小學(xué)數(shù)學(xué)工程問(wèn)題及答案.doc

工程問(wèn)題工程問(wèn)題基本數(shù)量關(guān)系式：（1）一般公式：工作效率工作時(shí)間工作總量 工作總量工作效率工作時(shí)間工作總量 工作時(shí)間工作效率（2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問(wèn)題的公式：1工作時(shí)間=單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；一般給出工作時(shí)間，就可以知道工作效率為,1單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。如果可以給出工作效率是，就可以知道工作時(shí)間為a.一、兩個(gè)人的問(wèn)題 標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體. 例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？ . 例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？ . 例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？ . 例4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問(wèn)開(kāi)始到完工共用了多少天時(shí)間？ 例5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開(kāi)始到完成共用了16天.問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？ 例6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？ . 例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他 要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)快如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？ 二、多人的工程問(wèn)題 我們說(shuō)的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問(wèn)題要比2人問(wèn)題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多. 例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？ 例10 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？ 例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？ 例12 某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問(wèn)甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？ 例13 制作一批零件，甲車(chē)間要10天完成，如果甲車(chē)間與乙車(chē)間一起做只要6天就能完成.乙車(chē)間與丙車(chē)間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車(chē)間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制作零件2400個(gè).問(wèn)丙車(chē)間制作了多少個(gè)零件？ . 例14 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？ 3、 水管問(wèn)題 從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同. 例15 甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)，9分鐘能注滿(mǎn)水池.現(xiàn)在，先打開(kāi)甲管，10分鐘后打開(kāi)乙管，經(jīng)過(guò)3分鐘就注滿(mǎn)了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？ 例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在打開(kāi)其中若干根水管，經(jīng)過(guò)預(yù)定的時(shí)間的1/3，再把打開(kāi)的水管增加一倍，就能按預(yù)定時(shí)間注滿(mǎn)水池，如果開(kāi)始時(shí)就打開(kāi)10根水管，中途不增開(kāi)水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿(mǎn)水池.問(wèn)開(kāi)始時(shí)打開(kāi)了幾根水管？例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿(mǎn)一池水，單開(kāi)甲管需3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí).要排光一池水，單開(kāi)乙管需要 4小，丁管需要6小時(shí)，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？ 例18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi)8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？ 例19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開(kāi)A管，8小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，打開(kāi)C管，12小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空.如果打開(kāi)A，B兩管，4小時(shí)可將水排空.問(wèn)打開(kāi)B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿(mǎn)池水排空？ . 例20 有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一 草；21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草.問(wèn)多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？ “牛吃草”這一類(lèi)型問(wèn)題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子. 例21 畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng).從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多.如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì).問(wèn)第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？ 例22.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才完成?，F(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長(zhǎng)時(shí)間？ 例1答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）例2解：共做了6天后， 原來(lái)，甲做 24天，乙做 24天， 現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率 如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是 如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是 答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天例3解：先對(duì)比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 （天）. 答：乙還需要做 56天例4解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11（天）. 答：從開(kāi)始到完工共用了11天. 解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天. 在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做23=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天. 例5解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是 由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是 乙隊(duì)休息期間未做的工作量是 乙隊(duì)休息的天數(shù)是 答：乙隊(duì)休息了5天半. 解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊(duì)休息期間未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數(shù)是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天. 甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天. 如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是 16-6-4.5=5.5（天）. 例6解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-48）份.由張、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以?xún)扇撕献鞯奶鞌?shù)是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問(wèn)題.解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是 乙每小時(shí)完成的工作量是 兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是 甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量 甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是 答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí). 這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每 有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.解：設(shè)這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 說(shuō)明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成這項(xiàng)工作用了20天. 本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要 答：甲獨(dú)做需要26天. 事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來(lái)完成. 解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1. 甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：合作3天能完成這項(xiàng)工作. 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問(wèn)合作幾天完成？ 小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù). 解一：仍設(shè)總工作量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數(shù)是 丙車(chē)間制作的零件數(shù)目是 答：丙車(chē)間制作了4200個(gè)零件. 解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成82=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 當(dāng)三個(gè)車(chē)間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是 2400（12- 8） 7= 4200（個(gè)）解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是 答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí). 解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為 60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小時(shí)）. 甲需丙幫助搬運(yùn) （60- 6 8） 4= 3（小時(shí)）. 乙需丙幫助搬運(yùn) （60- 5 8）4= 5（小時(shí)）. 解：甲每分鐘注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容積是：0.6（1/15-2/45）=27（立方米）答：水池容積是27立方米.分析：增開(kāi)水管后，有原來(lái)2倍的水管，注水時(shí)間是預(yù)定時(shí)間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開(kāi)水管后的這段時(shí)間的注水量，是前一段時(shí)間注水量的4倍。 設(shè)水池容量是1，前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1：4，那么預(yù)定時(shí)間的1/3（即前一段時(shí)間）的注水量是1/（1+4）=1/5。10根水管同時(shí)打開(kāi)，能按預(yù)定時(shí)間注滿(mǎn)水，每根水管的注水量是1/10，預(yù)定時(shí)間的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30要注滿(mǎn)水池的1/5，需要水管1/51/30=6（根）解：前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1：（1-1/3）1/32=1：4 前段時(shí)間注水量是：1（1+4）=1/5 每根水管在預(yù)定1/3的時(shí)間注水量為：1101/3=1/30 開(kāi)始時(shí)打開(kāi)水管根數(shù)：1/51/30=6（根）答：開(kāi)始時(shí)打開(kāi)6根水管。分析：，否則開(kāi)甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出. 以后（20小時(shí)），池中的水已有 此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？ 看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口. 因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量. 2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水 4 60= 240（立方米）. 時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米）， 8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是 8 8 90， 其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 90，因此原來(lái)水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水813，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分鐘）. 答：打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘. 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.解：設(shè)滿(mǎn)水池的水量為1. A管每小時(shí)排出 A管4小時(shí)排出 因此，B，C兩管齊開(kāi)，每小時(shí)排水量是 B，C兩管齊開(kāi)，排光滿(mǎn)水池的水，所需時(shí)間是 答： B， C兩管齊開(kāi)要 4 小時(shí) 48分才將滿(mǎn)池水排完. 本題也要分開(kāi)考慮，水池原有水（滿(mǎn)池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量牛頭數(shù)星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位. 原有草+4星期新長(zhǎng)的草=124. 原有草+9星期新長(zhǎng)的草=79. 由此可得出，每星期新長(zhǎng)的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者124-34）. 對(duì)第三片牧場(chǎng)來(lái)說(shuō)，原有草和18星期新長(zhǎng)出草的總量是 這些草能讓 907.218=36（頭） 牛吃18個(gè)星期. 答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草.例20與例19的解法稍有一