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第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法 第五章 一 頻率特性 1 頻率特性 考察一個系統(tǒng)的好壞 通常用階躍信號輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能 有時也用正弦信號輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析 但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率的正弦信號輸入時的瞬態(tài)響應(yīng) 而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦信號輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 因此 這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)的概念 問題 對于線性定常系統(tǒng) 輸入是正弦信號 輸出信號的穩(wěn)態(tài)值 在正弦信號作用下 系統(tǒng)響應(yīng)特性 在不同頻率正弦信號作用下 系統(tǒng)響應(yīng)特性 頻率特性的概念 線性定常系統(tǒng) 當(dāng)輸入為正弦信號時 其輸出的穩(wěn)態(tài)分量一定是同頻率的正弦信號 當(dāng)然 正弦信號的幅值和相位會有所不同 且幅值比與相位差均是頻率的函數(shù) 定義 對于線性定常系統(tǒng) 在正弦信號的作用下 輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比 稱為系統(tǒng)的頻率特性 討論正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)的一般規(guī)律 先看一個熟悉的例子 請注意輸入輸出信號之間幅值與相位的關(guān)系 并將之與傳遞函數(shù)對照 不難發(fā)現(xiàn) 輸出的穩(wěn)態(tài)信號與輸入信號相比 傳遞函數(shù) 輸入 輸出的穩(wěn)態(tài) 問題 這一結(jié)論是巧合還是必然 結(jié)論是肯定的 另一方面 令傳遞函數(shù)中則 幅值比 放大倍數(shù) 相位差 超前角 證明 設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)輸入為諧波信號即系統(tǒng)輸出的拉氏變換為其中sk k 3 4 的實部為負數(shù) 且 因為系統(tǒng)穩(wěn)定 輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量為 證明 去掉中間過程 設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)系統(tǒng)輸入為諧波信號系統(tǒng)輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量為兩相對照立即可得于是 依定義 系統(tǒng)的頻率特性是這就是要證的結(jié)論 頻率特性的傅氏定義 穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比 性質(zhì) G j 是G s 中令s j 所得的復(fù)向量 頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型 頻率特性的三種表示方法 指數(shù)形式 三角式 代數(shù)式 U G j 的實部 實頻特性V G j 的虛部 虛頻特性 頻率特性物理意義明確 在工程應(yīng)用中很廣泛 獲取方便 試驗方法 頻率特性是從正弦的穩(wěn)態(tài)相應(yīng)求出的 但表示的是系統(tǒng)的動態(tài)特性 頻率特性是指時的頻率響應(yīng) 在某一頻率下的響應(yīng)不能表示系統(tǒng)的動態(tài)特性 從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)測頻率特性 給試驗獲取頻率特性提供了方便 但不穩(wěn)定系統(tǒng)頻率特性是觀察不到的 微分方程 傳遞函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性之間的關(guān)系如下 結(jié)論 當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用jw代替時 傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性 反之亦然 例子 設(shè)傳遞函數(shù)為 微分方程為 頻率特性為 頻率特性可以寫成復(fù)數(shù)形式 也可以寫成指數(shù)形式 其中 為實頻特性 為虛頻特性 為幅頻特性 為相頻特性 在控制工程中 頻率分析法常常是用圖解法進行分析和設(shè)計的 因此有必要介紹常用的頻率特性的四種圖解表示 幅頻特性 相頻特性曲線極坐標頻率特性曲線 又稱奈魁斯特Nyquist曲線 對數(shù)頻率特性曲線 又稱波德Bode圖 對數(shù)幅相特性曲線 又稱尼柯爾斯Nichols圖 2 頻率特性的幾何表示法 1 幅頻特性 相頻特性曲線 2 極坐標頻率特性曲線 又稱奈魁斯特曲線 它是在復(fù)平面上用一條曲線表示由時的頻率特性 即用矢量的端點軌跡形成的圖形 是參變量 在曲線的上的任意一點可以確定實頻 虛頻 幅頻和相頻特性 極坐標圖是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標橫坐標 以其虛部為縱坐標 以w為參變量畫出幅值與相位之間的關(guān)系 根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系 可知 頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G s 平面上的映射 由于幅頻特性是w的偶函數(shù) 而相頻特性是w的奇函數(shù) 所以當(dāng)w從0 的頻率特性曲線和w從 0的頻率特性曲線是對稱于實軸的 極坐標圖的優(yōu)點是可在一張圖上繪出整個頻率域的頻率響應(yīng)特性 