第八章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析.ppt

第八章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 8 6阻抗和導納 8 7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 8 8正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 8 9最大功率傳輸 分析正弦穩(wěn)態(tài)電路通常有兩種方法一是時域分析方法 列寫微分方程 求方程的特解或穩(wěn)態(tài)解 計算比較復雜 二是相量法分析法 8 1引言 兩種分析法的簡單比較 對圖示電路求解正弦穩(wěn)態(tài)響應的過程如下 1 兩種分析法的簡單比較 1 用時域分析法列寫電路方程 代入微分方程比較系數(shù)確定和 設特解為 解正弦函數(shù)方程 定出和 再求出 2 用相量法列寫電路電壓相量方程解這個代數(shù)方程 用復數(shù)運算求出 再寫出與相對應的瞬時值 即求出電路的穩(wěn)態(tài)響應 兩種分析法的簡單比較 8 2 1正弦信號的三個特征量按正弦或余弦規(guī)律變化的周期電壓 電流 電荷和磁鏈信號統(tǒng)稱為正弦信號 以余弦信號為例 正弦信號的一般表達式為若表示電路中的電流信號 在選定參考方向下 可表示為 8 2正弦信號 是正弦信號的振幅或最大值 是瞬時相位 是初相 周期T 正弦信號每經(jīng)過一個周期T的時間 相位變化弧度 8 2正弦信號 表示正弦信號單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù) 單位為弧度 s 為角頻率 或 8 2正弦信號 表示每秒鐘正弦波變化的次數(shù) 單位為赫茲 HZ 正弦量的振幅 頻率 或角頻率 初相稱為正弦量的三個特征量 這三個特征量確定了 正弦量的變化規(guī)律就唯一地確定了 例如 已知一個正弦電流 則 8 2正弦信號 相位差 規(guī)定180 設兩個同頻率的正弦信號波形如圖8 2 3所示 8 2 2相位差 與的相位差 同頻正弦信號的相位差即是它們的初相之差 討論相位差 說明超前于度 u滯后于i度或i趨前于u度 8 2 2相位差 表示與同相 表示與反相 表示與正交 例8 2 1已知 求與的相位差 解 說明趨前240 由于規(guī)定180 8 2 2相位差 周期電流i流過電阻R在一個周期T內(nèi)作功與直流電流I流過同樣電阻R在同樣時間T內(nèi)所作功相等 稱直流電流量I為此周期性電流i的有效值 周期電流i流過電阻R在一個周期T內(nèi)所作功為 8 2 3有效值 直流電流流過在內(nèi)所作功為兩者相等即上式表明 周期性電流的有效值 等于周期性電流瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再取平方根 因此有效值又稱為方均根值 8 2 3有效值 周期電壓的有效值如果周期信號是正弦電流 有效值為 8 2 3有效值 同理可得正弦電壓的有效值可見 正弦量有效值是最大值的倍正弦電流和電壓也可用有效值表示 實際應用中有關交流電流 電壓指示值都是有效值 例如電氣設備的額定值 儀器儀表的量測值 8 2 3有效值 8 3正弦信號的相量表示 8 1復數(shù)及其運算法則一 復數(shù)的表示設復數(shù)式中 是虛數(shù)單位 a為復數(shù)的實部 b為復數(shù)的虛部 a b都為實數(shù) 復數(shù)可用復平面上的一點來表示 該點在實軸上的坐標是a 在虛軸上的坐標是b 復數(shù)還可用從原點指向點 a b 的向量來表示 如圖所示 該向量的長度稱為復數(shù)的模 記作 8 