初中數(shù)學(xué)論文：構(gòu)建二維框架突破實際問題的分析難點.doc

初中數(shù)學(xué)論文構(gòu)建二維框架突破實際問題的分析難點內(nèi)容摘要：實際問題的教學(xué)一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點, 對于我們農(nóng)村初中的學(xué)生來說更是一大難題。實際問題的難點，就在于如何分析題意、有效提取題干的有用信息上，我們通過構(gòu)建二維框架突破這個難點。二維框架指的是基本的等量關(guān)系為一維，題中所指的事件為另一維，以這二維構(gòu)造框架分析題意。讓學(xué)生學(xué)會如何分析題意，提升學(xué)生的綜合能力。關(guān)鍵詞：實際問題 構(gòu)建框架 分析能力數(shù)學(xué)新課標要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)意識和較強的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。實際應(yīng)用問題的教學(xué)可較好的培養(yǎng)學(xué)生上述能力，但在農(nóng)村初中，由于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差、信息的提取能力不足等原因，導(dǎo)致在實際教學(xué)中困難重重，具體表現(xiàn)在：由于題中的信息量過多，而無法從中提取有用的條件；由于題中所涉及的數(shù)量關(guān)系較多，而不能準確的找出合適的等量關(guān)系；由于題中一些名詞術(shù)語，而導(dǎo)致理解錯誤等等。如何幫助學(xué)生解決這些困惑，重新找回自信，提升學(xué)生的解題能力？這是我們一直在探討的內(nèi)容。實際問題的難點，就在于如何分析題意、有效提取題干的有用信息上，我們可以構(gòu)建二維框架突破這個難點。二維框架指的是基本的等量關(guān)系為一維，題中所指的事件為另一維，以這二維構(gòu)造框架，抽絲剝繭式的讓題中每個量明朗化，進一步找出列等式所需的等量關(guān)系。二維框架如下圖：基本等量關(guān)系事件一 事件二 事件三 下面根據(jù)自身的一些教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)劸唧w的做法。一、輕松構(gòu)建框架，幫助學(xué)生擺脫畏難情緒。在大部分實際問題的教學(xué)中，都提倡讓學(xué)生分析題意，先準確找出題中所需的等量關(guān)系。如：行程問題：相遇問題，追及問題（包括同地不同時，同時不同地），環(huán)行問題（包括背向而行，同向而行），航行問題（航海：順水速度=靜水速度+水速，逆水速度=靜水速度-水速；航空：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速，逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速），稍微復(fù)雜一點的問題有兩事件時間相等、路程相等、速度不變。然后對于每個種類的問題分別向?qū)W生講清他的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，讓學(xué)生在自己解題時首先分析這道題屬于哪種題型，然后套用這種題型的等量關(guān)系來解題。這樣教學(xué)，一度被認為是把復(fù)雜的問題簡單化。可這樣的教學(xué)太機械化，學(xué)生根本就沒有真正懂得為什么要用這個等量關(guān)系，只是機械性的來套用這些模式而已，如果遇到復(fù)雜一點的實際應(yīng)用問題，學(xué)生就無從入手，搞不清是該利用哪個等量關(guān)系來分析。這樣反而會讓他們對實際問題越來越恐懼。其實，行程問題的最基本的等量關(guān)系就是：路程 速度（勻速） 時間。學(xué)生只要牢牢抓住這一點，利用二維框架，學(xué)會自己分析，他們就會自己找到解決實際問題所需的等量關(guān)系。