微積分(一)綜合練習題2答案(07).pdf

第 1 頁 共 6 頁1 微積分 微積分 微積分 微積分 上冊上冊上冊上冊 綜合練習題綜合練習題綜合練習題綜合練習題 2 2 2 2 參考答案參考答案參考答案參考答案 一一一一 填空題 每小題填空題 每小題填空題 每小題填空題 每小題 2 2 2 2 分 共分 共分 共分 共 20202020 分分分分 1 設 11 1 2 11 x ff x xxx 則 1111111 1 1 121111 21 1 ft xf tf x xxxttx t 解 由令 2 函數(shù) 12ln 2 7 12 arcsin 2 x xxx xf的定義域區(qū)間 解 1 2 1 1 2 3 已知函數(shù) 2 2 f xxx的單增區(qū)間是 0 1 解 2 22 0 1 0 1 0 2 2 x fxxxfx xx 當時 單增區(qū)間是 0 1 4 1 1 2 xx e xf x 的可去間斷點為 0 x0 補充定義 0 xf 2時 則函 數(shù)在 0 x處連續(xù) 22 0011 1212 limlim2 limlim 1 1 1 1 xx xxxx exex x xx xx xx x 解 5 若 xf在x a處可微 則 h hafhaf h lim 0 2 lim lim 00 af h hafafafhaf h hafhaf hh 解 6 如果 1 2 3 4 f xxxxx 則方程 0fx 有 3個實根 解 由羅爾定理可得 7 曲線 1 2 2 2 arctan 2 x x f xe xx 有2條漸近線 解 1 2 2 2 0 lim limarctan0 lim 2 x xxx x f xef x xx 8 已知函數(shù) xf任意階可導 且 2 fxf x 則 xf的n n 2 階導數(shù) 第 2 頁 共 6 頁2 xf n1 nnf x 解 231 2 nfxf xfxf xnf x 9 若 dxxxfCxdxxf 1 ln 2 則 2 1 ln 1 2 xC 2122 11 1 1 1 ln 1 22 xfxdxfx dxxC解 10 1 0 2 1 fxfxxf t dtfxx 設是連續(xù)函數(shù) 且則 解 設 11 00 11 22 22 Af t dtAxdxAAAA 1f xx 二 單項選擇 每小題 2 分 共 10 分 1 函數(shù) 1ln 2 xxxf為 A A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C 非奇非偶函數(shù) D 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2 函數(shù) 1 sinf xx x 則 xf B A 單調(diào) B 有界 C 為周期函數(shù) D 關于原點對稱 3 當0 x時 下列函數(shù)那個是其它三個的高階無窮小 D A 2 x B 1cosx C 1ln 2 x D xxtan 22 2 0 2 2 00 1cos1 0 ln 1 lim 2 tan1sec limlim0 2 tan x xx x xxx x xxx xx xx 解當時而 是其它三個的高階無窮小 4 設 0 0 1 sin 2 xbax x x x xf在x 0 處可導 則 C A 1 0 ab B 0 ab為任意常數(shù) C 0 0 ab D 1 ab為任意常數(shù) 第 3 頁 共 6 頁3 2 00 2 00 1 lim limsin0 1 sin limlim0 xx xx axbbx x x axbb x a xx 解 5 2 2 1 0 dxkx 則k C A 2 B 0 C 1 D 1 2 2ln 1 2 xx ddx 三三三三 計算題 每小題計算題 每小題計算題 每小題計算題 每小題 7 7 7 7 分 共分 共分 共分 共 56565656 分分分分 1 求極限 2 0 sin tansin lim xx xx x 22 00 2 2 22 00 sintantan cos1 limlim sinsin 1 0 sin cos1 tan 2 1 sintan1 2 limlim sin2 xx xx xxxx xxxx xxxxxxx xx xx xxx x 解 2 已知函數(shù) 2 1 1 axbx f x xx 有連續(xù)的導數(shù) 求a b 10 10 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 f xffab xfxaxbaxfxx ffa ab 解可導必連續(xù) 當時 當時 而由可導及連續(xù)有 聯(lián)立 1 2 求解得 3 已知 2 ln 1 xx yee 求y 解y xx x x x ee e e e 2 2 2 1 12 2 xx x xx x ee e ee e 2 2 2 1 1 1 x x e e 2 1 4 設y f arctanx 且f x 二階導數(shù)連續(xù) 求 y 第 4 頁 共 6 頁4 解y 2 1 1 arctan x xf y 22 2 1 2 arctan 1 arctan x xxfxxf 5 求函數(shù) x f xxe的單調(diào)區(qū)間 極值點 凹性 拐點 1 01 2 02 xx fxexxfxexx解 x 1 1 1 2 2 2 fx fx f x 極大值 拐點 U 所以 1 是單調(diào)增區(qū)間 1 是單調(diào)減少區(qū)間 極大值點是 x 1 拐點是 2 2 2 e 6 已知 sin xf x x 為的一個原函數(shù) 求不定積分 2 xfx dx 2 1 2 2 2 2 sinsin2 2 2 sincossin 11 2 cos2sin2sin2 2 2 2222 cos2sin2 2 xfx dxxfxfx dx xx f xfx dxC xx xxxx f x xx xxxx xfx dxxfxf x dxC xx xxx x 解 由已知為的一個原函數(shù) C 7 計算不定積分 2 11 dx x 第 5 頁 共 6 頁5 2 2 22 2 sin cos cos1 cos 1cos1cossin 11 sin1 cot sinsinsin 11 sin xt dxtdt dxtdtdtt ttdt ttt x dtdt tttC ttt x arcxC xx 解令 8 當k為什么值時 廣義積分 2 ln k dx xx 收斂 當k為什么值時 廣義積分發(fā)散 解解解解因為 1 22 2 ln ln ln lim 1 ln b k k k b xdx xdx k xx 而當1 k時 廣義積分發(fā)散 當1k時 11 2 2 11 lim ln 1 ln 1 ln2 b kkk b dx xxkxk 所以當1 k時 積分發(fā)散 當1 k時 廣義積分收斂于 1 1 1 ln2 kk 四四四四 應用題 應用題 應用題 應用題 本題本題本題本題 8 8 8 8 分分分分 已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 2 CaQbQc 需求函數(shù)為 1 QdP e 其中 Q Q Q Q為需求量 C C C C為成本 P P P P為單價 a a a a b b b b c c c c d d d d e e e e都是常數(shù) 且 db 求 1 利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤 2 需求對價格的彈性 3 需求對價格的彈性的 絕對值為 1 時的產(chǎn)量 2 2 max 1 2 2 2 0 2 L xR xC xPQCdeQ QaQbQc ea Qdb