微積分拾零：也說(shuō)極限(隨便說(shuō)說(shuō)).docx

微積分拾零：也說(shuō)極限（隨便說(shuō)說(shuō)）v1.2 消化微積分，牛人們花了100年。 微積分難理解。我對(duì)它也是霧里看花。關(guān)鍵是實(shí)數(shù)系。極限這個(gè)運(yùn)算并不是憑空人造出來(lái)的，它只不過(guò)是將實(shí)數(shù)系的一些性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái)，manifest，正象群也不是人造出來(lái)的，也不過(guò)是將對(duì)稱這個(gè)隱藏的普遍現(xiàn)象顯現(xiàn)出來(lái)。 極限直觀上是個(gè)動(dòng)點(diǎn)的過(guò)程，和距離有關(guān)。能無(wú)限接近，實(shí)際上就是（無(wú)限）稠密的體現(xiàn)。而要“看見(jiàn)”這個(gè)，似乎要將點(diǎn)摳掉（x-x0）。Dirichlet函數(shù)將無(wú)理數(shù)有理數(shù)對(duì)應(yīng)不同的數(shù)，按經(jīng)典定義它是不連續(xù)的，但實(shí)際上它還是能在某種程度上某種意義上“連續(xù)”的，這就是勒貝格HenriLebesgue的貢獻(xiàn)。這是因?yàn)橛欣頂?shù)系/無(wú)理數(shù)系都是稠密的。求極限把點(diǎn)摳掉，因?yàn)閷?shí)數(shù)系本身也是“連續(xù)的”（有序稠密的無(wú)窮集合）。它不是可數(shù)的，那是因?yàn)橛锌蓯旱臒o(wú)理數(shù)在，但好在有理數(shù)是稠密的。每個(gè)無(wú)理數(shù)或有理數(shù)附近都有有理數(shù)，所以那些個(gè)雜質(zhì)（無(wú)理數(shù)）也無(wú)關(guān)緊要。實(shí)數(shù)系這時(shí)可以換作有理數(shù)系?？蓴?shù)意味著它能有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，能看作函數(shù)。要讓函數(shù)獲得實(shí)數(shù)系的性質(zhì)，最簡(jiǎn)單的辦法就是找個(gè)數(shù)列（自然數(shù)函數(shù)）。通過(guò)收斂數(shù)列，就能把實(shí)數(shù)系制造出來(lái)。這是很重要的思想。在實(shí)數(shù)集上求極限，顯然只要把實(shí)數(shù)的連續(xù)還原成看得見(jiàn)的稠密。這個(gè)看得見(jiàn)的稠密，直觀上是附近動(dòng)點(diǎn)的無(wú)限接近。用數(shù)列的辦法，也是最經(jīng)典的，就是附近要有任意個(gè)收斂數(shù)列。求極限的結(jié)果只能是個(gè)數(shù)，因?yàn)樗耐寥朗菍?shí)數(shù)系。求極限就是把要驗(yàn)證的對(duì)象和實(shí)數(shù)系比一比，兩者長(zhǎng)得像不象。 連續(xù)是說(shuō)，函數(shù)值只能來(lái)回?cái)[，不能跳。這其實(shí)也是實(shí)數(shù)系的性質(zhì)（遍歷）。所以，說(shuō)來(lái)說(shuō)去，實(shí)數(shù)系就是一把尺。英文的measure就是度量的意思。在勒貝格的世界里Dirichlet函數(shù)是“好的”，因?yàn)楸M管比較怪，但還是點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。只要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，那還是好的函數(shù)，只有那些點(diǎn)集對(duì)點(diǎn)之類的才是壞的函數(shù)，要把他們剔除出去。 打破沙鍋問(wèn)到底，為什么要摳掉，因?yàn)槌砻苓@個(gè)性質(zhì)只能用距離這樣的概念衡量。而這把量距離的尺當(dāng)然有刻度，可這個(gè)刻度還不能在實(shí)數(shù)軸上，實(shí)數(shù)要靠它量，怎么可能上面有刻度？它只在人腦里。所以，實(shí)質(zhì)上是把實(shí)數(shù)和尺上的刻度位置比。這里要分清抽象和具體。每個(gè)函數(shù)的定義域是具體的，它是一個(gè)實(shí)例，可以叫實(shí)軸或區(qū)間。