缺點是不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個典型環(huán)節(jié)的作用 3 對數(shù)頻率特性曲線 波德圖 Bode圖 Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成 波德圖坐標 橫坐標是頻率 縱坐標是幅值和相角 的分度 橫坐標 稱為頻率軸 分度 它是以頻率w的對數(shù)值logw進行線性分度的 但為了便于觀察仍標以w的值 因此對w而言是非線性刻度 w每變化十倍 橫坐標變化一個單位長度 稱為十倍頻程 或十倍頻 用dec表示 類似地 頻率w的數(shù)值變化一倍 橫坐標就變化0 301單位長度 稱為 倍頻程 用oct表示 如下圖所示 由于w以對數(shù)分度 所以零頻率點在 處 更詳細的刻度如下圖所示 縱坐標分度 對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標以L w 20logA w 表示 其單位為分貝 dB 直接將20logA w 值標注在縱坐標上 相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上 使用同一個橫坐標 頻率軸 當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時 通常將它稱為增益 幅值和增益的關(guān)系為 增益 20log 幅值 使用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點 可以展寬頻帶 頻率是以10倍頻表示的 因此可以清楚的表示出低頻 中頻和高頻段的幅頻和相頻特性 可以將乘法運算轉(zhuǎn)化為加法運算 所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線 漸近線 近似表示 對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標表示 并用分段直線近似的方法 可以很容易的寫出它的頻率特性表達式 RC網(wǎng)絡(luò)中取 其對數(shù)頻率特性曲線如圖所示 一階RC網(wǎng)絡(luò)的伯德圖 4 對數(shù)幅相特性曲線 又稱尼柯爾斯圖 尼柯爾斯圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線 橫坐標為相角特性 單位度或弧度 縱坐標為對數(shù)幅頻特性 單位分貝 橫 縱坐標都是線性分度 二 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性 典型環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié) 1 Ts 1 式中T 0 一階微分環(huán)節(jié) Ts 1 式中T 0 振蕩環(huán)節(jié) 1 s n 2 2 s n 1 式中 n 0 0 1 比例環(huán)節(jié) K K 0 積分環(huán)節(jié) 1 s 純微分環(huán)節(jié) s 二階微分環(huán)節(jié) s n 2 2 s n 1 式中 n 0 0 1 最小相位環(huán)節(jié) 零 極點在源點或S平面左半平面 最小相位系統(tǒng)非與最小相位系統(tǒng) 最小相位傳遞函數(shù) 非最小相位傳遞函數(shù) 在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù) 在右半s平面內(nèi)有極點和 或 零點的傳遞函數(shù) 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng) 具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng) 非最小相位環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié) K K0 一階微分環(huán)節(jié) Ts 1 式中T 0 振蕩環(huán)節(jié) 1 s n 2 2 s n 1 式中 n 0 00 0 1 延遲環(huán)節(jié) K 1 比例環(huán)節(jié) 1 典型環(huán)節(jié)的極坐標圖 比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點 頻率特性 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸 頻率w從0 特性曲線由虛軸的 趨向原點 若考慮負頻率部分 當(dāng)頻率w從 0 特性曲線由虛軸的原點趨向 3 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 極坐標圖是一個圓 對稱于實軸 證明如下 整理得 下半個圓對應(yīng)于正頻率部分 而上半個圓對應(yīng)于負頻率部分 實頻 虛頻 幅頻和相頻特性分別為 討論時的情況 當(dāng)K 1時 頻率特性為 4 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 當(dāng)時 曲線在3 4象限 當(dāng)時 與之對稱于實軸 實際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān) 由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng) 其圖形的基本形狀是相同的 當(dāng)時 有諧振峰值 微分環(huán)節(jié)有三種 純微分 一階微分和二階微分 傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 5 微分環(huán)節(jié)的頻率特性 純微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸 頻率w從0 特性曲線由原點趨向虛軸的 一階微分 一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸的直線 頻率w從0 特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位 二階微分環(huán)節(jié) 幅頻和相頻特性為 極坐標圖是一個圓心在原點 半徑為1的圓 6 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性 