基金使用計劃.doc

建模實例：基金使用計劃模型某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金, 打算將其存入銀行或購買國庫券. 當前銀行存款及各期國庫券的利率見表3-17. 假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次, 發(fā)行時間不定. 取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策.?；饡媱澰趎年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生, 要求每年的獎金額大致相同, 且在n年末仍保留原基金數(shù)額. 校基金會希望獲得最佳的基金使用計劃, 以提高每年的獎金額. 請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案, 并對M = 5000萬元, n = 10年給出具體結(jié)果： 只存款不購國庫券； 可存款也可購國庫券； 學校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶, 基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%.表 3-17銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14摘要本文研究了關(guān)于基金使用計劃的問題，主要目的在于設(shè)計資金的合理安排方法，實現(xiàn)在一定條件下，使用有限的資金合理投資，達到最大的利潤。并且我們建立了相應(yīng)的數(shù)學模型對該問題進行分析求解。對于第一問，我們在不影響?yīng)剬W金發(fā)放的情況下，對利率較小的銀行存款進行排除，對每年的資金來源進行分析，列出所有可能發(fā)生的情況，然后建立一個線性方程組，求出最大獎學金額度，方程組如下：使用軟件對其進行編程求解，最后的得出最大獎學金額數(shù)為。然而對于第二問，情況與第一問相似，但是又存在不同點，校方允許了購買國庫券這種投資方式。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，由于國庫券的發(fā)行不穩(wěn)定，會產(chǎn)生三種不同的情況。所以我們對這三種情況分別進行分析，運用第一題的思路，根據(jù)題目要求同樣建立了一個線性方程組（具體方程組見下文）。同樣也是使用軟件對其進行編程求解。最后得出在第一種情況下，校方每年能夠發(fā)放的最大獎學金額數(shù)為；而第二種方案的最大獎學金額數(shù)為；最后第三種方案的最大獎學金額數(shù)為第三問比較簡單，校方要求第三年的獎金能夠多出，但是因為沒有規(guī)定是只存款不購國庫券還是可存款也可購國庫券，所以又要分成兩個情況去討論。我們對第一問和第二問中的方程組加以改進（改進方案見下文），將方程組中第三年支出的獎金額數(shù)上調(diào)，就能夠得到滿意的答案。最后，還是通過使用軟件對其進行編程求解，在第一種情況下，得出的最大獎學金額數(shù)為，而第三年百年校慶時的獎學金為；而在第二種情況下，得出的最大獎學金額數(shù)為，而第三年百年校慶時的獎學金為。關(guān)鍵詞：線性方程組 求解 最優(yōu)化方案 問題的重述某校基金會有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。?；饡媱澰趎年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。校基金會希望獲得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦碌那闆r下設(shè)計出基金的最合理的使用方案，并且對于給出具體結(jié)果： 1、只存款不購國庫券；2、可存款也可購國庫券。3、學校在基金到位后的第年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多。銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14 基本假設(shè)假設(shè)學?；鹪诘谝荒瓿醯轿?；假設(shè)學校每年發(fā)放獎金的時間都是在每年末；假設(shè)通貨膨脹率忽略不計；假設(shè)每次都能按需購買到國庫券；假設(shè)銀行儲蓄年利率和國庫券年利率在十年內(nèi)基本不變；假設(shè)國庫券每次發(fā)行都有二年期、三年期、五年期. 符號說明M表示基金數(shù)； A表示每年發(fā)放的獎金額；xi0表示第i年用于活期存款的資金； r0表示活期存款的稅后年利率；xi1表示第i年用于半年期存款的資金； r1表示半年期存款的稅后年利率；xi2表示第i年用于一年期存款的資金； r2表示一年期存款的稅后年利率；xi3表示第i年用于二年期存款的資金； r3表示二年期存款的稅后年利率；xi4表示第i年用于三年期存款的資金； r4表示三年期存款的稅后年利率；xi5表示第i年用于五年期存款的資金； r5表示五年期存款的稅后年利率；yi1表示第i年用于購買二年期國庫券的資金；R1表示二年期國庫券的年利率；yi2表示第i年用于購買三年期國庫券的資金；R2表示三年期國庫券的年利率；yi3表示第i年用于購買五年期國庫券的資金；R3表示五年期國庫券的年利率；其余符號在文中直接說明. 