2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷及答案[1].doc

二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽題（10月4日上午8：009：40）題號一二三合計加試總成績131415得分評卷人復(fù)核人學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題（15個小題），全卷滿分150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過裝訂線。 4、不能使用計算器。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6個小是題，每題均給出（A）（B）（C）（D）四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)，每小題選對得6分；不選、選錯或選的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分。1、已知a為給定的實數(shù)，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的個數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不確定2、命題1：長方體中，必存在到各頂點距離相等的點； 命題2：長方體中，必存在到各棱距離相等的點； 命題3：長方體中，必存在到各面距離相等的點； 以上三個命題中正確的有 （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個3、在四個函數(shù)y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|4、如果滿足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一個，那么k的取值范圍是 （A）k=8 （B）0k12 （C）2 （D）012或5若（12）1000的展開式為20002000，則3691998的值為（） （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）320016已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比較，結(jié)果是（） （A）2枝玫瑰價格高 （B）3枝康乃馨價格高 （C）價格相同 （D）不確定二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7橢圓1（2）的短軸長等于_8、若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,則z1z2= 。9、正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1 ，則直線A1C1與BD1的距離是 。10、不等式的解集為 。FABCDE11、函數(shù)的值域為 。12、在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有 種栽種方案。二、 解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且，（a1a2）,又，試求an的首項與公差。14、設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。（1） 求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2） O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當0aa2a3a4a5a6）的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（10月4日上午10：0012：00）學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題，全卷滿分150分。 2、用圓珠筆或鋼筆作答。 3、解題書寫不要超過裝訂線。 4、不能使用計算器。一、（本題滿分50分）如圖：ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N。求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本題滿分50分）設(shè)xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值與最小值。三、（本題滿分50分）將邊長為正整數(shù)m,n的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長之和的最小值。2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準一選擇題：CBDDCA1.已知a為給定的實數(shù)，那么集合320，的子集的個數(shù)為（）124不確定講解：M表示方程320在實數(shù)范圍內(nèi)的解集由于140，所以含有2個元素故集合有24個子集，選2命題1：長方體中，必存在到各頂點距高相等的點命題2：長方體中，必存在到各條棱距離相等的點；命題3：長方體中，必存在到各個面距離相等的點以上三個命題中正確的有（）0個1個2個3個講解：由于長方體的中心到各頂點的距離相等，所以命題1正確對于命題2和命題3，一般的長方體（除正方體外）中不存在到各條棱距離相等的點，也不存在到各個面距離相等的點因此，本題只有命題1正確，選3在四個函數(shù)、中，以為周期、在（0，2）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（）講解：可考慮用排除法不是周期函數(shù)（可通過作圖判斷），排除；的最小正周期為2，且在（0，2）上是減函數(shù)，排除；在（0，2）上是減函數(shù)，排除故應(yīng)選4如果滿足60，12，的恰有一個，那么的取值范圍是（） 01212 012或講解：這是“已知三角形的兩邊及其一邊的對角，解三角形”這類問題的一個逆向問題，由課本結(jié)論知，應(yīng)選結(jié)論說明：本題也可以通過畫圖直觀地判斷，還可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展開式為20002000，則3691998的值為（）33333666399932001講解：由于要求的是展開式中每間降兩項系數(shù)的和，所以聯(lián)想到1的單位根，用特殊值法取（12）（2），則1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000三個式子相加得310003（1998）19983999，選6已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24，而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比較，結(jié)果是（）2枝玫瑰價格高3枝康乃馨價格高 價格相同 不確定講解：這是一個大小比較問題可先設(shè)玫瑰與康乃馨的單價分別為元、元，則由題設(shè)得，問題轉(zhuǎn)化為在條件、的約束下，比較2與3的大小有以下兩種解法：解法1：為了整體地使用條件、，令63，45，聯(lián)立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，選圖1解法2：由不等式、及0、0組成的平面區(qū)域如圖1中的陰影部分（不含邊界）令232，則表示直線：232在軸上的截距顯然，當過點（3，2）時，2有最小值為0故230，即23，選說明：（1）本題類似于下面的1983年一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：已知函數(shù)（）滿足：4（1）1，1（2）5，那么（3）應(yīng)滿足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（2）如果由條件、先分別求出、的范圍，再由2的范圍得結(jié)論，容易出錯上面的解法1運用了整體的思想，解法2則直觀可靠，詳見文1二填空題7 