傳遞函數(shù) 頻率特性 幅頻特性 相頻特性 2 開環(huán)系統(tǒng)極坐標頻率特性的繪制 繪制奈氏圖 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián) 開環(huán)頻率特性 系統(tǒng)開環(huán)幅頻和相頻分別為 系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖是當(dāng)從變化 頻率特性向量端點的運行軌跡 繪制極坐標圖當(dāng)然可以選一些頻率點 逐點計算的幅值和相角 然后用光滑曲線連接起來 然而 這樣作極坐標圖非常麻煩 且沒有必要 事實上 只需要作概略圖即可 作極坐標概略圖的基本方法步驟 1 確定起始點和終止點 極坐標圖與負實軸的交點至關(guān)重要 與虛軸和正實軸的交點則不那么重要 甚至可以不求 2 確定極坐標圖與實軸和虛軸的交點 3 確定角度變化范圍 例1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制它的幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點為 1 開環(huán)幅相曲線的起點為 2 與實軸交點 令虛部等于零得到 與虛軸交點 令實部等于零得到 3 確定角度變化范圍 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點為 1 開環(huán)幅相曲線的起點為 例 2某零型控制系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相圖 2 與實軸交點 令虛部等于零得到 與虛軸交點 令實部等于零得到 3 確定角度變化范圍 例3 某單位反饋系統(tǒng) 其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點為 1 開環(huán)幅相曲線的起點為 2 與實軸交點 令虛部等于零得到 3 確定角度變化范圍 例4 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制它的幅相曲線 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 開環(huán)幅相曲線的終點為 1 開環(huán)幅相曲線的起點為 2 與實軸的交點 變化范圍 開環(huán)幅相曲線位于第 象限或第 與第 象限 開環(huán)幅相曲線位于第 與第 象限 3 確定角度變化范圍 對數(shù)幅頻特性 相頻特性 3 典型環(huán)節(jié)的波德圖 頻率特性 可見斜率為 20dB dec 2 積分環(huán)節(jié)的頻率特性 對數(shù)幅頻特性 為了圖示簡單 采用分段直線近似表示 方法如下 低頻段 當(dāng)時 稱為低頻漸近線 高頻段 當(dāng)時 稱為高頻漸近線 這是一條斜率為 20dB Dec的直線 表示每增加10倍頻程下降20分貝 當(dāng)時 對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線 當(dāng)時 趨近于高頻漸近線 低頻高頻漸近線的交點為 得 稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率 可以用這兩段漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性 3 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 圖中 紅 綠線分別是低頻 高頻漸近線 藍線是實際曲線 波德圖誤差分析 實際頻率特性和漸近線之間的誤差 當(dāng)時 誤差為 當(dāng)時 誤差為 最大誤差發(fā)生在處 為 相頻特性 作圖時先計算幾個特殊點 由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于 w0 45 點是斜對稱的 這是對數(shù)相頻特性的一個特點 當(dāng)時間常數(shù)T變化時 對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變 僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1 T的大小整條曲線向左或向右平移即可 而當(dāng)增益改變時 相頻特性不變 幅頻特性上下平移 4 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 討論時的情況 頻率特性為 幅頻特性為 相頻特性為 對數(shù)幅頻特性為 低頻段漸近線 高頻段漸近線 兩漸近線的交點稱為轉(zhuǎn)折頻率 w w0后斜率為 40dB Dec 由圖可見 對數(shù)幅頻特性曲線有峰值 對求導(dǎo)并令等于零 可解得的極值對應(yīng)的頻率 該頻率稱為諧振峰值頻率 可見 諧振峰值頻率與阻尼系數(shù)z有關(guān) 當(dāng)時 當(dāng)時 無諧振峰值 當(dāng)時 有諧振峰值 當(dāng) 因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實際曲線可能有很大的誤差 由幅頻特性 幅值與的關(guān)系 左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖 上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線 當(dāng)0 3 z 0 8 誤差約為 4dB 相頻特性 幾個特征點 相頻特性曲線在半對數(shù)坐標中關(guān)于 w0 90 點是斜對稱的 這里要說明的是當(dāng)時 當(dāng)時 此時若根據(jù)相頻特性的表達式用計算器來計算只能求出 90 之間的值 tg 1函數(shù)的主值范圍 也就是說當(dāng)時 用計算器計算的結(jié)果要經(jīng)過轉(zhuǎn)換才能得到 即當(dāng)時 用計算器計算的結(jié)果要減180 才能得到 或用下式計算 5 微分環(huán)節(jié)的頻率特性 微分環(huán)節(jié)有三種 純微分 一階微分和二階微分 傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 純微分 一階微分 這是斜率為 20dB Dec的直線 低 