高中數(shù)學(xué)第二講直線與圓的位置關(guān)系三圓的切線的性質(zhì)及判定定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案新人教A版選修4_1.doc

三 圓的切線的性質(zhì)及判定定理對應(yīng)學(xué)生用書P251切線的性質(zhì)(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑如圖，已知AB切O于A點，則OAAB.(2)推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(3)推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心2圓的切線的判定方法(1)定義：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線(2)數(shù)量關(guān)系：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線(3)定理：過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用數(shù)量關(guān)系來判定，而(3)是用位置關(guān)系加以判定的說明在切線的判定定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則該直線就不是圓的切線對應(yīng)學(xué)生用書P25圓的切線的性質(zhì)例1如圖，已知C90，點O在AC上，CD為O的直徑，O切AB于E，若BC5，AC12.求O的半徑思路點撥O切AB于點E，由圓的切線的性質(zhì)，易聯(lián)想到連接OE構(gòu)造RtOAE，再利用相似三角形的性質(zhì)，求出O的半徑解連接OE，AB與O切于點E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE.即O的半徑為.利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進行有關(guān)的計算有時需添加輔助線，其中連接圓心和切點的半徑是常用輔助線，從而可以構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等1如圖，AB切O于點B，延長AO交O于點C，連接BC.若A40，則C()A20B25C40 D50解析：連接OB，因為AB切O于點B，所以O(shè)BAB，即ABO90，所以AOB50.又因為點C在AO的延長線上，且在O上，所以CAOB25.答案：B2.如圖，已知PAB是O的割線，AB為O的直徑PC為O的切線，C為切點，BDPC于點D，交O于點E，PAAOOB1.(1)求P的度數(shù)；(2)求DE的長解：(1)連接OC.C為切點，OCPC，POC為直角三角形OCOA1，POPAAO2，sin P.P30.(2)BDPD，在RtPBD中，由P30，PBPAAOOB3，得BD.連接AE.則AEB90，AEPD.EABP30，BEABsin 301，DEBDBE.圓的切線的判定例2已知D是ABC的邊AC上的一點，ADDC21，C45，ADB60，求證：AB是BCD的外接圓的切線思路點撥.證明如圖，連接OB，OC，OD，OD交BC于E.DCB是所對的圓周角，BOD是所對的圓心角，BCD45，BOD90.ADB是BCD的一個外角，DBCADBACB604515，DOC2DBC30，從而BOC120，OBOC，OBCOCB30.在OEC中，因為EOCECO30，OEEC，在BOE中，因為BOE90，EBO30.BE2OE2EC，ABOD，ABO90，故AB是BCD的外接圓的切線要證明某直線是圓的切線，主要是運用切線的判定定理，除此以外，還有圓心到直線的距離等于半徑等判定方法，但有時需添加輔助線構(gòu)造判定條件，其中過圓心作直線的垂線是常用輔助線3本例中，若將已知改為“ABDC”，怎樣證明：AB是BCD的外接圓的切線證明：作直徑BE，連接DE，BE是O的直徑，BDE90，EDBE90.CE，ABDC，ABDDBE90.即ABE90.AB是BCD的外接圓的切線4.如圖，ABC內(nèi)接于O，點D在OC的延長線上，sin B，D30.(1)求證：AD是O的切線(2)若AC6，求AD的長解：(1)證明：如圖，連接OA，sin B，B30，AOC2B，AOC60，D30，OAD180DAOC90，AD是O的切線(2)OAOC，AOC60，AOC是等邊三角形，OAAC6，OAD90，D30，ADAO6.圓的切線的性質(zhì)和判定的綜合考查例3如圖，AB為O的直徑，D是的中點，DEAC交AC的延長線于E，O的切線BF交AD的延長線于點F.(1)求證：DE是O的切線；(2)若DE3，O的半徑為5，求BF的長思路點撥(1)連接OD，證明ODDE；(2)作DGAB.