圓錐曲線高考真題專練(含答案).doc

2018年數(shù)學全國1卷設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.解：（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點A的坐標為或.所以AM的方程為或.（2）當l與x軸重合時，.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，.已知橢圓C：（ab0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.解：（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設.從而可設l：（）.將代入得由題設可知.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設，故.即.解得.當且僅當時，欲使l：，即，所以l過定點（2，）2016年數(shù)學全國1卷設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（I）（）；（II）【解析】試題分析：（I）利用橢圓定義求方程；（II）把面積表示為關于斜率k的函數(shù)，再求最值。試題解析：（I）因為，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以.由題設得，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（II）當與軸不垂直時，設的方程為，.由得.則，.所以.過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時，其方程為，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.2013年數(shù)學全國1卷已知圓:,圓:,動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線 C.（）求C的方程；（）是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 【解析】由已知得圓的圓心為（-1，0）,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設動圓的圓心為（，），半徑為R.（）圓與圓外切且與圓內切，|PM|+|PN|=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點，場半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為.（）對于曲線C上任意一點（，），由于|PM|-|PN|=2，R2,當且僅當圓P的圓心為（2，0）時，R=2.當圓P的半徑最長時，其方程為，當?shù)膬A斜角為時，則與軸重合，可得|AB|=.當?shù)膬A斜角不為時，由R知不平行軸，設與軸的交點為Q，則=，可求得Q（-4，0），設：，由于圓M相切得，解得.當=時，將代入并整理得，解得=，|AB|=.當=時，由圖形的對稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.2012年數(shù)學全國1卷設拋物線的焦點為，準線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點.（1） 若，的面積為，求的值及圓的方程；（2） 若三點在同一直線上，直線與平行，且與之有一個公共點，求坐標原點到距離的比值.【解析】（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設，則 點關于點對稱得： 得：，直線 切點 直線坐標原點到距離的比值為。已知為坐標原點，為橢圓：在軸正半軸上的焦點，過且斜率為的直線與交與、兩點，點滿足.(I)證明：點在上；(II)設點關于點的對稱點為，證明：、四點在同一圓上.【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標運算、點與曲線的位置關系、曲線交點坐標求法及四點共圓的條件。【解析】(I),的方程為,代入并化簡得. 2分設,則 由題意得所以點的坐標為.經(jīng)驗證點的坐標滿足方程,故點在橢圓上 6分(II)由和題設知，的垂直平分線的方程為. 設的中點為,則,的垂直平分線的方程為. 由、得、的交點為. 9分,故 ,又 , ,所以 ,由此知、四點在以為圓心,為半徑的圓上. 12分 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點。 （I）求得取值范圍； （II）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得（）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。則由（I）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點的坐標。設點的坐標為：由三點共線，則得。設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程解：（1）由題意得，l的方程為.設，由得.，故.所以.由題設知，解得（舍去），.因此l的方程為.（2）由（1）得AB的中點坐標為，所以AB的垂直平分線方程為，即.設所求圓的圓心坐標為，則解得或因此所求圓的方程為或.設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1) 求點P的軌跡方程；(2) 設點Q在直線x=-3上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 解（1）設P（x,y）,M（x0,y0）,設N（x0,0）, 由得因為M（x0,y0）在C上，所以因此點P的軌跡方程為（2）由題意知F（-1,0）.設Q（-3，t）,P(m,n),則，由得，又由（1）知，故3+3m-tn=0所以，即.學.科網(wǎng)又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點，點N在E上，MANA.（I）當t=4，時，求AMN的面積；（II）當時，求k的取值范圍.【解析】試題分析：（）先求直線的方程，再求點的縱坐標，最后求的面積；（）設，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求.試題解析：（I）設，則由題意知，當時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當時上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系. 平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：(ab0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則，由此可得.因為x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設直線CD的方程為y，設C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因為直線CD的斜率為1，所以|CD|.