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文檔簡介

拉梅公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 平面彈性變形問題 1 引言 拉梅公式在工程力學(xué)中具有重要地位 尤其是在解決彈性力學(xué)的平面問題時(shí) 不失為一種理想的數(shù)學(xué)模型 前一部分給出拉梅公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo) 用到了極坐標(biāo)下的四類基本方程 即平衡方程 幾何方程 本構(gòu)方程 和變形協(xié)調(diào)方程 根據(jù)平面軸對稱問題簡化四類基本方程 再聯(lián)合平面軸對稱問題下的應(yīng)力函數(shù) 得到平面應(yīng)力問題的解 最后 根據(jù)厚壁問題的邊界條件得到拉梅公式 后一部分介紹了拉梅公式在工程上的具體應(yīng)用實(shí)例 并給出具體的數(shù)值計(jì)算 2 拉梅公式的推導(dǎo) 彈性理論是一類偏微分方程的邊界問題 1 所以邊界的選擇決定著工程問題求解的難以 一般要求坐標(biāo)軸與受力物體的邊界相重合 因此對于圓形 環(huán)形 楔形或者帶小孔的受力物體選用極坐標(biāo)會更容易解決問題 2 1四類基本方程 平衡方程 平面上的平衡方程的柱坐標(biāo)不含z變量 幾何方程 本構(gòu)方程 協(xié)調(diào)方程 2 2極坐標(biāo)應(yīng)力公式 可以看到應(yīng)力張量第一不變量與坐標(biāo)選擇無關(guān) 2 3平面軸對稱問題 平面軸對稱問題中 應(yīng)力不僅與z無關(guān) 而且與 無關(guān) 因此 由公式 可得柱坐標(biāo)下的正應(yīng)力為 對于環(huán)向閉合的圓域或 環(huán)域 或者平板上的圓孔 方向上位移 的單值條件要求B值為零 即B 0 求解平面軸對稱情況下的協(xié)調(diào)方程可得 3 拉梅公式的應(yīng)用 例1均壓圓環(huán)或圓筒對于厚壁圓筒 內(nèi)表面r a處受壓力pi 在外表面r b處受壓力p0 邊界條件為 把 式代入以上邊界條件可解的 將A和C代回 中可得到拉梅公式 它適用于任意壁厚問題 例2帶小孔的等向拉伸平板 此種情況可以簡化為pi 0 p0 q 壁厚很大 b遠(yuǎn)大于a 的圓環(huán) 壁厚t遠(yuǎn)小于內(nèi)徑a 即t a遠(yuǎn)小于1 此時(shí)拉梅公式可簡化為薄壁筒公式 4 小結(jié) 拉梅公式有很廣的用途 尤其是解決受均勻載荷的平面問題 但是拉梅公式也有其局限性 拉梅公式不適用的情況 筒所承受的內(nèi) 外壓強(qiáng)若為軸向坐標(biāo)z的二次函數(shù)或更高次函數(shù)時(shí) 不適于用拉梅公式求解 除上述情況外 經(jīng)理論分析和計(jì)算 筒的結(jié)構(gòu)尺寸或所承受的載荷有突變

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