1復數(shù)及其運算法則 復數(shù)A的向量與實軸正向間的夾角稱為的輻角 記作復數(shù)直角坐標與極坐標的表示為 或 8 1復數(shù)及其運算法則 復數(shù)的三角表示為由歐拉公式復數(shù)的指數(shù)表示 8 1復數(shù)及其運算法則 二 復數(shù)的代數(shù)運算設復數(shù)復數(shù)的加 減運算 8 1復數(shù)及其運算法則 復數(shù)的乘除運算采用極坐標形式 8 1復數(shù)及其運算法則 共軛復數(shù)的性質(zhì) 實部相同 虛部符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù) 例如復數(shù)A 其共軛復數(shù)記作 8 1復數(shù)及其運算法則 用直角坐標形式和極坐標形式表示式的結(jié)果 解 1 11 2 27 j 例8 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 先討論用相量表示正弦量 由歐拉公式 8 3 2正弦量的相量表示 設正弦電流用復數(shù)表示其中稱為電流的振幅相量 8 3 2正弦量的相量表示 稱為電流的有效值相量 是復常量 它們的模是正弦電流的最大幅度或有效值幅度 幅角是正弦電流的初相角 8 3 2正弦量的相量表示 在同一電路里 各正弦穩(wěn)態(tài)響應都與激勵同頻率 因此 用振幅 或有效值 與初相就能確定正弦響應中的電流 所以或是能夠表征正弦電流的復數(shù) 在式 8 3 1 中 相量與相乘 幅角是時間t的函數(shù) 隨著時間的推移 相量以原點為中心 以角速度作周期性旋轉(zhuǎn) 因此稱為旋轉(zhuǎn)相量 其中稱為旋轉(zhuǎn)因子 8 3 2正弦量的相量表示 求對應的相量并畫出相量圖 求相位差 解 對應的振幅相量為 例 已知正弦電流和電壓 對應的有效值相量對應的相量相量圖為 2 與的相位差電流滯后電壓40 解題時注意 相量與正弦量 或瞬時值 是對應關系不是相等關系 已知正弦電路某三支路電壓的相量分別為畫出相量圖 寫出對應的正弦電壓表達式 解 為了表示統(tǒng)一 將三支路電壓相量表示成標準的振幅相量形式 例8 相量圖為所對應的正弦電壓為 或者 8 4基爾霍夫定律的相量形式 基爾霍夫電流定律 KCL 時域表示當電路處于正弦穩(wěn)態(tài)時 各支路電流都是同頻率正弦電流 于是上式可表示為 因 或 所以 KCL相量形式表明 正弦穩(wěn)態(tài)電路中 任一節(jié)點上各支路電流相量代數(shù)和為零 8 4基爾霍夫定律的相量形式 KCL相量形式 注意 電流相量的代數(shù)和為零 意味著節(jié)點上各支路電流的瞬時值代數(shù)和為零 而不是電流振幅值或有效值代數(shù)和為零 即 它表明 正弦穩(wěn)態(tài)電路中 沿著任一回路的所有支路電壓相量的代數(shù)和為零 8 4基爾霍夫定律的相量形式 基爾霍夫電壓定律的相量形式 注意 電壓相量的代數(shù)和為零 意味著回路中各支路電壓的瞬時值代數(shù)和為零 而不是電壓的振幅值或有效值代數(shù)和為零 即 某電路節(jié)點電流為如8 4 1圖所示 求并畫出電路相量圖 解 先將電流換算成同一函數(shù)形式 寫出已知電流的相量 例8 4 1 由KCL得 對應的 相量圖 8 5電阻 電感 電容元件伏安關系的相量形式 一 電阻元件伏安關系的相量形式設流過電阻R的電流為由歐姆定律得 對應的相量形式 或比較得電阻電壓的有效值等于電阻電流有效值與電阻乘積 電壓與電流相位相同 電阻元件相量模型圖如8 5 1所示 電壓與電流相量圖如8 5 2所示 電阻元件相量模型 電感電壓為 二 電感元件伏安關系的相量形式 設流過電感元件L的電流為 電感元件的伏安關系的相量形式 其中稱為感抗 單位是 或 電感電壓與電流的有效值關系為 