8 9 10 11 12 732 7橢圓1（2）的短軸長等于_講解：若注意到極點在橢圓的左焦點，可利用特殊值法；若注意到離心率和焦參數(shù)（焦點到相應(yīng)準線的距離）的幾何意義，本題也可以直接求短半軸的長解法1：由得23，從而，故2解法2：由12，21及222，得從而2說明：這是一道符合教學(xué)大綱而超出高考范圍的試題8若復(fù)數(shù)、滿足2，3，32（32），則_講解：參考答案給出的解法技巧性較強，根據(jù)問題的特點，用復(fù)數(shù)的三角形式似乎更符合學(xué)生的思維特點，而且也不繁令2（），3（），則由32（32）及復(fù)數(shù)相等的充要條件，得即二式相除，得（）2）32由萬能公式，得（）1213，（）513故6（）（） （3013）（7213）說明：本題也可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義解9正方體1的棱長為1，則直線與的距離是_講解：這是一道求兩條異面直線距離的問題，解法較多，下面給出一種基本的解法圖2為了保證所作出的表示距離的線段與和都垂直，不妨先將其中一條直線置于另一條直線的垂面內(nèi)為此，作正方體的對角面，則面，且面設(shè)0，在面內(nèi)作，垂足為，則線段的長為異面直線與的距離在中，等于斜邊上高的一半，即610不等式（112）232的解集為_講解：從外形上看，這是一個絕對值不等式，先求得122，或27120，或120從而4，或1227，或0111函數(shù)的值域為_講解：先平方去掉根號由題設(shè)得（）32，則（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能達到下界0，所以函數(shù)的值域為1，32）2，）說明：（1）參考答案在求得132或2后，還用了較長的篇幅進行了一番驗證，確無必要（2）本題還可以用三角代換法和圖象法來解，不過較繁，讀者不妨一試圖312在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖3），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有_種栽種方案講解：為了敘述方便起見，我們給六塊區(qū)域依次標上字母、按間隔三塊、種植植物的種數(shù)，分以下三類（1）若、種同一種植物，有4種種法當、種植后，、可從剩余的三種植物中各選一種植物（允許重復(fù)），各有3種方法此時共有4333108種方法（2）若、種二種植物，有2種種法當、種好后，若、種同一種，則有3種方法，、各有2種方法；若、或、種同一種，相同（只是次序不同）此時共有3（322）432種方法（3）若、種三種植物，有種種法這時、各有2種種方法此時共有222192種方法根據(jù)加法原理，總共有108432192732種栽種方案說明：本題是一個環(huán)形排列問題三解答題13設(shè)所求公差為d，a1a2，d0由此得 化簡得： 解得： 5分而，故a10 若，則 若，則 10分 但存在，故| q |1，于是不可能 從而 所以 20分14解：(1)由 消去y得： 設(shè)，問題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 10得：，此時xpa2，當且僅當aa2a，即0a1時適合； 2f (a)f (a)0，當且僅當ama； 3f (a)0得ma，此時xpa2a2，當且僅當aa2a2a，即0a1時適合 f (a)0得ma，此時xpa2a2，由于a2a2a，從而ma 綜上可知，當0a1時，或ama； 當a1時，ama 10分(2)OAP的面積 0a，故ama時，0a， 由唯一性得 顯然當ma時，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時， 當時，xpa2，yp，此時 下面比較與的大?。?令，得 故當0a時，此時 當時，此時 20分15解：設(shè)6個電阻的組件(如圖3)的總電阻為RFG，當R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列時，RFG最小 5分證明如下： 1設(shè)當兩個電阻R1、R2并聯(lián)時，所得組件阻值為R，則故交換二電阻的位置，不改變R值，且當R1或R2變小時，R也減小，因此不妨取R1R22設(shè)3個電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB 顯然R1R2越大，RAB越小，所以為使RAB最小必須取R3為所取三個電阻中阻值最小的個3設(shè)4個電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD 若記 ，則S1、S2為定值，于是 只有當R3R4最小，R1R2R3最大時，RCD最小，故應(yīng)取R4R3，R3R2，R3Rl，即得總電阻的阻值最小 15分4對于圖3把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1應(yīng)使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且應(yīng)使RCD最小 而由3，要使RCD最小，應(yīng)使R4R3R2且R4R3R1， 這就說明，要證結(jié)論成立20分2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試參考答案及評分標準一證明：(1)A、C、D、F四點共圓 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分另證：以BC所在直線為x軸，D為原點建立直角坐標系， 設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，則 直線AC的方程為，直線BE的方程為 由 得E點坐標為E() 同理可得F() 直線AC的垂直平分線方程為 直線BC的垂直平分線方程為 由 得O() OBDF 同理可證OCDE在直線BE的方程中令x0得H(0，) 直線DF的方程為 由 得N () 同理可得M () kOH kMN 1，OHMN二解：先求最小值，因為1等號成立當且僅當存在i使得xi1，xj0，ji 最小值為1 10分再求最大值，令 設(shè)， 令 則 30分 令0，則 由柯西不等式得： 等號成立 (k=1，2，n) 由于a1a2an，從而，即xk0 所求最大值為 50分三解：記所求最小值為f (m，n)，可義證明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公約數(shù) 10分 事實上，不妨沒mn (1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為rnn(m，n) 當用m1時，命題顯然成立AA1BCD1Dmn 假設(shè)當，mk時，結(jié)論成立(k1)當mk1時，若nk1，則命題顯然成立若nk1，從矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如圖)，由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長之和為rnn(m，n) 20分 (2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立 當m1時，由于n1，顯然f (m，n)rnn(m，n) 假設(shè)當mk時，對任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，當nk1時顯然f (m，n)k1rnn(m，n) 當