奧數(shù)專題——裂項法(一)(含答案)-.doc

奧數(shù)專題裂項法（一） 同學(xué)們知道：在計算分?jǐn)?shù)加減法時，兩個分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計算。（一）閱讀思考 例如，這里分母3、4是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積，把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式： 即 或 下面利用這個等式，巧妙地計算一些分?jǐn)?shù)求和的問題?！镜湫屠}】 例1. 計算： 分析與解答： 上面12個式子的右面相加時，很容易看出有許多項一加一減正好相互抵消變?yōu)?，這一來問題解起來就十分方便了。 像這樣在計算分?jǐn)?shù)的加、減時，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?jǐn)?shù)可以相互抵消，從而使計算簡化的方法，我們稱為裂項法。 例2. 計算： 公式的變式 當(dāng)分別取1，2，3，100時，就有 例3. 設(shè)符號（ ）、代表不同的自然數(shù)，問算式中這兩個符號所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少？ 分析與解：減法是加法的逆運(yùn)算，就變成，與前面提到的等式相聯(lián)系，便可找到一組解，即 另外一種方法 設(shè)都是自然數(shù)，且，當(dāng)時，利用上面的變加為減的想法，得算式。 這里是個單位分?jǐn)?shù)，所以一定大于零，假定，則，代入上式得，即。 又因為是自然數(shù)，所以一定能整除，即是的約數(shù)，有個就有個，這一來我們便得到一個比更廣泛的等式，即當(dāng)，是的約數(shù)時，一定有，即 上面指出當(dāng)，是的約數(shù)時，一定有，這里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九個約數(shù)。 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 故（ ）和所代表的兩數(shù)和分別為49，32，27，25?！灸M試題】（答題時間：20分鐘）二.嘗試體驗： 1. 計算： 2. 計算： 3. 已知是互不相等的自然數(shù)，當(dāng)時，求?！驹囶}答案】1. 計算： 2. 計算： 3. 已知是互不相等的自然數(shù)，當(dāng)時，求。 的值為：75，81，96，121，147，200，361。 因