這個(gè)具體的實(shí)例是抽象的實(shí)數(shù)系的具體化(或部分具體化）。所以，求極限x-x0，第一個(gè)x來(lái)自具體的定義域?qū)嵗?，x0來(lái)自抽象的實(shí)數(shù)系（一把尺）。這把尺雖然已經(jīng)是抽象的，但還有比它更抽象的。這把尺還要用另一把“尺”去量。或者說(shuō)，還要用另一些抽象概念去定義尺這個(gè)概念。明白了這一點(diǎn)，就知道了那個(gè)-其實(shí)不像一般書(shū)上說(shuō)的是接近的意思，而是對(duì)照，量一量比一比的意思。 一個(gè)數(shù)列的極限是a，實(shí)質(zhì)上是說(shuō)在實(shí)數(shù)系的a處附近存在這個(gè)收斂數(shù)列?；蛘哒f(shuō)這個(gè)數(shù)列是實(shí)數(shù)系a處的構(gòu)造數(shù)列。因此，這算是個(gè)函數(shù)，數(shù)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)。說(shuō)實(shí)數(shù)展開(kāi)成數(shù)列或級(jí)數(shù)（算是數(shù)列的數(shù)列），實(shí)際上是說(shuō)兩者等價(jià)。等價(jià)不是等于，等于是說(shuō)兩個(gè)東西是同一個(gè)事物，等價(jià)有個(gè)context（上下文），等價(jià)是說(shuō)在這個(gè)context中兩個(gè)東西是相同的。數(shù)列和數(shù)怎么說(shuō)都是兩種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，但在實(shí)數(shù)系上考察，就是等價(jià)的，因?yàn)閮烧叨际菍?shí)數(shù)系的構(gòu)造元。這是一個(gè)很偉大的發(fā)現(xiàn)。 微積分的大廈建筑在極限、連續(xù)的基礎(chǔ)上，也就是建筑在實(shí)數(shù)系上。當(dāng)然微積分還需要?jiǎng)e的思想，這就是線量化思想。這個(gè)想法古希臘和我國(guó)古代也有。 多項(xiàng)式x2是簡(jiǎn)單的。這里的平方可以理解成二維的空間。x2是這個(gè)二維空間的一個(gè)點(diǎn)。平方是x乘x，這個(gè)二維可以理解成笛卡爾積YXY?？臻g是用笛卡爾積定義的。平方不過(guò)是個(gè)二元的序偶。這是因?yàn)槲覀冎豢紤]它的性質(zhì)，而不考慮它的運(yùn)算結(jié)果。這里就有同維不同維的問(wèn)題。x3比x2高維。多項(xiàng)式不是線性的，因?yàn)樗鼈兊倪\(yùn)算會(huì)出現(xiàn)不在同維的情況。線性的運(yùn)算只能在同維中發(fā)生。數(shù)乘是線性的，一般的乘法不是。多項(xiàng)式常說(shuō)的階用其中的最高維定義的。 我們知道多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)要降一階。這是很奇怪的。微積分最基本的思想就是用直線段去逼近（或者叫擬合/代替？）曲線段，用一個(gè)線量去求非線量。結(jié)果它降一階。x是x的一次函數(shù)，而且意義上是距離。這個(gè)認(rèn)識(shí)特別重要。除法是乘法的逆運(yùn)算，所以空間維數(shù)也要變而且對(duì)多項(xiàng)式是反著變。三角函數(shù)求導(dǎo)還是三角函數(shù)。也很奇怪。說(shuō)明還有另外一種“空間”，其中的維數(shù)不是做加減法，而是循環(huán)（想想化學(xué)中那個(gè)天才的苯環(huán)）。我本人一直將數(shù)學(xué)當(dāng)化學(xué)來(lái)看。我就發(fā)現(xiàn)還真能對(duì)上號(hào)。來(lái)看虛數(shù)單位i,i的冪是循環(huán)的。這個(gè)認(rèn)識(shí)很普通，但很重要。這大概就是subtle。三角函數(shù)和i密切相關(guān)。x軸對(duì)應(yīng)cos，y軸對(duì)應(yīng)sin。如果要定義三角函數(shù)的空間，可以用i。我們知道集合中的元素最好要有序。如果把函數(shù)看成元素，也就是空間的點(diǎn)，我們最好函數(shù)像自然數(shù)那樣也能排列。多項(xiàng)式能這樣排列是顯然的。但三角就比較特別，它可以看作是單位圓上的循環(huán)。