3.4.1函數(shù)與方程 (2).docx

求解函數(shù)零點(diǎn)問題中參數(shù)取值題 隨著新課程的不斷展開和深入，許多高等數(shù)學(xué)中的概念也隨之融入高中數(shù)學(xué)課程，函數(shù)的零點(diǎn)即為其中之一函數(shù)零點(diǎn)問題涉及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想方法，又與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用兩情相悅，因此自然成為命題者眼中難以割舍的命題源泉為此筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，就解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本策略作一探討，供讀者參考1 應(yīng)用零點(diǎn)定理，直搗黃龍如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且滿足，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得.這就是零點(diǎn)存在性定理例1 已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析：觀察可知，函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，故，整理得，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理時(shí)要注意，是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的充分條件，未必是必要條件本題易錯(cuò)解為而得，應(yīng)引起注意2 數(shù)形結(jié)合引領(lǐng)，以形助數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)，亦即函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的鏈接點(diǎn)，因此用圖象來刻畫函數(shù)零點(diǎn)的神秘面紗成為我們解決函數(shù)零點(diǎn)問題常用而最有效的策略例2 （2016年北京文科節(jié)選）設(shè)函數(shù)設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；解析：當(dāng)時(shí)，令，即，解得，與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當(dāng)且時(shí)，存在，使得，由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：借助導(dǎo)數(shù)的工具，分析圖象，對(duì)函數(shù)直接進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的分析，借助性質(zhì)仔細(xì)繪制其草圖，依靠草圖的走勢來分析零點(diǎn)的位置對(duì)于處理熟悉的函數(shù)（如三次函數(shù)，二次函數(shù)等等）或?qū)Ш瘮?shù)的解析式相對(duì)容易的函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用該策略求解會(huì)顯得簡潔而富有實(shí)效3 等價(jià)變形轉(zhuǎn)化，曲徑通幽由兩個(gè)基本初等函數(shù)組合而得的超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于方程的解的個(gè)數(shù)，亦即的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)例3 已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍 解析：由題意可知恰有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于恰有兩個(gè)不同的解，亦即恰有兩個(gè)不同的解，令，則，其圖象如圖所示，函數(shù)的圖象是過定點(diǎn)的直線，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的思想可知.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于很難利用導(dǎo)數(shù)工具來分析性質(zhì)的函數(shù)，處理其零點(diǎn)問題，我們常會(huì)將分解成兩個(gè)相對(duì)簡單的函數(shù)，即，借助和的圖象交點(diǎn)來求解的零點(diǎn)，克服了直接求解的零點(diǎn)帶來的困難4 演繹分類討論，各個(gè)擊破分類討論的思想方法就是將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法，其基本思路：化整為零，各個(gè)擊破例4 已知是正實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍解析：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為，將對(duì)稱軸與所給區(qū)間的端點(diǎn)進(jìn)行比較：當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增要使函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，只需，解得由于，故此時(shí)滿足條件的不存在當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，在上遞增要使函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，只需，解得注意到，故綜上，所求的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：我們無法通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將原問題化歸為相對(duì)容易的問題，此時(shí)根據(jù)題設(shè)要求合理地對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類，并逐一求解利用該策略求解一般要求我們能深思熟慮，必須做到不重不漏5 巧用參數(shù)分離，演繹高效參數(shù)分離法，亦即將原函數(shù)中的變參量進(jìn)行分離后變形為，將原函數(shù)的零點(diǎn)問題化歸為與軸平行的直線和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題巧用參數(shù)分離求解零點(diǎn)問題，既可以回避對(duì)參數(shù)取值的分類討論，又形象直觀，一目了然例5 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍解析：令，則， 所以在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；令，則，令，則在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又；，則的圖象大致如圖所示：從圖中可知，要使得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ，則，即所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：通過將原函數(shù)中的變參量進(jìn)行分離后變形成，則原函數(shù)的零點(diǎn)問題化歸為與軸平行的直線和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，而此問題的求解在技術(shù)上并不存在困難，故問題迎刃而解6 注重知識(shí)聯(lián)系，追求靈動(dòng)實(shí)際上，有許多不是函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題，可以靈活地借助于知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，演繹為函數(shù)零點(diǎn)問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈動(dòng)性例6 （2016年上海理科節(jié)選）已知，函數(shù).若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求的取值范圍；解析：關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，所以方程，即恰有一解，所以恰有一解， 當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，其，若時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意若且時(shí)，若是原方程的解，當(dāng)且僅當(dāng)，即；若是原方程的解，當(dāng)且僅當(dāng)，即于是滿足題意的綜上，的取值范圍為變式 （2016年上海文科節(jié)選）已知R，函數(shù)=若關(guān)于的方程+=0的解集中恰有一個(gè)元素，求的值（答案：或）綜合上