等分點(diǎn) 求陰影部分的面12ABCD E FDC 積 積 O FE DC B A 解析 因?yàn)槭沁吷系娜确贮c(diǎn) 所以 設(shè)份 根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道 E FDC 1 3EF AB 1 OEF S 份 份 份 因此正方形的面積為3 AOEOFB SS 9 AOB S 13 ADEBCF SS 份 所以 所以平方厘米 2 44 13 24 6S 陰影 6 241 4SS 陰影正方形 3S 陰影 例例 18 如圖 在長方形如圖 在長方形中 中 厘米 厘米 厘米 厘米 求陰影部分的面積 求陰影部分的面積 ABCD6AB 2AD AEEFFB B C A D EF O B C A D EF O 解析 方法一 如圖 連接 將陰影部分的面積分為兩個部分 其中三角形的面積為DEDEAED 平方厘米 26322 由于 根據(jù)梯形蝴蝶定理 所以 而 1 3EF DC 3 1 DEOEFO SS AA 3 4 DEODEF SS AA 平方厘米 所以平方厘米 陰影部分的面積為平方厘2 DEFADE SS AA 3 21 5 4 DEO S A 21 53 5 米 方法二 如圖 連接 由于 設(shè)份 根據(jù)梯形蝴蝶定理 DEFC 1 3EF DC 1 OEF S 份 份 份 因此3 OED S 2 13 16 EFCD S 梯形 134 ADEBCF SS 份 份 而平方厘米 所以416424 ABCD S 長方形 437S 陰影 6212 ABCD S 長方形 平方厘米3 5S 陰影 例例 19 2008 年年 奧數(shù)網(wǎng)杯奧數(shù)網(wǎng)杯 六年級試題六年級試題 已知已知是平行四邊形 是平行四邊形 三角形 三角形的的ABCD 3 2BC CE ODE 面積為面積為 6 平方厘米 則陰影部分的面積是平方厘米 則陰影部分的面積是 平方厘米 平方厘米 O E A BC D O E A BC D 解析 連接 AC 由于是平行四邊形 所以 ABCD 3 2BC CE 2 3CE AD 根據(jù)梯形蝴蝶定理 所以 平方 22 2 23 23 34 6 6 9 COEAOCDOEAOD SSSS AAAA 6 AOC S A 厘米 平方厘米 又 平方厘米 陰影部分面積為9 AOD S A 6915 ABCACD SS AA 平方厘米 61521 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 11 of 17 鞏固鞏固 右圖中右圖中是梯形 是梯形 是平行四邊形 已知三角形面積如圖所示是平行四邊形 已知三角形面積如圖所示 單位 平方厘米單位 平方厘米 陰影部 陰影部ABCDABED 分的面積是分的面積是 平方厘米 平方厘米 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 分析 連接 AE 由于與是平行的 所以也是梯形 那么 ADBCAECD OCDOAE SS 根據(jù)蝴蝶定理 故 4936 OCDOAEOCEOAD SSSS 2 36 OCD S 所以 平方厘米 6 OCD S 鞏固鞏固 2008 年三帆中學(xué)考題年三帆中學(xué)考題 右圖中右圖中是梯形 是梯形 是平行四邊形 已知三角形面積如圖所示是平行四邊形 已知三角形面積如圖所示 單單ABCDABED 位 平方厘米位 平方厘米 陰影部分的面積是 陰影部分的面積是 平方厘米 平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 解析 連接 AE 由于與是平行的 所以也是梯形 那么 ADBCAECD OCDOAE SS 根據(jù)蝴蝶定理 故 所以 平方厘米 2 816 OCDOAEOCEOAD SSSS 2 16 OCD S 4 OCD S 另解 在平行四邊形中 平方厘米 ABED 11 16812 22 ADEABED SS A 所以 平方厘米 1284 AOEADEAOD SSS 根據(jù)蝴蝶定理 陰影部分的面積為 平方厘米 8244 例例 20 如圖所示 如圖所示 將長方形將長方形分成分成 4 塊 塊 的面積是的面積是 5 平方厘米 平方厘米 的面積的面積BDCFABCDDEF CED 是是 10 平方厘米 問 四邊形平方厘米 問 四邊形的面積是多少平方厘米 的面積是多少平方厘米 ABEF F A BC D E 10 5 F A BC D E 10 5 分析 連接 根據(jù)梯形模型 可知三角形的面積和三角形的面積相等 即其面積也是 10 平BFBEFDEC 方厘米 再根據(jù)蝴蝶定理 三角形的面積為 平方厘米 所以長方形的面積為BCE10 10520 平方厘米 四邊形的面積為 平方厘米 2010260 ABEF605102025 鞏固鞏固 如圖所示 如圖所示 將長方形將長方形分成分成 4 塊 塊 的面積是的面積是 4 平方厘米 平方厘米 的面積是的面積是 6BDCFABCDDEF CED 平方厘米 問 四邊形平方厘米 問 四邊形的面積是多少平方厘米 的面積是多少平方厘米 ABEF 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 