高頻漸近線的交點為 相頻特性 幾個特殊點如下 相角的變化范圍從0到 一階微分環(huán)節(jié)的波德圖 慣性環(huán)節(jié)的波德圖 幅頻和相頻特性為 二階微分環(huán)節(jié) 低頻漸近線 高頻漸近線 轉(zhuǎn)折頻率為 高頻段的斜率 40dB Dec 6 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性 傳遞函數(shù) 頻率特性 幅頻特性 相頻特性 對數(shù)幅頻特性 4 開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標頻率特性的繪制 繪制波德圖 開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為 寫成時間常數(shù)形式 幅頻特性 相頻特性 由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法 先畫出每一個典型環(huán)節(jié)的波德圖 然后各圖相加 例 開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試畫出該系統(tǒng)的波德圖 解 該系統(tǒng)由四個典型環(huán)節(jié)組成 一個比例環(huán)節(jié) 一個積分環(huán)節(jié)兩個慣性環(huán)節(jié) 手工將它們分別畫在一張圖上 然后 在圖上相加 實際上 畫波德圖不用如此麻煩 注意到 幅頻曲線由折線 漸進線 組成 在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率 確定和各轉(zhuǎn)折頻率 并將這些頻率按小大順序依次標注在頻率軸上 確定低頻漸進線 就是第一條折線 其斜率為 過點 1 20logk 實際上是k和積分的曲線 具體步驟如下 將頻率特性寫為時間常數(shù)形式 高頻漸進線的斜率為 20 n m dB dec 相頻特性還是需要點點相加 才可畫出 2 低頻漸進線 斜率為 過點 1 20 3 波德圖如下 紅線為漸進線 蘭線為實際曲線 解 1 2 低頻漸進線斜率為 過 1 60 點 4 畫出波德圖如下頁 3 高頻漸進線斜率為 紅線為漸進線 蘭線為實際曲線 例 具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為 試畫出波德圖 解 可見 加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變 相位特性滯后了 例 已知 畫出其對數(shù)坐標圖 解 將傳函寫成時間常數(shù)形式 這可以看作是由五個典型環(huán)節(jié)構(gòu)成的 求20lgK 20dB 注意轉(zhuǎn)折頻率是時間常數(shù)的倒數(shù) 列表 w w L w j w 200 相頻特性 最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應(yīng) 只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 如 最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示 請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解 由圖知在低頻段漸近線斜率為0 故系統(tǒng)為0型系統(tǒng) 漸近特性為分段線性函數(shù) 在各交接頻率處 漸近特性斜率發(fā)生變化 在 0 1處 斜率從0dB dec變?yōu)?0dB dec 屬于一階微分環(huán)節(jié) 在 1處 斜率從20dB dec變?yōu)?dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 2處 斜率從0dB dec變?yōu)?20dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 3處 斜率從 20dB dec變?yōu)?40dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 在 4處 斜率從 40dB dec變?yōu)?60dB dec 屬于慣性環(huán)節(jié) 因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式 式中K 1 2 3 4待定 由20lgK 30得K 31 62 確定 1 確定 4 4 82 54 確定 2 于是 所求的傳遞函數(shù)為 1 0 316 確定 3 3 34 81 2 3 481 三 頻域穩(wěn)定判據(jù) 1 引言 閉環(huán)穩(wěn)定性 勞斯判據(jù) 穩(wěn)定程度 奈氏判據(jù) 用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定 穩(wěn)定度動態(tài)性能 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性 而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念 討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 指出改善系統(tǒng)性能的途徑 設(shè)F s 為單值連續(xù)的復(fù)變函數(shù) 幅角原理 F s 曲線從B點開始 繞原點順時針方向轉(zhuǎn)了一圈 F s B 在s平面上任選一點A通過映射 F s 平面上F A 設(shè) s只包圍zi 不包圍也不通過任何極點和其他零點 從A點出發(fā)順時針轉(zhuǎn)一周回到A S平面封閉曲線順時針包圍F s 個極點F s 平面F s 曲線逆時針圍繞原點轉(zhuǎn)周 S平面封閉曲線順時針包圍F s 個零點F s 平面F s 曲線順時針圍繞原點轉(zhuǎn)周 一 一 n n S平面曲線順時針包圍F s P個極點 Z個零點 F s 平面F s 曲線逆時針圍繞原點的周數(shù)N P Z 一 一 n n 映射定理 當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時針移動一周 在F s 平面上的映射曲線逆時針包圍坐標原點P Z周 設(shè)F s 是復(fù)變量s的一個單值解析函數(shù) s平面上的封閉曲線包圍了F s 