證明(1)連接OD，D是中點，12.OAOD，23.13.ODAE.DEAE，DEOD，即DE是O的切線(2)過D作DGAB，12，DGDE3.在RtODG中，OG4，AG459.DGAB，F(xiàn)BAB，DGFB.ADGAFB.BF.對圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點，其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質(zhì)來求解相關(guān)結(jié)果5.如圖，已知兩個同心圓O，大圓的直徑AB交小圓于C、D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G，若小圓的半徑為2，EF4，試求EG的長解：連接GC，則GCED.EF和小圓切于C，EFCD，ECEF2.又CD4，在RtECD中，有ED 2.由射影定理可知EC2EGED，EG.6如圖，以RtABC直角邊AC上一點O為圓心，OC為半徑的O與AC的另一個交點為E，D為斜邊AB上一點且在O上，AD2AEAC.(1)證明：AB是O的切線；(2)若DEOB8，求O的半徑解：(1)證明：連接OD，CD，AD2AEAC，.又DAEDAC，DAECAD，ADEACD.ODOC，ACDODC，又CE是O的直徑，ODECDO90，ODA90，AB是O的切線(2)AB，BC是O的切線，OBDC，DEOB，CEDCOB，EDCOCB，CDEBCO，DEOB2R28，O的半徑為2.對應(yīng)學(xué)生用書P27一、選擇題1下列說法：與圓有公共點的直線是圓的切線；垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；過直徑的端點，垂直于此直徑的直線是圓的切線其中正確的有()ABC D答案：C2如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，AC交O于D.AB6，BC8，則BD等于()A4 B4.8C5.2 D6解析：AB是O的直徑，BDAC.BC是O的切線，ABBC.AB6，BC8，AC10.BD4.8.答案：B3.如圖，CD切O于B，CO的延長線交O于A，若C36，則ABD的度數(shù)是()A72 B63C54 D36解析：連接OB.CD為O的切線，OBC90.C36，BOC54.又BOC2A，A27，ABDAC273663.答案：B4如圖，在O中，AB為直徑，AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于C，若ADDC，則sin ACO等于()A. B.C. D.解析：連接BD，則BDAC.ADDC，BABC，BCA45.BC是O的切線，切點為B，OBC90.sin BCO，cos BCO.sin ACOsin(45BCO)sin 45cos BCOcos 45sin BCO.答案：A二、填空題5如圖，已知AOB30，M為OB邊上一點，以M為圓心、2為半徑作M.若點M在OB邊上運動，則當(dāng)OM_時，M與OA相切解析：若M與OA相切，則圓心M到直線OA的距離等于圓的半徑2.過M作MNOA于點N，則MN2.在RtMON中，MON30，OM2MN224.答案：46已知PA是圓O的切線，切點為A，PA2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB1.則圓O的半徑R_.解析：AB.由AB2PBBC，BC3，RtABC中，AC2.R.答案：7圓O的直徑AB6，C為圓周上一點，BC3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E，則DAC_，DC_.解析：連接OC，OCOB，OCBOBC.又DCAACO90，ACOOCB90，DCAOCB，OC3，BC3，OCB是正三角形OBC60，即DCA60.DAC30.在RtACB中，AC3，DCACsin 30.答案：30三、解答題8.如圖所示，D是O的直徑AB的延長線上一點，PD是O的切線，P是切點，D30 .求證：PAPD.證明：如圖，連接OP，PD是O的切線，P為切點POPD.D30，POD60.又OAOP，AAPO30.AD.PAPD.9.如圖，已知在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交BC于D，過D點作O的切線交AC于E.求證：(1)DEAC；(2)BD2CECA.證明：(1)連接OD，AD.DE是O的切線，D為切點，ODDE.AB是O的直徑，ADBC.又ABAC，BDDC.ODAC.DEAC.(2)ADBC，DEAC，CDECAD.CD2CECA.BDDC.BD2CECA.10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BD是O的直徑，AECD，垂足為E，DA平分BDE.(1)求證：AE是O的切線；(2)若DBC30，DE1 cm，求BD的長解：(1)證明：連接OA.DA平分BDE，BDAEDA.OAOD，ODAOA