非線性方程(組)的求解.ppt

第4章非線性方程 組 的求解 4 1二分法4 2簡單迭代法4 3Newton法4 4拋物線法4 5非線性方程組的求解4 6實(shí)例解析 本章目標(biāo) 求f x 0的根 4 1二分法 原理 若f C a b 且f a f b 0 則f在 a b 上必有一根 x1 x2 a b x bisect m 誤差分析 第k步產(chǎn)生的xk有誤差 對于給定的精度 可估計(jì)二分法所需的步數(shù)k 優(yōu)點(diǎn) 簡單 對f x 要求不高 只要連續(xù)即可 缺點(diǎn) 無法求復(fù)根及偶重根 收斂慢 注 用二分法求根 最好先給出f x 草圖以確定根的大概位置 或用搜索程序 將 a b 分為若干小區(qū)間 對每一個滿足f ak f bk 0的區(qū)間調(diào)用二分法程序 可找出區(qū)間 a b 內(nèi)的多個根 且不必要求f a f b 0 多用于為其它求根方法提供初始近似值 試位法為了加快二分法根的收斂速度 這里再介紹一種方法 試位法 試位法的一般執(zhí)行過程見下面動畫 a b 2 x a f a b f b test bit m f x 0 x g x f x 的根 g x 的不動點(diǎn) 思路 從一個初值x0出發(fā) 計(jì)算x1 g x0 x2 g x1 xk 1 g xk 若收斂 即存在x 使得 且g連續(xù) 則由可知x g x 即x 是g的不動點(diǎn) 也就是f的根 逐次逼近 將隱式方程歸結(jié)為顯式計(jì)算 4 2簡單迭代法 fixpt m 原理 將非線性方程線性化 Taylor展開 取x0 x 將f x 在x0做一階Taylor展開 在x0和x之間 將 x x0 2看成高階小量 則有 線性 linear 只要f C1 每一步迭代都有f xk 0 而且 則x 就是f的根 切線法 4 3Newton法 newton m 牛頓下山法 Newton sMethod局部微調(diào) 原理 若由xk得到的xk 1不能使 f 減小 則在xk和xk 1之間找一個更好的點(diǎn) 使得 注 1時就是Newton sMethod公式 當(dāng) 1代入效果不好時 將 減半計(jì)算 newton down m 割線法 Newton sMethod一步要計(jì)算f和f 相當(dāng)于2個函數(shù)值 比較費(fèi)時 現(xiàn)用差商 f的值 近似f 可少算一個函數(shù)值 切線 割線 切線斜率 割線斜率 需要2個初值x0和x1 收斂比Newton sMethod慢 且對初值要求同樣高 secant m 4 4拋物線法 拋物線法是過曲線上的三點(diǎn)作一條拋物線 用拋物線與x軸的一個交點(diǎn)來作為f x 0與x軸交點(diǎn) 拋物線方法亦稱為Muller方法 拋物線法的迭代公式為 其中 parabola m 4 5非線性方程組的求解 非線性方程組可以看作非線性方程的推廣 而非線性方程就是非線性方程組的特例 非線性方程組的一般數(shù)學(xué)描述為 為敘述方便 記 這樣上述方程組即可寫為 對于方程組的求解仍可以用牛頓法求解 newtong m 非線性方程的MATLAB函數(shù)求解1 fzero 函數(shù)MATLAB優(yōu)化工具箱提供的fzero 函數(shù)是專門用于求解單變量非線性方程根的函數(shù) 該函數(shù)的調(diào)用格式為 x fval exitflag output fzero fun x0 options p1 p2 其中 fun表示函數(shù)表達(dá)式 x0是初始值 可以是標(biāo)量或長度為2的向量 options是設(shè)置的過程參數(shù) 它主要包括Display和TolX兩個選項(xiàng) options選項(xiàng)可以通過函數(shù)optimset來設(shè)定 p1 p2 是函數(shù)表達(dá)式中附加的參數(shù) x是返回的根 fval是根x處的目標(biāo)函數(shù)的值 exitflag表明解存在的情況 正數(shù)表明解存在 負(fù)數(shù)表示解不存在 遇到復(fù)數(shù) NaN或者無窮大等 Output包含計(jì)算過程中的信息 它是一個結(jié)構(gòu)體 output algorithm是所選用的算法 output funcCount是函數(shù)賦值次數(shù) output iterations是迭代次數(shù) 2 fsolve 函數(shù)MATLAB最優(yōu)化工具箱提供的fsolve 函數(shù)是專門用來求解多元方程的實(shí)數(shù)根的函數(shù) 它的調(diào)用格式如下 x fval exitflag out