人教A版選修12 合情推理 課件（39張）.ppt

第二章推理與證明2 1合情推理與演繹推理2 1 1合情推理 從前有個財主 想教兒子識字 請來一位教書先生 先生把著學生的筆桿兒 寫一橫 告訴是個 一 字 寫兩橫 告訴是個 二 字 寫三橫 告訴是個 三 字 學到這里 兒子就告訴父親說 我已經學會了寫字 不用先生再教了 于是 財主就把教書先生給辭退了 一天 財主要邀請一位姓萬的朋友 叫兒子寫張請?zhí)?財主的兒子怎么寫的 探究點1歸納推理 1 1742年哥德巴赫 goldbach 1690 1764 是德國一位中學教師 也是一位著名的數學家 1725年當選為俄國彼得堡科學院院士 觀察到 猜想 任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇質數之和 任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇質數之和 哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的過程 具體的材料 觀察分析 猜想出一般性的結論 3 成語 一葉知秋 2 統(tǒng)計初步中的用樣本估計總體 通過從總體中抽取部分對象進行觀測或試驗 進而對整體作出推斷 意思是從一片樹葉的凋落 知道秋天將要來到 比喻由細微的跡象看出整體形勢的變化 由部分推知全體 由某類事物的具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由概括出的推理 稱為歸納推理 簡稱歸納 歸納推理 特點 部分 整體 個別 一般 銅 鐵 鋁 金 銀等金屬都能導電 猜想 所有金屬都導電 又如 猜想 部分對象 全部對象 個別事實 一般結論 分析 數列的通項公式表示的是數列 an 的第n項an與序號n之間的對應關系 為此 我們先根據已知的遞推公式 算出數列的前幾項 解 當n 1時 a1 1 當n 2時 當n 3時 當n 4時 觀察可得 數列的前4項都等于相應序號的倒數 由此猜想 這個數列的通項公式為 春秋時代的魯班在林中砍柴時被齒形草葉割破了手 他由此受到啟發(fā)從而發(fā)明了鋸 探究點2類比推理 類似于魯班發(fā)明鋸子 還有一些發(fā)明或發(fā)現也是這樣得到的 魚類 潛水艇 蜻蜓 直升機 仿生學中許多發(fā)明的最初構想都是類比生物機制得到的 可能有生命存在 有生命存在 溫度適合生物的生存 一年中有四季的變更 有大氣層 行星 圍繞太陽運行 繞軸自轉 火星 地球 火星上是否有生命 火星與地球類比的思維過程 火星 地球 存在類似特征 類比推理的過程 步驟 觀察 比較 聯想 類推 猜想新結論 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 類比推理 1 類比推理是由特殊到特殊的推理 2 運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象 我們可以從不同的角度出發(fā)確定類比對象 基本原則是要根據當前問題的需要 選擇適當的類比對象 1 類比是從人們已經掌握的事物的屬性 推斷正在研究中的事物的屬性 它以已有知識為基礎 類比出新的結論 2 是從一事物的特殊屬性推斷另一種事物的特殊屬性 3 類比的結果具有猜測性 類比推理的特點 例2類比實數的加法和乘法 列出它們相似的運算性質 分析 實數的加法和乘法都是由兩個數參與的運算 都滿足一定的運算律 都存在逆運算 而且 0 和 1 分別在加法和乘法中占有特殊的地位 因此 我們可以從上述4個方面來類比這兩種運算 解 1 兩個實數經過加法運算或乘法運算后 所得的結果仍然是一個實數 2 從運算律的角度考慮 加法和乘法都滿足交換律和結合律 即 3 從逆運算的角度考慮 二者都有逆運算 加法的逆運算是減法 乘法的逆運算是除法 這就使得方程 都有唯一解 4 在加法中 任意實數與0相加都不改變大小 乘法中的1與加法中的0類似 即任意實數與1的積都等于原來的數 即 三角形 思考 你認為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象 例3 類比平面內直角三角形的勾股定理 試給出空間中四面體性質的猜想 分析 考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直 我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體 作為直角三角形的類比對象 解 如上圖 在rt abc中 c 90 設a b c分別表示三條邊的長度 由勾股定理 得 類比勾股定理的結構 我們猜想 成立 總結提升 提出猜想 觀察 分析 比較 聯想 歸納 類比 從具體問題出發(fā) 通俗地說 合情推理是指 合乎情理 的推理 例4如圖所示 有三根針和套在一根針上的若干金屬片 按下列規(guī)則 把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 1 每次只能移動1個金屬片 2 較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面 試推測 把n個金屬片從1號針移到3號針 最少需要移動多少次 分析 我們從移動1 2 3 4個金屬片的情形入手 探究其中的規(guī)律性 進而歸納出移動n個金屬片所需的次數 解 當n 1時 只需把金屬片從1號針移到3號針 用符號 13 表示 共移動了1次 當n 2時 為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面 我們利用2號針作為 中間針 移動順序是 1 把第1個金屬片從1號針移到2號針 2 把第2個金屬片從1號針移到3號針 3 把第1個金屬片從2號針移到3號針 用符號表示為 12 13 23 共移動了3次 當n 3時 把上面兩個金屬片作為一個整體 歸結為n 2的情形 移動順序是 1 把上面兩個金屬片從1號針移到2號針 2 把第3個金屬片從1號針移到3號針 3 把上面兩個金屬片從2號針移到3號針 其中 1 和 3 都需要借助中間針 用符號表示為 13 12 32 13 21 23 13 共移動了7次 當n 4時 把上面3個金屬片作為一個整體 移動順序是 1 把上面3個金屬片從1號針移到2號針 2 把第4個金屬片從1號針移到3號針 3 把上面3個金屬片從2號針移到3號針 用符號表示為 12 13 23 12 31 32 12 13 23 21 31 23 12 13 23 共移動了15次 至此 我們得到依次移動1 2 3 4個金屬片所需次數構成的數列 1 3 7 15 觀察這個數列 可以發(fā)現其中蘊含著如下規(guī)律 由此我們猜想 若把n個金屬片從1號針移到3號針 最少需要移動an次 則數列 an 的通項公式為 思考 把n個金屬片從1號針移到3號針 怎樣移動才能達到最少的移動次數呢 通過探究上述n 1 2 3 4時的移動方法 我們可以歸納出對n個金屬片都適用的移動方法 當移動n個金屬片時 可分為下列3個步驟 1 把上面 n 1 個金屬片從1號針移到2號針 2 把第n個金屬片從1號針移到3號針 3 把上面 n 1 個金屬片從2號針移到3號針 這樣就把移動n個金屬片的任務 轉化為移動兩次 n 1 個金屬片和移動一次第n個金屬片的任務 而移動 n 1 個金屬片需要移動兩次 n 2 個金屬片和移動一次第 n 1 個金屬片 移動 n 2 個金屬片需要移動兩次 n 3 個金屬片和移動一次第 n 2 個金屬片 如此繼續(xù) 直到轉化為移動1個金屬片的情形 根據這個過程 可得遞推公式 從這個遞推公式出發(fā) 可以證明 1 式是正確的 一般來說 由合情推理所獲得的結論 僅僅是一種猜想 未必可靠 費馬猜想 同樣地 類比推理所得的結論也不一定可靠 你能舉一個例子嗎 半個世紀之后 歐拉發(fā)現 猜想 不是質數 從而推翻了費馬的猜想 b c 3 2014 新課標全國卷i 甲 乙 丙三位同學被問到是否去過a b c三個城市時 甲說 我去過的城市比乙多 但沒去過b城市 乙說 我