12 of 17 6 4 A BC D E F 6 4 A BC D E F 解析 法 1 連接 根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理 可知三角形的面積和三角形的面BFBEFDEC 積相等 即其面積也是 6 平方厘米 再根據(jù)蝴蝶定理 三角形的面積為 平方厘米 BCE6649 所以長方形的面積為 平方厘米 四邊形的面積為 平方厘 96230 ABEF3046911 米 法 2 由題意可知 根據(jù)相似三角形性質(zhì) 所以三角形的面積 42 63 EF EC 2 3 EDEF EBEC BCE 為 平方厘米 則三角形面積為 15 平方厘米 長方形面積為 平方厘米 2 69 3 CBD15230 四邊形的面積為 平方厘米 ABEF3046911 鞏固鞏固 98 迎春迎春杯初賽杯初賽 如圖 如圖 長方形中 陰影部分是直角三角形且面積為長方形中 陰影部分是直角三角形且面積為 的長是的長是 ABCD54OD16 的長是的長是 那么四邊形那么四邊形的面積是多少 的面積是多少 OB9OECD E O D C B A 解析 因?yàn)檫B接知道和的面積相等即為 又因?yàn)?所以的面EDABO EDO 5416 9OD OB AOD 積為 根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道 的面積為 所549 1696 BEO 54549630 375 以四邊形的面積為 平方厘米 OECD549630 375119 625 例例 21 2007 年年 迎春杯迎春杯 高年級初賽高年級初賽 如圖 長方形如圖 長方形被被 分成四塊 已知其中分成四塊 已知其中 3 塊的塊的ABCDCEDF 面積分別為面積分別為 2 5 8 平方厘米 那么余下的四邊形平方厘米 那么余下的四邊形的面積為的面積為 平方厘米 平方厘米 OFBC 8 5 2 O AB CD EF 8 5 2 O AB CD EF 解析 連接 四邊形為梯形 所以 又根據(jù)蝴蝶定理 DECFEDCF EODFOC SS A 所以 所以 平方厘米 EODFOCEOFCOD SSSS 2 816 EODFOCEOFCOD SSSS 4 EOD S 平方厘米 那么長方形的面積為平方厘米 四邊形的面4812 ECD S ABCD12224 OFBC 積為 平方厘米 245289 例例 22 98 迎春迎春杯初賽杯初賽 如圖 長方形如圖 長方形中 中 是直角三角形且面積為是直角三角形且面積為 54 的長是的長是 16 的的ABCDAOBODOB 長是長是 9 那么四邊形 那么四邊形的面積是的面積是 OECD 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 13 of 17 A BC D E O A BC D E O 解析 解法一 連接 依題意 所以 DE 11 954 22 AOB SBOAOAO A 12AO 則 11 16 1296 22 AOD SDOAO A 又因?yàn)?所以 1 5416 2 AOBDOE SSOE AA 3 6 4 OE 得 1133 9630 2248 BOE SBOEO A 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS AAAA 解法二 由于 所以 而 根據(jù) 16 9 AODAOB SSOD OB AA 16 5496 9 AOD S A 54 DOEAOB SS AA 蝴蝶定理 所以 BOEAODAOBDOE SSSS AAAA 3 54549630 8 BOE S A 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS AAAA 例例 23 如圖 如圖 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 是正方形 線段是正方形 線段與與相交于相交于點(diǎn) 已知正方形點(diǎn) 已知正方形ABC DEFGABCDK 的面積的面積 48 則 則的面積是多少 的面積是多少 DEFG 1 3AK KB BKD K G FE D CB A M K G FE D CB A 解析 由于是正方形 所以與平行 那么四邊形是梯形 在梯形中 DEFGDABCADBCADBC 和的面積是相等的 而 所以的面積是面積的 BDK ACK 1 3AK KB ACK ABC 11 134 那么的面積也是面積的 BDK ABC 1 4 由于是等腰直角三角形 如果過作的垂線 為垂足 那么是的中點(diǎn) 而且ABC ABCMMBC 可見和的面積都等于正方形面積的一半 所以的面積與正AMDE ABM ACM DEFGABC 方形的面積相等 為 48 DEFG 那么的面積為 BDK 1 4812 4 例例 24 如圖所示 如圖所示 是梯形 是梯形 面積是面積是 的面積是的面積是 9 的面積是的面積是 27 那么 那么ABCDADE 1 8ABF BCF 陰影陰影面積是多少 面積是多少 AEC 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 14 of 17 F E D C B A 