這有點(diǎn)像有機(jī)化學(xué)里無(wú)處不在的苯環(huán)。有機(jī)化學(xué)比無(wú)機(jī)好學(xué)，三角也比多項(xiàng)式要好對(duì)付。由于三角函數(shù)的空間與眾不同，他的用處就很大。有一半的數(shù)學(xué)是建立在三角上面的，還有一半大概就是多項(xiàng)式的領(lǐng)地了。由于它循環(huán)，所以那個(gè)無(wú)窮維的情況實(shí)際上就不存在。這就意味著任何情況都是可控的，可以預(yù)知的。這在計(jì)算上就有大用處。極限本身并不降維（對(duì)多項(xiàng)式是降階）。求導(dǎo)降維是除法的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)要做一次除法。 求導(dǎo)似乎是求瞬時(shí)變化率/斜率。這是從應(yīng)用的角度說(shuō)的。換種說(shuō)法，求n次導(dǎo)實(shí)際上在維上依次得到了函數(shù)序列（數(shù)列就是在自然數(shù)上的得到的序列），而一個(gè)個(gè)具體的函數(shù)（不管是多項(xiàng)式還是三角）就像上面說(shuō)的不過(guò)是空間中的一個(gè)個(gè)點(diǎn)。二階導(dǎo)數(shù)并不是一種單一的運(yùn)算，而是接連做兩次，甚至從理論上說(shuō)還不需要真的連著做。這和冪是一樣的，不是單一的運(yùn)算。因此，求導(dǎo)顯然是一種一元的作用在函數(shù)上的運(yùn)算。下面我們還會(huì)說(shuō)到這個(gè)運(yùn)算還是線性的，盡管它工作在n維上。 空間有維（或者叫有序），求導(dǎo)就是在這些不同維空間中開(kāi)辟了一條線性的通道。不過(guò)，數(shù)是沒(méi)有維的，因?yàn)樗屈c(diǎn)，它由任意數(shù)的0次方獲得。微積分被認(rèn)為是有史以來(lái)最偉大的發(fā)明（還有一個(gè)可能是群），奧妙照我理解就在這里。線性運(yùn)算早就在那里了，但它有限制，只能同維，導(dǎo)數(shù)不得了，它打通了樓層的天花板，在天花板上鉆了個(gè)洞。為什么會(huì)成功？這個(gè)可以用拓?fù)涞母拍顏?lái)理解。拓?fù)浜孟窬褪窍鹌つさ牟蛔冃再|(zhì)（數(shù)學(xué)只研究不變的永恒的），想象一根針在橡皮膜上使勁扎，不管怎么扎，總是不會(huì)戳破。所以拓?fù)涫谴蛲司S以后進(jìn)行研究。有維的是具體的空間，把空間用拓?fù)涞母拍钜话慊院缶偷玫揭粋€(gè)沒(méi)有維的空間（無(wú)窮維），也就是一個(gè)抽象的空間。具體的空間是它的實(shí)例，也就是它的子集。（一個(gè)個(gè)函數(shù)是點(diǎn)） 代表未知量的符號(hào)一般認(rèn)為是數(shù)的抽象，是個(gè)占位的東西。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，還不是一回事。數(shù)乘得到的是同維的點(diǎn)，這是點(diǎn)的運(yùn)算。符號(hào)相乘是點(diǎn)集的運(yùn)算，得到的是新的函數(shù)，而且通常是不同維的。因?yàn)榉?hào)其實(shí)是個(gè)序偶的集合。這也是很微妙的。乘法和加法都可以跑到新的空間中去。但有點(diǎn)不同。多項(xiàng)式相加并不是真的創(chuàng)造出一個(gè)新的，而是幾個(gè)原有的聯(lián)合或者叫組合。這里所謂組合，其實(shí)就是collection集合的意思，集合中的元素可以無(wú)序。換句話說(shuō)，加法是在維上（當(dāng)然可以是同維）又取了個(gè)子集。加法的這個(gè)性質(zhì)也很重要。 說(shuō)到拓?fù)?，再補(bǔ)充一下。高次多項(xiàng)式的圖形比低次要更彎，也就是更扭曲，也就是說(shuō)高維的比低維的要更扭曲。直線段當(dāng)然就是平坦。上面說(shuō)針扎，就是說(shuō)你不管怎么扭曲那個(gè)橡皮膜。拓?fù)渚褪茄芯咳我馀で臻g的不變性質(zhì)，至少如此吧。這一點(diǎn)似乎和微積分沒(méi)什么關(guān)系，其實(shí)關(guān)系很大。 那么為什么線量化管用？有一條很難證明的定理：兩點(diǎn)之間直線段最短。多項(xiàng)式是曲線，有階（有維），而直線段很特別，它本身代表了一個(gè)最值。