銀行法規(guī)和國庫券政策說明根據(jù)1992年國務(wù)院頒發(fā)的儲蓄管理條例和國庫券條例有以下規(guī)定： 我國現(xiàn)行儲蓄存款利息計算一般是以單利計算； 半年活期按180天計算； 未到期的定期儲蓄存款, 全部提前支取的, 按支取日掛牌公告的活期儲蓄存款利率計付利息；部分提前支取的, 提前支取部分按支取日掛牌公告的活期儲蓄存款利率計付利息, 其余部分到期時按存單開戶日掛牌公告的定期儲蓄存款利率計付利息 國庫券按期償還本金國庫券利息在償還本金時一次付給, 不計復(fù)利 模型分析, 建立與求解由于問題要求在每年得到的獎金額盡量多, 因此我們在進行投資時應(yīng)遵循一個基本原則：盡量選擇利息率高的投資方式.模型：只存款不購買國庫券的投資模型分析： 由于只需在每年末發(fā)放獎金, 根據(jù)基本原則, 可以不考慮活期存款和半年期存款 每年末回收的資金可以分成兩部分, 一部分用于發(fā)放該年的獎金, 另一部分用于第二年的投資依次下去, 直到第n年末, 回收的資金除去所發(fā)該年的獎金外, 剛好等于最初的基金M .記X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, , n.W ( i ) = (1 + r2 ) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i-3) , 4 + (1 + 5 r5 ) x( i-5) , 5 - A.假設(shè)每年發(fā)放的獎金額基本相等, 就可以建立問題的線性規(guī)劃模型：max A,X (1 ) = M,X (2 ) = (1 + r2 ) x12 - A,X (3 ) = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 - A,X (4 ) = (1 + r2 ) x32 + (1 + 2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 - A,X (5 ) = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 - A,X (6 ) = W ( 6 ), X ( i ) = W ( i ), X ( n - 4 ) = W (n - 4 ),x( n-3) , 2 + x( n-3) , 3 + x( n-3) , 4 = W (n - 3 ),x( n-2) , 2 + x( n-2) , 3 + x( n-2), 4 = W (n - 2 ),x( n-1) , 2 + x( n-1), 3 = W (n - 1 ),x n2 = W (n ),W (n +1 ) = M.xij 0, A0.當M = 5000萬, n = 10年時, 代入模型, 利用數(shù)學軟件lindo求解得：每年最高獎金額A為：109.817萬元投資方案如表3-18.表 3-18（單位：萬元）i12345678910xi2204.60700204.607000000xi3200.49500000000xi4387.7690000000xi54207.12998.47398.47398.47398.4734581.974（“”表示該年不能投資該種投資形式, 下同）模型：可存款也可購國庫券的投資模型分析：根據(jù)基本原則, 我們應(yīng)優(yōu)先考慮買國庫券（對于國庫券每年發(fā)行時間都在年初的特殊情況, 其求解模型類似模型, 在這里我們不作討論）由于每年發(fā)行國庫券的時間和發(fā)行的次數(shù)不定（每年至少發(fā)行一次）, 為了不使用于購買國庫券的那部分資金閑置, 我們設(shè)立如下的解決方案：以二年期國庫券為例：由于在年初投放資金時不能購買國庫券, 我們先將購買國庫券的資金全部用于半年期存款, 如果在該半年內(nèi)發(fā)行了國庫券, 我們就將資金全部取出購買國庫券, 在國庫券到期的那年將本息全部用于半年期存款, 到期后轉(zhuǎn)入活期存款；如果在該半年內(nèi)沒有發(fā)行國庫券, 我們將半年到期的自己全部用于活期存款, 用于購買下半年一定會發(fā)行的國庫券, 國庫券到期之后再全部轉(zhuǎn)入活期存款因此, 我們將其運轉(zhuǎn)周期定為三年, 在這三年里, 不管國庫券什么時候發(fā)行, 該部分資金一定有兩年是用于存國庫券, 有半年用于存半年期, 還有半年是存活期即采用活期、半年期、國庫券的“組合式”投資同理, 三年期國庫券, 五年期國庫券的周期分別為四年, 六年那么, 該部分資金在這幾年里的收益為：收益 = 本金 (1 + 年數(shù)國庫券年利率)(1 + 半年年利率2 ) (1 + 活期年利率2 )記X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, , n.W ( i ) = (1 + r2 ) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i-3) , 4 + (1 + 5 r5 ) x( i-5) , 5 - A.p1 = (1 + 2R 1 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.06394,p2 = (1 + 3R 2 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.10008,p3 = (1 + 5R 5 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.17125.