解析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 可以得到 而 等積變換 所以可得 AFBDFCAFDBFC SSSS AFBDFC SS 99 3 27 AFBCDF AFD BFC SS S S 并且 而 3 1 81 2 AEFADFAED SSS 9 271 3 AFBBFC SSAF FC 所以陰影的面積是 AEC 41 244 8 AECAEF SS 例例 25 如圖 正六邊形面積為如圖 正六邊形面積為 那么陰影部分面積為多少 那么陰影部分面積為多少 6 2 2 4 1 2 2 4 1 解析 連接陰影圖形的長對角線 此時六邊形被平分為兩半 根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì) 和梯形蝴蝶定理把 六邊形分為十八份 陰影部分占了其中八份 所以陰影部分的面積 88 6 183 例例 26 如圖 已知如圖 已知是是中點(diǎn) 中點(diǎn) 是是的中點(diǎn) 的中點(diǎn) 是是的中點(diǎn) 三角形的中點(diǎn) 三角形由由 這這 6 部分部分DBCECDFACABC 組成 其中組成 其中 比比 多多 6 平方厘米 那么三角形平方厘米 那么三角形的面積是多少平方厘米 的面積是多少平方厘米 ABC B F ED C A 解析 因?yàn)槭侵悬c(diǎn) 為中點(diǎn) 有且平行于 則四邊形為梯形 在梯形EDCFAC2ADFE ADADEF 中有 4 又已知 6 所以 ADEF 2 AD 2 FE 所以 16 而 所以 4 梯形的面6 41 2 48 ADEF 積為 四塊圖形的面積和 為 有與的面積比為平844218 CEFAADCACE 方與平方的比 即為 1 4 所以面積為梯形面積的 即為 因CDADCAADEF 4 4 1 4 3 4 1824 3 為是中點(diǎn) 所以與的面積相等 而的面積為 的面積和 DBCABDAADCAABCAABDAADCA 即為平方厘米 三角形的面積為 48 平方厘米 242448 ABC 例例 27 如圖 在一個邊長為如圖 在一個邊長為 6 的正方形中 放入一個邊長為的正方形中 放入一個邊長為 2 的正方形 保持與原正方形的邊平行 現(xiàn)在的正方形 保持與原正方形的邊平行 現(xiàn)在 分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形的兩個頂點(diǎn) 形成了圖中的陰影圖形 那么陰影部分的面分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形的兩個頂點(diǎn) 形成了圖中的陰影圖形 那么陰影部分的面 積為積為 4 2 3 任意四邊形 梯形與相似模型 題庫 page 15 of 17 解析 本題中小正方形的位置不確定 所以可以通過取特殊值的方法來快速求解 也可以采用梯形蝴蝶定 理來解決一般情況 解法一 取特殊值 使得兩個正方形的中心相重合 如右圖所示 圖中四個空白三角形的高均為 因此空白處的總面積為 陰影部分的面積為 1 56 1 5242222 662214 解法二 連接兩個正方形的對應(yīng)頂點(diǎn) 可以得到四個梯形 這四個梯形的上底都為 2 下底都為 6 上底 下底之比為 根據(jù)梯形蝴蝶定理 這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面2 61 3 積之比為 所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的 陰影部分 22 1 1 3 1 3 31 3 3 9 9 16 的面積占該梯形面積的 所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的 那么陰影部分的面 7 16 7 16 積為 22 7 62 14 16 例例 28 如圖 在正方形如圖 在正方形中 中 分別在分別在與與上 且上 且 連接 連接 ABCDEFBCCD2CEBE 2CFDF BF 相交于點(diǎn) 相交于點(diǎn) 過 過作作 得到兩個正方形得到兩個正方形和和 設(shè)正方形 設(shè)正方形的面積的面積DEGGMNPQMGQAPCNGMGQA 為為 正方形 正方形的面積為的面積為 則 則 1 SPCNG 2 S 12 SS Q P NM A BC D E F G Q P NM A BC D E F G 解析 連接 設(shè)正方形邊長為 3 則 所以 BDEFABCD2CECF 1BEDF 因?yàn)?所以 由梯 222 228EF 222 3318BD 222 8 1814412EFBD 12EF BD 形蝴蝶定理 得 22 8 18 12 124 9 6 6 GEFGBDDGFnBGE SSSSEFBDEF BD EF BD 所以 因?yàn)?66 496625 BGEBDFEBDFE SSS 梯形梯形 9 3 32 2 BCD S 2222 CEF S 所以 所以 5 2 BCDCEFBDFE SSS 梯形 653 2525 BGE S 由于底邊上的高即為正方形的邊長 所以 BGE BEPCNG 36 21 55 CN 69 3 55 ND 所以