電壓相位超前電流90度 相量圖如圖所示 或可寫為即 電感元件相量模型如圖所示 設電容兩端電壓為 流過電容電流為 三 電容元件伏安關系的相量形式 比較上兩式 也可寫為 電容電壓與電流的有效值關系為 電壓相位滯后電流 電容元件的電壓電流相量圖 8 6阻抗和導納 一 阻抗由R L C元件組成的無源二端網(wǎng)絡如圖所示 電流相量和電壓相量為關聯(lián)參考方向 電壓相量與電流相量的比稱為二端網(wǎng)絡的等效阻抗 即 Z的單位為 Z為復數(shù) 其中是阻抗的模 它是二端網(wǎng)絡輸入電壓和電流的振幅或有效值之比 阻抗角是端電壓與電流之間的相位差 阻抗模及阻抗角與電阻和電抗的關系為 阻抗三角形 阻抗是復量 不是相量 不能代表正弦量 R L C三元件的阻抗 求R L C串聯(lián)電路的阻抗 解 由于 例8 6 1 電路等效阻抗 的值域取決于電路的性質(zhì) 討論如下 無源二端網(wǎng)絡的阻抗導納 二 導納 8 6阻抗和導納 導納是阻抗的倒數(shù) 也是復量 單位為西門子 s 式中G是導納的實部 稱為電導 B是導納的虛部 稱為電納 是導納的模 為導納角 R L C元件的導納分別為 與G B的關系 阻抗與導納的轉(zhuǎn)換 模和幅角為 8 6阻抗和導納 二端網(wǎng)絡的阻抗它可等效為一個電阻和一個電抗的串聯(lián) 如圖 a 所示 二端網(wǎng)絡的導納 它可等效為一個電導和一個電納元件的并聯(lián) 如圖 b 所示 三 阻抗 導納串并聯(lián)電路 8 6阻抗和導納 若干個導納并聯(lián) 如圖所示 等效導納為 若干個阻抗串聯(lián) 如圖 c 所示 等效阻抗為 已知圖 a 所示電路的電壓 電流為1 求輸入阻抗Z 并畫出等效電路圖 2 求輸入導納Y 并畫出等效電路圖解 電壓 電流的振幅相量 例8 6 2 1 輸入阻抗 對應的元件值 等效電路如圖 b 所示 2 輸入導納 對應的元件值 等效電路如圖 c 所示 圖示電路 求 與的相位差 解 電路的輸入阻抗 電流有效值 例8 6 3 電流電壓相量圖如圖所示 8 7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 KCL KVL和元件的伏安關系是分析電路的基本依據(jù) 前面已經(jīng)定義了這兩類約束關系的相量形式 相量形式的電路方程和電阻電路的電路方程一樣 也是線性代數(shù)方程 所以分析電阻電路的定律 定理 方法和公式等 都適用于相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 以下舉例說明正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算 圖 a 電路 求電路的戴維南等效電路 例8 7 1 解 電路的相量模型如圖 b 所示 開路電壓相量 等效阻抗 開路電壓相量 戴維南等效電路如圖 c 所示 列寫圖示電路的節(jié)點電壓方程和網(wǎng)孔電流方程 解 選 為參考節(jié)點 節(jié)點電壓方程為 例8 7 2 網(wǎng)孔電流方程 電路如圖所示 求與的相位差 解 為節(jié)點電壓 列寫節(jié)點電壓方程 例8 7 3 8 8正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 8 8 1瞬時功率 一個無源二端網(wǎng)絡N 端口電壓與電流是關聯(lián)參考方向 如圖所示 網(wǎng)絡N在任一瞬時吸收的功率為 設端口電壓 電流分別為 阻抗角 二端網(wǎng)絡吸收的瞬時功率為 第一項是不隨時間變化的恒定值 如波形圖虛線所示 第二項是以為中心線 隨時間變化的正弦波 符號相同時 二端網(wǎng)絡從外電路吸收能量 符號相異時 二端網(wǎng)絡向外電路釋放能量 瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值稱為平均功率 即 P也稱有功功率 單位是瓦特 w 8 8 2平均功率 當二端網(wǎng)絡是純電阻時 當二端網(wǎng)絡是純電感時 當二端網(wǎng)絡是阻抗時 可以用等效電路表示 如圖 a 所示 二端網(wǎng)絡吸收的平均功率 就是網(wǎng)絡中電阻消耗的功率 假設 若二端網(wǎng)絡中有N個電阻 網(wǎng)絡吸收的總平均功率等于各電阻吸收的平均功率之和 即 8 8 2平均功率 電感和電容雖然不消耗能量 但卻存在與外電路交換能量的過程 這種能量交換用無功功率來計量 8 8 3無功功率 瞬時功率也可另推導如下 以電源的兩倍頻作周期變化 它代表了二端網(wǎng)絡中等效電抗所吸收的瞬時功率 代表了二端網(wǎng)絡中等效電阻所吸收的 電抗元件只與外電路進行能量交換 能量交換的最大速度 稱為二端網(wǎng)絡的無功功率 表示 為了區(qū)別有功功率 無功功率的單位為乏 Var 當二端網(wǎng)絡等效為純電阻時 有 當二端網(wǎng)絡等效為純電感時 有 當二端網(wǎng)絡等效為純電容時 有 二端網(wǎng)絡端口電壓與電流的有效值乘積稱為視在功率 記為單位為伏安 VA 一般電氣設備都要規(guī)定額定電壓和額定電流 工程上用它們的乘積視在功率表示某些電氣設備的容量 二端網(wǎng)絡的有功功率與視在功率之比稱為功率因數(shù) 記為 8 8 4視在功率和功率因數(shù) 由于0 1 有0 P S 實際中為了提高電氣設備的利用率 應盡量提高負載的功率因數(shù) 例如的變壓器 額定視在功率是 如果所接負載的功率因數(shù) 1 它能傳輸?shù)墓β适?如果 0 5 它只能傳輸了 所以要更充分的利用該電氣設備的容量 就應設法提高負載的功率因數(shù) 以上討論的二端網(wǎng)絡是假設無源的網(wǎng)絡 對于上述定義的各功率也適用有源二端網(wǎng)絡 只要將阻抗角改為二端口電壓與電流的相位差即可 設二端網(wǎng)絡N的輸入電壓與電流的相量為 電流的共軛復數(shù)為 8 8 5復功率 復功率 單位為伏安 VA 復功率可表述為 復功率等于電壓相量與電流相量的共軛復量的乘積 復功率只是計算用的復量不代表正弦量 因此不能視為相量 復功率的模為視在功率復功率的實部是有功功率復功率的虛部是無功功率 8 8 5復功率 的關系為 8 8 5復功率 功率三角形如圖所示 復功率具有守恒性 視在功率不守恒 圖示電路 求電路消耗的總平均功率 電路功率因數(shù) 電源輸出的復功率 視在功率 無功功率 解 電路的總阻抗為 例8 8 1 電源支路的電流為電路消耗的總平均功率為 功率因數(shù) 電源輸出的復功率 視在功率 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中 電源電壓和電源內(nèi)阻抗一定 怎樣的負載才能獲得最大的平均功率 這是電氣電子技術經(jīng)常遇到的問題 電路的等效信號源和內(nèi)阻抗是一定的 負載阻抗可變 討論獲得最大的平均功率的條件 8 9最大功率傳輸 第一種情況 其中與均可變 電路電流 8 9最大功率傳輸 電流有效值 負載電阻吸收的功率 欲使最大 令 有 8 9最大功率傳輸 此時分母最小 功率 再令 得 所以當 負載可獲最大功率 負載獲得最大功率的條件為 8 9最大功率傳輸 稱為負載阻抗與信號源內(nèi)阻抗共軛匹配 這種匹配也是最佳匹配 在共軛匹配的條件下 負載可以獲得最大功率為 8 9最大功率傳輸 第二種情況 負載阻抗的?？梢愿淖?負載電阻吸收的功率 上式只有分母與有關 對分母求極小值 即是對求極大值 令分母的導數(shù)等于零 即 得 負載獲得最大功率的條件是阻抗的模與電源內(nèi)