對(duì)多項(xiàng)式而言，倒不是數(shù)是最基本的，而是直線段。下面我們會(huì)看到這個(gè)直線段其實(shí)就是標(biāo)架的一根軸。多項(xiàng)式最后拖一個(gè)數(shù)，它又會(huì)變得特別，因?yàn)閮烧卟皇峭活?。而?duì)具體空間的運(yùn)算（它的實(shí)例是多項(xiàng)式的乘法）還就是個(gè)代數(shù)運(yùn)算，下面會(huì)看到。所以線量化一定管用，而且處處管用。因?yàn)檫@是世界的普遍公理，對(duì)最基本的對(duì)象進(jìn)行最基本的運(yùn)算能得到復(fù)雜的。（這叫袋鼠最牛定理）那有人會(huì)問(wèn)那個(gè)無(wú)窮小的量到哪里去了。沒(méi)了，消失了，到黑洞里面去了。x2/x3，好比要將二維的降三維。結(jié)果一定是變成點(diǎn)（坍縮成黑洞）。點(diǎn)坍縮坍縮，直到黑洞。軸的0附近存在無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)窮小。0和無(wú)窮小是等價(jià)的。只不過(guò)這個(gè)無(wú)窮小0很特別。數(shù)字0是個(gè)怪物，傳統(tǒng)上看它還不是數(shù)。0應(yīng)該說(shuō)是個(gè)位置，它兩邊等距的都能復(fù)合，正負(fù)對(duì)撞，就是說(shuō)能湮滅。它代表了中性位置。所以，對(duì)0進(jìn)行任何運(yùn)算都是沒(méi)有意義的（史前的說(shuō)法）。距離這個(gè)東西一定要大于0。但牛人們硬是創(chuàng)造出了一個(gè)0，一個(gè)真正的數(shù)，而絕不是一個(gè)虛幻的概念。0創(chuàng)造出來(lái)以后，就和其他的數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，當(dāng)然這是在微積分的世界。極限的運(yùn)算和普通的四則運(yùn)算一樣，也是代數(shù)運(yùn)算。也就是說(shuō)它有個(gè)好處，無(wú)窮小0和代數(shù)中那個(gè)0是一樣的。就和那個(gè)i一樣，是能和實(shí)數(shù)混在一起用同一種法則運(yùn)算的。因此，雖然發(fā)明了一種希奇的運(yùn)算，但無(wú)窮小還是0，沒(méi)什么不一樣。是0，當(dāng)然就能湮滅，就能消失。但因?yàn)榍髮?dǎo)是降維的，所以最好理解成坍縮的點(diǎn)（黑洞）。也就是說(shuō)極限將代數(shù)運(yùn)算包了進(jìn)來(lái)，還進(jìn)行了擴(kuò)展。 0在代數(shù)中不能做除數(shù)，但在微積分世界就可以。這是有點(diǎn)奧妙的。根源還在于0在代數(shù)中受到歧視。0如果可以在代數(shù)中做除數(shù)，那就意味著0處就可以得到所有的數(shù)，這和代數(shù)世界的數(shù)由自然數(shù)1得到是矛盾的。因此0就只能另作他用了。而在微積分世界里，0和其他數(shù)一樣。真的一模一樣？還是有點(diǎn)不一樣。0是黑洞，常數(shù)求導(dǎo)以后都要變成0。我們知道常數(shù)是0維，那0是幾維，沒(méi)人知道。因此可以在感情上認(rèn)為0在微積分世界里是個(gè)用來(lái)創(chuàng)生的東西。之所以能做除數(shù)，關(guān)鍵在于極限是工作在函數(shù)上的，而不像小學(xué)除法是在數(shù)上，因此能對(duì)函數(shù)變形。 中學(xué)里我們知道乘法就是加法，但這個(gè)說(shuō)法推廣以后只對(duì)數(shù)成立，也就是只對(duì)具體空間中的點(diǎn)成立。我們還發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式求導(dǎo)后階數(shù)變成了系數(shù)。也就是空間之間的除法（降維）變成了空間內(nèi)部的乘法（即加法）?？梢?jiàn)，它要保證某種東西不發(fā)生變化。這個(gè)不變的，應(yīng)該就是加法。積分的基礎(chǔ)是先乘后和，也就是加法。如果說(shuō)求導(dǎo)是降維，那積分就是升維。加法是最基本的東西，用直線段去逼近，方法就是加法。上面說(shuō)的那個(gè)普遍公理，那個(gè)“得到”的途徑就是加法，而且恐怕還只能是加法。