資金的回收與再投資與模型相似, 可以建立問題的線性規(guī)劃模型：max A,X (1 ) + y11 + y12 + y13 = M,X (2 ) + y21 + y22 + y23 = (1 + r2 ) x12 - A,X (3 ) + y31 + y32 + y33 = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 - A,X (4 ) + y41 + y42 + y43 = (1 + r2 ) x32 + (1 + 2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 + p1 y11 - A,X (5 ) + y51 + y52 + y53 = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 + p1 y21 + p2 y12- A,X (6 ) + y61 + y62 = W ( 6 ) + p1 y31 + p2 y22 ,x72 + x73 + x74 + y71 + y72 = W ( 7 ) + p1 y41 + p2 y32 + p3 y13 ,x82 + x83 + x84 + y81 = W ( 8 ) + p1 y51 + p2 y42 + p3 y23 ,x92 + x93 = W ( 9 ) + p1 y61 + p2 y52 + p3 y33 ,x10, 2 = W (10 ) + p1 y71 + p2 y62 + p3 y43 ,W (11) + p1 y81 + p2 y72 + p3 y53 = M.xij 0, yij 0, A0.當M = 5000萬時, 代入模型, 利用數(shù)學軟件lindo求解得：每年獎金額A為：127.521萬元投資方案如表3-19.表 3-19（單位：萬元）i12345678910xi2232.216000125.26700000xi3227.54900000000xi4222.0100000000xi5000000yi100000000yi2229.789000004661.043yi34088.435108.876108.876108.8760在資金到位后第年要舉行百年校慶, 希望這一年的獎金額比其他年度多20%的投資方案分兩種情況. 在只存款不購國庫券時, 利用模型解得：每年獎金額A為：107.552萬元投資方案如表3-120.表 3-20（單位：萬元）i12345678910xi2200.38800200.388000000xi3196.36000000000xi4399.9740000000xi54203.27796.44296.44298.47396.4424579.943 在可存款也可購國庫券時, 用模型解得：每年獎金額A為：124.849萬元投資方案如表3-21.表 3-21（單位：萬元）i12345678910xi2227.352000122.64200000xi3222.78200000000xi4240.8100000000xi5000000yi100000000yi2224.975000004658.615yi34084.081106.595106.595106.5950 模型優(yōu)化 在上述兩種模型中, 我們都認為每年年末所回收的資金全部用來投資和發(fā)獎金, 沒有剩余但在實際情況中, 每年年末用來投資和發(fā)放獎金的可能要比每年回收的資金少因此, 可以將上述兩個模型中的“=”改成“”用數(shù)學軟件lindo解得另一組最優(yōu)解：A = 109.817萬元（與模型結(jié)果相同）投資方案如表3-22.表 3-22（單位：萬元）i12345678910xi2107.87500204.6070107.8750000xi3200.49500000000xi4387.7690000000xi54303.861098.47398.47398.4734581.974根據(jù)線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)：若有兩組最優(yōu)解, 設(shè)這兩組最優(yōu)解為x (1) 和x (2), 則對于任意 l (0l1), x = l x (1) + (1 - l )x (2) 都為模型的最優(yōu)解. 即說明模型有多種不同的投資方案.現(xiàn)對模型在M = 5000萬, n = 10年的情況下進行驗證當 l = 0.5時, 投資方案如表3-23.表 3-23（單位：萬元）i12345678910xi2156.241100204.607053.93760000xi3200.494700000000xi4387.76940000000xi54255.494998.472998.472998.472998.47294581.9736將以上結(jié)果代入模型中檢驗, 結(jié)果與實際相符合, 說明該模型是可行的 模型的誤差分析關(guān)于年度中國庫券實際發(fā)行有如下幾種情況： 年度中發(fā)行國庫券, 之前和到期之后均以活期方式存儲； 上半年度中發(fā)行國庫券, 之前存活期, 之后存半年期和活期； 下半年度中發(fā)行國庫券, 之前存半年期和活期, 之后存活期； 恰好在年度中點發(fā)放國庫券, 之前之后均存兩個半年期顯然, 模型所采用的“結(jié)合式”計息與實際發(fā)行的計息存在誤差假定該年預(yù)留給第i項國庫券的資金為C, 分別考察前三種情況的收益p： p = C (1 + Ni R i ) (1 + mr0/360 ) 1 + (360 - m ) r0/360.； p = C (1 + Ni R i ) (1