的P個極點和Z個零點 且此曲線不經(jīng)過F s 的任一零點和極點 閉環(huán)極點與開環(huán)極點的關(guān)系 設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 為前向通道傳遞函數(shù) 為反饋通道傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 如下圖所示 令 顯然 輔助方程即是閉環(huán)特征方程 其階數(shù)為n階 且分子分母同階 則輔助方程可寫成以下形式 式中 為F s 的零 極點 由 a b 及 c 式可以看出 F s 的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點 F s 的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點和閉環(huán)極點與F s 的零極點之間的直接聯(lián)系 2 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 對于一個控制系統(tǒng) 若其特征根處于s右半平面 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 對于上面討論的輔助方程 其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點 因此 只要搞清F s 的的零點在s右半平面的個數(shù) 就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論 如果F s 的右半零點個數(shù)為零 則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 因此開環(huán)頻率特性是已知的 輔助方程也已知 設(shè)想 如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面 則根據(jù)柯西幅角原理知 該封閉曲線在F s 平面上的映射包圍原點的次數(shù)應(yīng)為 N F s 的右半極點數(shù) F s 的右半零點數(shù) 開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù) 當(dāng)已知開環(huán)右半極點數(shù)時 便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù) 1 G s H s 在虛軸上沒有零 極點的情況 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 按順時針方向做一條曲線包圍整個s右半平面 這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑 如下圖所示 分為三部分 正虛軸 GH即Nyquist圖 負虛軸 該段 GH與Nyquist圖關(guān)于實軸對稱 右半平面上半徑為無窮大的半圓 負號表示順時針 當(dāng)時 GH映射為一點 不用單獨畫出 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) Nyquist 1 系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)s沿 s順時針旋轉(zhuǎn)一圈時 s在GH平面上的映射曲線 GH 當(dāng) 不經(jīng)過 1 j0 點 且 GH繞 1 j0 點逆時針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)R等于系統(tǒng)在S右半平面內(nèi)的開環(huán)極點個數(shù)P 2 當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時 右半平面的閉環(huán)極點個數(shù)為Z P R 例 開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右 在s右半平面的極點數(shù)為0 繞 1 j0 點的圈數(shù)N 0 則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù) 故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 作為對比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為 由勞斯 赫爾維茨判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 例 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 開環(huán)極點為 1 1j2 都在s左半平面 所以 奈氏圖如右 從圖中可以看出 奈氏圖順時針圍繞 1 j0 點2圈 所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為 所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 例 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試用奈氏穩(wěn)定性判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時k的取值范圍 解 與實軸的交點 當(dāng)K 52時 開環(huán)極點為 1 1 j2 都在s左半平面 所以P 0 奈氏圖如右 從圖中可以看出 奈氏圖順時針圍繞 1 j0 點2圈 所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為 Z N P 2 閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 若要系統(tǒng)穩(wěn)定 則 即K 16時 奈氏圖不圍繞 1 j0 點 當(dāng)K 1 則要求K 5 于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為 5 K 16 上述結(jié)論同樣可由勞思 赫爾維茨判據(jù)得到 勞斯陣 要使系統(tǒng)穩(wěn)定 則第一列都大于0 于是得 5 K 16 解 系統(tǒng)的頻率特性如下 