我們可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，利用學(xué)生所熟知的的等量關(guān)系輕松構(gòu)建框架，從而消除學(xué)生對實際問題的恐懼，這樣才能讓學(xué)生有信心去分析實際問題，才能把實際問題簡單化。下面就針對一些實際問題的教學(xué)進行舉例說明：例1：（人教七上P104探究題）銷售中的盈虧：某商店以60元的同樣價格賣了兩件衣服,其中甲件盈利25%，乙件虧損25%.商家在這次買賣是盈了或是虧了,還是不盈不虧?分析：基本等量關(guān)系：利潤銷售價成本（這每個同學(xué)應(yīng)該根據(jù)實際經(jīng)驗就能得到。）題中所指事件：事件一甲衣服，事件二乙衣服?？紤]兩件衣服的進價未知，可分別設(shè)兩件衣服的進價，即建立下面的分析框架。設(shè)甲衣服進價x元，乙衣服進價y元。利潤 銷售價 成本甲 25%x 60 x乙 -25%y 60 y通過這個框架，學(xué)生就會很容易的列出兩個方程，并且解出兩件衣服的進價，那么題中的問題，盈了或是虧了？學(xué)生就能利用兩件的銷售價之和減去進價之和來解決這個問題了。 例2：（人教八下P30例4）從2004年5月起某列車平均提速v千米/時,用相同的時間,列車提速前行駛s千米,提速后比提速前多行駛50千米,提速前列車的平均速度為多少?分析：基本等量關(guān)系：路程 速度時間，所指事件：事件一提速前，事件二提速后?？闪邢旅娴姆治隹蚣?。設(shè)提速前列車的平均速度為x千米/時。路程 速度 時間提速前 s x ? (用相同時間)提速后 s50 xv ?通過此框架，利用提速前后時間相同，時間= 路程速度，就可列出相應(yīng)的分式方程。例3：（人教九下P23探究題）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？分析：基本等量關(guān)系：利潤 （單件銷售價 單件成本）件數(shù)，所指事件：事件一漲價時，事件二降價時。可列下面的分析框架。設(shè)每件漲價x元，每件降價t元。利潤 （單件銷售價 單件成本）件數(shù)漲價時 60x 40 30010x降價時 60t 40 30010t通過此框架，再令漲價后的利潤為y1，降價后的利潤為y2。即可列出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，求出最值相比較后，就能確定如何定價才能使利潤最大。從上面三個例題的分析中，可以看出避免了直接找等量關(guān)系來列等式的困難，而是采用三步策略：構(gòu)建二維框架；讓題中已知量按號入座；抓住關(guān)鍵點，這樣就容易找到相應(yīng)關(guān)系來列等式。比如例2，我們可根據(jù)路程 速度 時間（指的是勻速）這一不變的關(guān)系，然后把題中已知量按號入座，再抓住提速前后用相同的時間來列等式，這樣學(xué)生就比較容易掌握。依此類推，所有的實際問題都可以利用類似的框架來分析題意、解決問題。二、加強變式練習(xí)，提高學(xué)生思維的敏捷性。在找到實際問題突破口的同時，還需加強變式練習(xí)，提高學(xué)生思維的敏捷性。在教學(xué)中，有的教師把實際問題進行分類，為的是幫助學(xué)生理清思路，但容易造成問題的孤立。而實際上很多不同類型的實際問題在形式上都是差不多的。比如，路程速度時間，銷售價單價件數(shù)等等，只要是乘積形式的，都可以相互轉(zhuǎn)化。我們在教學(xué)時，可以采取下列做法，給學(xué)生展示不同類型的實際問題，而列出的等式卻是同一個；或者向?qū)W生提出解答一個問題后，根據(jù)同一方程，再編出其他不同類型的實際問題。例4：（人教七上P108第8題）京滬高速公路全長1262千米，一輛汽車從北京出發(fā)，勻速行使5小時后，提速20千米/時，又勻速行使5小時后，減速10千米/時，又勻速行使5小時后，到達上海，問求各段時間的車速（精確到1千米/時）。