2018屆高三高考數(shù)學(xué)中求軌跡方程的常見方法.doc

高考數(shù)學(xué)中求軌跡方程的常見方法一、直接法當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程, 稱之直接法.例1 已知點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（ ） A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解： ，. 由條件，整理得，此即點(diǎn)的軌跡方程，所以的軌跡為拋物線，選D.二、定義法定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.CByxOA例2 已知中，、的對(duì)邊分別為、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點(diǎn)的軌跡方程.解：如右圖，以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系. 由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，故的軌跡方程為.三、代入法yQOxNP當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，再代入到其他動(dòng)點(diǎn)要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，稱之代入法，也稱相關(guān)點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法.例3 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，則.在直線上， 又得即.聯(lián)解得.又點(diǎn)在雙曲線上，化簡(jiǎn)整理得：，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.四、幾何法幾何法是指利用平面幾何或解析幾何知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和要滿足的條件，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例4 已知點(diǎn)、，過、作兩條互相垂直的直線和，求和的交點(diǎn)的軌跡方程.解：由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.此圓的圓心即為的中點(diǎn)，半徑為，方程為. 故的軌跡方程為.五、參數(shù)法 參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量（參數(shù)），使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例5 過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線OA的方程為，由解得，即，同理可得.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程. 六、交軌法求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.xA1A2OyNMP例6 如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.解：設(shè)及，又，可得直線的方程為；直線的方程為.得. 又，代入得，化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓.高考動(dòng)點(diǎn)軌跡問題專題講解（一）選擇、填空題1（ ）已知、是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （A）橢圓 （B）直線 （C）圓 （D）線段2（ ）設(shè)，的周長(zhǎng)為36，則的頂點(diǎn)的軌跡方程是（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）3與圓外切，又與軸相切的圓的圓心軌跡方程是 ；4P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則的重心G的軌跡方程是 ；5已知圓C：內(nèi)一點(diǎn)，圓C上一動(dòng)點(diǎn)Q， AQ的垂直平分線交CQ于P點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程為 6ABC的頂點(diǎn)為、，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 ；（）變式：若點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程是 ；推廣：若點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，、分別是左、右焦點(diǎn)，圓與線段的延長(zhǎng)線、線段及軸分別相切，則圓心的軌跡是 ；7已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離少1，則點(diǎn)的軌跡方程是 8拋物線的一組斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 （）9過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)此直線繞焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程為 解法分析：解法1 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ所在直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得設(shè)，中點(diǎn)為，則有消得 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得弦的中點(diǎn)為，也滿足所求方程故所求軌跡方程為解法2設(shè)，由得，設(shè)中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有，又，所以，即當(dāng)時(shí)，易得弦的中點(diǎn)為，也滿足所求方程故所求軌跡方程為10過定點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn), 過A、B分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)M, 則點(diǎn)M的軌跡方程為_（二）解答題1一動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切，求該動(dòng)圓圓心的軌跡方程（定義法）2過橢圓的左頂點(diǎn)作任意弦并延長(zhǎng)到，使，為橢圓另一頂點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程3已知、是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡（交軌法）4已知點(diǎn)G是ABC的重心，在軸上有一點(diǎn)M，滿足，（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）若斜率為的直線與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足，試求的取值范圍解：（1）設(shè)，則由重心坐標(biāo)公式可得 ，點(diǎn)在軸上， ，即 故點(diǎn)的軌跡方程為（）（直接法）（2）設(shè)直線的方程為（），、，的中點(diǎn)為由消，得 ，即 又， ， ， ，即 ， ，又由式可得 ， 且 且，解得且故的取值范圍是且5已知平面上兩定點(diǎn)、，為一動(dòng)點(diǎn)，滿足（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（直接法）（）若A、B是軌跡上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過A、B兩點(diǎn)分別作軌跡的切線，設(shè)其交點(diǎn)為，證明為定值解：()設(shè)由已知，,，3分， 整理，得 即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為6已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)、滿足（），求點(diǎn)M的軌跡W的方程 解：， MN垂直平分AF又， 點(diǎn)M在AE上， ， ， 