解 開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為k 2 圓心在 k 2 0 的圓 顯然 k 1時 包圍 1 j0 點 k 1時不包圍 1 j0 點 由圖中看出 當(dāng)k 1時 奈氏曲線逆時針包圍 1 j0 點一圈 N 1 而 則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當(dāng)K 1時 奈氏曲線通過 1 j0 點 屬臨界穩(wěn)定狀態(tài) 當(dāng)K 1時 奈氏曲線不包圍 1 j0 點 N 0 P 1 所以Z N P 1 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 2 G s H s 在虛軸上有積分環(huán)節(jié)的情況 從Nyquist曲線起點處逆時針補畫一個四分之一圓弧 從Nyquist曲線起點處逆時針補畫兩個四分之一圓弧 例 設(shè) 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示 開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 解 顯然這是 型系統(tǒng) 先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線 從圖上看出 映射曲線順時針包圍 1 j0 一圈 逆時針包圍 1 j0 一圈 所以N 1 1 0 而 故 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 例 某 型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示 且s右半平面無極點 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性 解 首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線 如右圖 從圖上可以看出 映射曲線順時針包圍 1 j0 兩圈 因 所以 閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟 確定開環(huán)右極點數(shù)P 畫出開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖 包括正負頻率及s平面中特定路徑在Gk s 平面的映射 確定N 計算Z P N 當(dāng)Z 0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng)Z 0時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng)Z 0時計算有誤 Nyquist判據(jù)的另一種形式 四 在對數(shù)坐標圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖 奈氏圖 和對數(shù)坐標圖 波德圖 有如下的對應(yīng)關(guān)系 1 奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的零分貝線 2 奈氏圖上的負實軸對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的 180度相位線 奈氏圖頻率特性曲線在上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應(yīng)關(guān)系 在對數(shù)坐標圖上的范圍內(nèi) 當(dāng)增加時 相頻特性曲線從下向上穿過 180度相位線稱為正穿越 因為相角值增加了 反之稱為負穿越 對照圖如下 對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下 設(shè)開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點數(shù)為P 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 對數(shù)坐標圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi) 當(dāng)頻率增加時 對數(shù)相頻特性對 180度線的正負穿越次數(shù)差為P 2 閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點數(shù)為 式中為正負穿越次數(shù)差 若Z 0 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 若Z 0 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 5 4頻域穩(wěn)定裕度 當(dāng)頻率特性曲線穿過 1 j0 點時 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 這時 對于最小相位系統(tǒng) 可以用和來表示頻率特性曲線接近 1 j0 點的程度 或稱為穩(wěn)定裕度 穩(wěn)定裕度越大 穩(wěn)定性越好 穩(wěn)定裕度的定義 穩(wěn)定裕度的定義 幅值裕度 相角裕度 顯然 當(dāng)時 即和時 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 否則是不穩(wěn)定的 對于最小相位系統(tǒng) 和是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的 所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度 常用相角裕度 幅值穩(wěn)定裕度物理意義 穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍 奈氏圖 或增加分貝 波德圖 則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 若增加的倍數(shù)大于倍 或分貝 則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定 比如 若增加開環(huán)放大系數(shù)K 則對數(shù)幅頻特性曲線將上升 而相