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立體幾何中的向量方法 以單位正方體的頂點O為原點 分別以射線OA OC 的方向為正方向 以線段OA OC 的長為單位長度 建立三條數軸 x軸 y軸 z軸 這時我們建立了一個空間直角坐標系 一 空間直角坐標系 點O叫做坐標原點 x軸 y軸 z軸叫做坐標軸 這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面 分別稱為xoy平面 yoz平面 和zox平面 o 1 x軸與y軸 x軸與z軸均成1350 而z軸垂直于y軸 2 y軸和z軸的單位長度相同 x軸上的單位長度為y軸 或z軸 的單位長度的一半 空間直角坐標系的畫法 練1請你作一個空間直角坐標系 并在空間直角坐標系中 作出點 5 4 6 O 5 4 6 變式在空間直角坐標系中 作出點 5 4 6 練習 2 如下圖 在長方體OABC D A B C 中 OA 3 OC 4 OD 3 A C 于B D 相交于點P 分別寫出點C B P的坐標 O B A B C P P 3 4 3 練習 Q Q 3 如圖 棱長為a的正方體OABC D A B C 中 對角線OB 于BD 相交于點Q 頂點O為坐標原點 OA OC分別在x軸 y軸的正半軸上 試寫出點Q的坐標 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 二 空間向量的坐標表示 練1 在空間直角坐標系中 已知A 2 1 3 B 1 2 5 則 練2 在空間直角坐標系中 已知A 2 x y 則B 三 空間向量的數量積運算 練1 在空間直角坐標系中 已知 練2 在空間直角坐標系中 已知 五 距離與夾角的坐標表示 1 距離公式 1 向量的長度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度 練1 在空間直角坐標系中 已知 在空間直角坐標系中 已知 則 2 空間兩點間的距離公式 2 兩個向量夾角公式 注意 1 當時 同向 2 當時 反向 3 當時 練1 在空間直角坐標系中 已知 求與所成的角的余弦值 練2如圖 在正方體中 求與所成的角的余弦值 3 2 1立體幾何中的向量方法 方向向量與法向量 A P 直線的方向向量 直線 的向量式方程 換句話說 直線上的非零向量叫做直線的方向向量 一 方向向量與法向量 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 換句話說 與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 例1 如圖所示 正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標為 平面OABC的一個法向量坐標為 平面AB1C的一個法向量坐標為 1 1 1 0 0 1 1 0 0 令x y z中某個為定值 練習如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 側棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中點 求平面EDB的一個法向量 A B C D P E 解 如圖所示建立空間直角坐標系 設平面EDB的法向量為 因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的

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