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數(shù)學(xué)教材習(xí)題變式訓(xùn)練(數(shù)列)一、有關(guān)通項(xiàng)問題1、利用求通項(xiàng)(北師大版第20頁習(xí)題5)數(shù)列的前項(xiàng)和(1)試寫出數(shù)列的前5項(xiàng);(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?(3)你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?變式題1、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 解:(1):當(dāng)故an的通項(xiàng)公式為的等差數(shù)列.變式題2、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 解:(I)由a1=1,n=1,2,3,得,由(n2),得(n2),又a2=,所以an=(n2), 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為變式題3、已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為,且,證明數(shù)列是等比數(shù)列解:由已知可得兩式相減得即從而當(dāng)時(shí)所以又所以從而故總有,又從而即數(shù)列是等比數(shù)列;2、解方程求通項(xiàng):(北師大版第17頁習(xí)題3)在等差數(shù)列中,(1)已知;(2)已知;(3)已知.變式題1、是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,如果,則序號(hào)等于(A)667 (B)668 (C)669 (D)670分析:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,運(yùn)用公式直接求出.解:,解得,選C點(diǎn)評(píng):等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式是數(shù)列中的基礎(chǔ)知識(shí),必須牢固掌握.而這些公式也可視作方程,利用方程思想解決問題.3、待定系數(shù)求通項(xiàng):寫出下列數(shù)列的前5項(xiàng):(1)變式題1、已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式;解:是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列即4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng):(北師大版第8頁習(xí)題1)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù),在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù),寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.(1)(4)(7)( )( )變式題1、如下圖,第(1)個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來,第(2)個(gè)多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來,如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為,則 ; . 解:由圖可得:,所以;又所以=變式題2、(北師大版第9頁習(xí)題2)觀察下列各圖,并閱讀下面的文字,像這樣,10條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是( ),其通項(xiàng)公式為 .2條直線相交,最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交,最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交,最多有6個(gè)交點(diǎn)A40個(gè) B45個(gè) C50個(gè) D55個(gè)解:由題意可得:設(shè)為條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),則,因?yàn)?,由累加法可求得:,所以,選B.二、有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題1、(北師大版第31頁習(xí)題3)一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為( )A83 B108 C75 D63變式題1、一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為 。解:若數(shù)列為等差數(shù)列,則等差數(shù)列,可得:48,12,-60成等差數(shù)列,所以=36.變式題2、等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且( ) A12 B10 C8 D2+ 解:因?yàn)樗?,而,所以選B.點(diǎn)評(píng):高考試題的一個(gè)重要特點(diǎn)就是考查學(xué)生對(duì)問題敏銳的觀察能力和迅速有效的思維能力,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)可提高我們的正確解題的速度. 因此,對(duì)相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)要深刻地理解和掌握并能靈活運(yùn)用.2、(北師大版第19頁習(xí)題4)設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是( )A1 B.2 C.4 D.8變式題1、在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為21,則( )(A)33 (B)72(C)84(D)189分析:本題主要是考查等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì),可利用方程思想將等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為和處理,也可利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.解法一:設(shè)公比為,由題知,得或(舍去),故選C.解法二:由得,(舍去),.三、數(shù)列求和問題1、(北師大版第20頁習(xí)題4)已知是等差數(shù)列,其中,公差。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并作出它的圖像;(2)數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0?(3)求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值變式題1、已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列,其中,公差,若,求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值解:,所以,即數(shù)列前5項(xiàng)和為最大值變式題2、在等差數(shù)列中,求的最大值解法一:由,得:,解得由二次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),有最大值169解法二:先求出,由,所以當(dāng)時(shí),有最大值169解法三:由,得,而,故0故當(dāng)時(shí),有最大值169點(diǎn)評(píng):解決等差數(shù)列前項(xiàng)和最值問題的方法通常有:、利用二次函數(shù)求最值;、利用通項(xiàng)公式求使得;利用性質(zhì)求出符號(hào)改變項(xiàng)2、求和:變式題1、已知數(shù)列和,設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和解:,兩式相減得變式題2、設(shè)是等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且,()求,的通項(xiàng)公式;()求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:()設(shè)的公差為,的公比為,則依題意有且解得,所以,(),得,點(diǎn)評(píng):錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)公式形容的數(shù)列,其中是等差數(shù)列,是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列變式題2設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則q的值為 .分析:本題主要考查等比數(shù)列的求和公式,等差數(shù)列的概念運(yùn)用,可直接求得.解:,則有,.,若,則。3、利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證明變式題、已知.當(dāng)時(shí),求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:()當(dāng)時(shí),這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和式兩邊同乘以,得 式減去式,得若,若,點(diǎn)評(píng):在使用等比數(shù)列的求和公式時(shí),要注意對(duì)公比q的討論,即,這是學(xué)生平時(shí)容易忽略的問題,應(yīng)引起足夠的重視,另外要求學(xué)生有運(yùn)算化簡的能力.4、(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求前項(xiàng)的和;(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求前項(xiàng)的和變式題1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè),求解:2() 2()()()()()2().變式題2、數(shù)列an中,a18,a42,且滿足:an+22an+1an0(nN*),()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()設(shè),是否存在最大的整數(shù)m,使得任意的n均有總成立?若存在,求出m;若不存在,請(qǐng)說明理由解:()an+22an+1an0,an+2an+1an+1an(nN*),an是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,a18,a4a13d
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