分析：基本等量關(guān)系：路程 速度時間，所指事件：事件一第一段路程，事件二第二段路程，事件三第三段路程?？闪邢旅娴姆治隹蚣?。設(shè)汽車的第一段車速為x千米/時。路程 速度 時間第一段 ？ x 5第二段 ？ x20 5第三段 ？ x10 5（全長1262千米）通過此框架，學(xué)生就清楚，再利用總路程 各段路程之和來列等式。變式1：銷售問題：由于市場競爭激烈，某房地產(chǎn)公司決定，房子售出5套后，提價20萬元，又售出5套后，由于競爭激烈，降價10萬元，又售出5套后，公司的總銷售額為1262萬元，問房子的原價為多少萬元？變式2：產(chǎn)量問題：某村有三戶農(nóng)戶種植花生，甲、乙、丙各種植5畝花生，乙比甲產(chǎn)量每畝多20千克，丙比乙產(chǎn)量每畝少10千克，三戶花生的總產(chǎn)量有1262千克，問每戶農(nóng)戶花生的畝產(chǎn)量是多少千克/畝？例4的三種類型，似乎是無關(guān)的三種類型，可是仔細推敲一下，又會發(fā)現(xiàn)三者是屬于同一類型的題目。通過此類變式練習(xí)，促進學(xué)生認知網(wǎng)絡(luò)的形成，使學(xué)生能夠觸類旁通，輕松高效的的掌握解題技巧，最終使學(xué)生有所啟迪，思維更加活躍、靈活。三、利用一題多解，拓展學(xué)生思維的發(fā)散性。在以上的基礎(chǔ)上，平時還需都加強一題多解，拓展學(xué)生思維的發(fā)散性。在實際問題的教學(xué)中，教師往往規(guī)范性的要求講得太多，學(xué)生的解題策略經(jīng)常是遵照老師指定的某一條路徑或模式進行，這會造成學(xué)生思維定勢。為此，在實際問題的教學(xué)中應(yīng)盡可能精講，讓學(xué)生自主解答，讓學(xué)生成為解題的主人，讓學(xué)生的思維自由發(fā)揮。例5：某公司到果園購買某種優(yōu)質(zhì)水果以慰問學(xué)校教師，果園基地對購買3000千克以上（含3000千克）者有兩種銷售方案，甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運費為5000元，若購買量在3000千克以上，問選擇哪種方案較省錢？并說明理由。分析：基本等量關(guān)系：總費用 水果價格運費所指事件：事件一甲方案，事件二乙方案。設(shè)購買水果為x（x 3000）千克.總費用 水果價格 運費甲方案 ? 9 x 0乙方案 ? 8 x 5000可列下面的分析框架。學(xué)生可根據(jù)框架，用多種方法來解題：列出關(guān)于甲乙兩方案的方程，然后根據(jù)題意來解題；列出關(guān)于甲乙兩方案的不等式來解題；分別列出關(guān)于甲方案和乙方案的一次函數(shù)，然后根據(jù)圖象來解題等等。給學(xué)生的思維以較大的自由空間，給學(xué)生以較多地選擇余地，讓學(xué)生選擇喜歡的方法來處理問題，這樣才能使學(xué)生的思維通暢，拓寬學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)靈活多變的解題思維能力。四、利用社會實踐，拓寬學(xué)生思維的廣度。數(shù)學(xué)的實際問題中往往有許多其他知識領(lǐng)域的名詞術(shù)語，而學(xué)生與外界接觸較少，對這些名詞術(shù)語感到很陌生、不知其意，從而就無法正確理解題意，比如出租車的起步價問題。例6：某種出租車的收費標準是，起步價為7元（3 km以內(nèi)）。超過3 km的，每600m加收1.2元（不足600m按600m計算）。某人乘坐這種出租車從甲地到乙地共付10元。求甲乙兩地路程的取值范圍。有些學(xué)生認為“起步價7元”就是前三千米每千米需7元。而后面的每600m加收1.2元，理解為每600m要累計加收1.2元。究其原因，是學(xué)生生活經(jīng)驗不足。實際問題，還涉及到實際生活中的利率、打折、保險金、納稅率、折舊率、移動電話的收費標準等概念。因此，應(yīng)讓學(xué)生走出課堂、教室，更多地融入社會，才能拓寬學(xué)生的思維的廣度，才