點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長(zhǎng)軸，半焦距， 點(diǎn)M的軌跡W的方程為（）7設(shè)，為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向上的單位向量，若向量， 且（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（定義法）（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程，若不存在，試說明理由解：（1）；（2）因?yàn)檫^軸上的點(diǎn)若直線是軸，則兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，所以與 重合，與四邊形是矩形矛盾故直線的斜率存在，設(shè)方程為，由 消得此時(shí)恒成立，且，所以四邊形是平行四邊形若存在直線，使得四邊形是矩形，則，即， 即 ，得故存在直線：，使得四邊形是矩形8如圖，平面內(nèi)的定點(diǎn)F到定直線l的距離為2，定點(diǎn)E滿足：=2，且于G，點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足：，點(diǎn)P滿足：，（I）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（II）若經(jīng)過點(diǎn)E的直線與點(diǎn)P的軌跡交于相異兩點(diǎn)A、B，令，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍解：（1）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則， ， ，即所求點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)點(diǎn)設(shè)AF的斜率為，BF的斜率為，直線的方程為 由6分 7分 8分 10分由于11分 解得13分直線斜率k的取值范圍是9如圖所示，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，且，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍解：（1）設(shè)，由得，又，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為10已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為動(dòng)點(diǎn)，滿足，（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）將（1）中軌跡按向量平移后得曲線，設(shè)是上任一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別交軸與、兩點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）設(shè)、，則、由題意得 ，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為11如圖和兩點(diǎn)分別在射線、上移動(dòng)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（1）求的值； （2）求點(diǎn)的軌跡的方程，并說明它表示怎樣的曲線？（3）若直線l過點(diǎn)交（2）中曲線于、兩點(diǎn)，且，求的方程解：（1）由已知得， （2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），由得 ， 消去，可得，又因， P點(diǎn)的軌跡方程為它表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為4的雙曲線的右支（3） 設(shè)直線l的方程為，將其代入C的方程得 即 ，易知（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意） 又，設(shè)，則 l與C的兩個(gè)交點(diǎn)在軸的右側(cè) ， ，即，又由同理可得 ， 由得 ， 由得， 由得，消去得 解之得： ，滿足故所求直線l存在，其方程為：或12設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C（I） 求軌跡C的方程；（II）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）設(shè)，因?yàn)锳、B分別為直線和上的點(diǎn)，故可設(shè)， 又， 即曲線C的方程為 （II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）= (s，t-16) 故， M、N在曲線C上， 消去s得 由題意知，且，解得 又 ， 解得 （） 故實(shí)數(shù)的取值范圍是（）13設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，離心率為2（1）求此雙曲線的漸近線、的方程；（）（2）若A、B分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明是什么曲線（）提示：，又，則，又 ，代入距離公式即可（3）過點(diǎn)是否存在直線，使與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由（不存在）14已知點(diǎn)，直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，已知，且 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；15如圖，直線與橢圓（）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）若，且四邊形OAPB為矩形，求的值；（）（2）若，當(dāng)變化時(shí)（），求點(diǎn)P的軌跡方程（）16雙曲線C：（，）的離心率為2，其中，且（1）求雙曲線C的方程；（2）若雙曲線C上存在關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）依題意有：解得：所求雙曲線的方程為6分（）當(dāng)k=0時(shí)，顯然不存在7分當(dāng)k0時(shí)，設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱由lMN，直線MN的方程為則M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由 消去y得9分顯然，即 設(shè)線段MN中點(diǎn)D（）則D（）在直線l上，即 把帶入中得 ，解得或或即或，且k0k的取值范圍是14分17已知向量=(2，0)，=(0，1)，動(dòng)點(diǎn)M到定直線y =1的距離等于d，并且滿足=K(-d2)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，K為參數(shù).（）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型；（）如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足e，求實(shí)數(shù)K的取值范圍.18過拋物線的焦點(diǎn)作兩條弦、，若，（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）記（1）中的定點(diǎn)為，求證為鈍角；（3）分別以、為直徑作圓，兩圓公共弦的中點(diǎn)為，求的軌跡方程，并指出軌跡是什么曲線19（05年江西）如圖，是拋物線上上的一點(diǎn)，動(dòng)弦、分別交軸于、兩點(diǎn)，且（1）若為定點(diǎn)，證明：直線的斜率為定值；（2）若為動(dòng)點(diǎn)，且，求的重心的軌跡思路分析：（1）由直線（或）方程與拋物線方程組成的方程組解出點(diǎn)F和點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式來證明；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)將、點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而表示出點(diǎn)坐標(biāo)，消去即得到的軌跡方程（參數(shù)法）.解：（1）法一：設(shè)，直線的斜率為（），則直線的斜率為，方程為由，消得，解得， ，(定值)所以直線的斜率為定值法二：設(shè)定點(diǎn)，、，由 得 ，即；同理 ， ，即， 所以，（定值）第一問的變式：過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的直線ME、