加法是天生的。它有個(gè)好處，什么都能加，同維的能加，不同維的也能加。同維的加是乘法，不同維的加算是一種聯(lián)合/組合/串聯(lián)。兩個(gè)不同維加起來(lái)的東西，我們無(wú)法比較他們的大小，除非他們完全一樣，這時(shí)候我們應(yīng)該叫他們等同。向量的加法，是三角形法則，實(shí)質(zhì)上是在對(duì)應(yīng)分量上做同維的加法，同維的東西才有大小的概念（也就是等于）。等于是序關(guān)系，有等于必有大于小于。因此，加法和乘法推廣以后就分道揚(yáng)鑣了。 之所以能打通維，也就說(shuō)在扭曲空間里線量化走得通，因?yàn)楸澈笫羌臃?。求?dǎo)一種說(shuō)法是研究微觀局部的性質(zhì)。求導(dǎo)沒(méi)有出現(xiàn)加法，它求得是一個(gè)局部的線量，而且是極限方法。這個(gè)線量不在同維，在低一維，而實(shí)際上在低一維獲得的也不是真正的線量（極限的關(guān)系）。這樣遞推下去，顯然就只能在最低維（0維）上獲得的數(shù)算是真正的線量了（那個(gè)數(shù)圖上看就是平行x軸的線），因此要反推回去，就做加法。求導(dǎo)和遞歸有點(diǎn)像。極限有個(gè)好處，它能讓某些東西坍縮掉。求導(dǎo)實(shí)際上是求f(g(x),g(x)=x的極限，是個(gè)復(fù)合函數(shù)。大部分函數(shù)，至少多項(xiàng)式和三角，都能看作是一長(zhǎng)串函數(shù)復(fù)合起來(lái)的，是點(diǎn)的序列或者樹(shù)。復(fù)合函數(shù)求極限，那個(gè)極限可以放到函數(shù)里面（交換次序）。這意味著對(duì)f求一次導(dǎo)和求10次是相同的，因?yàn)槟莻€(gè)lim可以一直放到函數(shù)的最深一層（復(fù)合可以看作嵌套）。注意，不是對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)。而對(duì)x不管求多少次導(dǎo)還是得到一個(gè)1。注意，不是依次求，而是同時(shí)求。這里有個(gè)多變量的情況。同時(shí)求就是說(shuō)沿不同的路徑求。如果是單變量，同時(shí)求可以理解成沿不同的收斂數(shù)列求。因此要降到最低維，只需要做一次求導(dǎo)。降到最低維特別重要，因?yàn)橹挥性谀抢锊拍塬@得真正的線量，這個(gè)東西是建筑材料磚頭。這（x）是微積分世界最基本的東西。就像在代數(shù)世界，我們有個(gè)自然數(shù)1。這里微積分中，我們也有一個(gè)可以用來(lái)創(chuàng)生的點(diǎn)。這個(gè)1是個(gè)線量，構(gòu)造出一維二維等等。這個(gè)構(gòu)造的過(guò)程，就是反推回去做加法。這樣獲得的是低一維的函數(shù)，之所以低一維，是商的關(guān)系。因?yàn)榍髽O限獲得的只能是點(diǎn)，求導(dǎo)獲得的是低維的點(diǎn)。點(diǎn)只能由點(diǎn)坍縮獲得（只討論微積分），而有些東西是加出來(lái)的，換句話說(shuō)，它還是個(gè)集合一樣的東西，要讓它變成點(diǎn)，只能是一個(gè)點(diǎn)坍縮成點(diǎn)（高維到低維），其他都坍縮成黑洞（零）。求導(dǎo)就能保證其他的都坍縮成黑洞，只有一個(gè)坍縮成點(diǎn)。道理還是上面的復(fù)合和x。那個(gè)最深一層，或者叫序列的盡頭，是被x牢牢占據(jù)的，它一定是最深的。那個(gè)返回的過(guò)程，做加法，怎么加，就是積分。所以求積分就是求原函數(shù)。由于遞歸，求導(dǎo)實(shí)際上包含了兩個(gè)過(guò)程，先坍縮到1，然后再回去。在坍縮到1的過(guò)程中，該消失的都得消失。因?yàn)橛行┖瘮?shù)經(jīng)受不起，被摧殘成了黑洞，因?yàn)樗麄兊木S不夠高?？梢?jiàn)求導(dǎo)就是抓住最高維。返回去也是必需的，因?yàn)榍髮?dǎo)只除以了一個(gè)x，并沒(méi)有除以x的更高次方。至于為什么求導(dǎo)只除以了一個(gè)x，我想這是物理應(yīng)用的關(guān)系，有它的意義。這個(gè)返回的過(guò)程（積分）從求導(dǎo)本身的公式是看不到的，至于牛人們?yōu)槭裁纯吹搅耍蔷褪翘觳拧?返回去從公式上看是做乘法，其實(shí)做的是加法。加法在同維是乘法（數(shù)乘）。這個(gè)加法