由已知，四邊形ACBD的面積.當n0時，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足.（I） 證明：點P在C上；（II）設點P關于點O的對稱點為Q，證明四點在同一圓上。解：（I） ，l的方程為，代入并化簡得 2分設，則，得得所以點P的坐標為，驗證得P在橢圓上。6分（II） 由，知，的垂直平分線的方程為設AB的中點為M，則，AB的垂直平分線的方程為聯(lián)立 ，得，9分12分己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為 （）求C的離心率； （）設C的右頂點為A，右焦點為F，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切解： （I）由題設知，的方程為代入C的方程，并化簡得，設則由為B D的中點知故即故所以C的離心率 （II）由、知，C的方程為：A（a，0），F(xiàn)（2a，0），故不妨設9分又故解得（舍去）故連結MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，從而MA=MB=MD，且MAx軸，因此以M為圓主，MA為半徑的圓經(jīng)地A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切。12分已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點,且證明：，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差解：（1）設，則.兩式相減，并由得.由題設知，于是.由題設得，故.（2）由題意得，設，則.由（1）及題設得.又點P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數(shù)列.設該數(shù)列的公差為d，則.將代入得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以該數(shù)列的公差為或.已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程解（1）設由可得又=4因此OA的斜率與OB的斜率之積為所以OAOB故坐標原點O在圓M上.（2）由（1）可得故圓心M的坐標為，圓M的半徑由于圓M過點P（4，-2），因此,故即由（1）可得，所以，解得.當m=1時，直線l的方程為x-y-2=0，圓心M的坐標為（3,1），圓M的半徑為，圓M的方程為當時，直線l的方程為，圓心M的坐標為，圓M的半徑為，圓M的方程為矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為（II）由解得點的坐標為，因為矩形兩條對角線的交點為所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以，即故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支因為實半軸長，半焦距所以虛半軸長從而動圓的圓心的軌跡方程為在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。（I）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為. 設點的坐標為 由題意得 化簡得 . 故動點的軌跡方程為（II）解法一：設點的坐標為，點，得坐標分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點到直線的距離.于是的面積 當時，得又，所以=，解得。因為，所以故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為.解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為 則. 因為, 所以 所以 即 ，解得 因為，所以 故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為.已知曲線.（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）設，曲線與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與曲線交于不同的兩點，直線與直線交于點，求證：，三點共線.解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達定理得：，設，方程為：，則，欲證三點共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點共線得證。已知橢圓，（1） 求橢圓的離心率.（2） 設為原點，若點在橢圓上，點在直線上，且，求直線與圓的位置關系，并證明你的結論.解：（I）由題意，橢圓C的標準方程為。 所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（） 直線AB與圓相切。證明如下：設點A,B的坐標分別為，其中。因為，所以，即，解得。 當時，代入橢圓C的方程，得， 故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。 此時直線AB與圓相切。 當時，直線AB的方程為， 即， 圓心0到直線AB的距離 ，又，故 此時直線AB與圓相切.已知橢圓：（）的離心率為，點，和點都在橢圓上，直線交軸于點M （）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（）設為原點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點Q，使得若存在，求點的坐標；若不不存在，說明理由 解：（）由題意知，又，解得，所以的方程為的斜率，所以方程，令，解得，所以（），同（I）可得，因為所以，設則即，又在橢圓上，所以，即，所以，故存在使得已知橢圓C：（）的離心率為，OAB的面積為1.（I）求橢圓C的方程；（II）設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：為定值.【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）根據(jù)離心率為，即，OAB的面積為1，即，橢圓中列方程組進行求解；（II）根據(jù)已知條件分別求出的值，求其乘積為定值.試題解析：（I）由題意得解得.所以橢圓的方程為.（II）由（I）知，設，則.當時，直線的方程為.令，得，從而.直線的方程為.令，得，從而.所以.當時，所以.綜上，為定值.【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關系、運算求解能力【名師點睛】解決定值、定點的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元思想的運用可有效地簡化運算.已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設O為原點，求證：為定值解：（）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+1（k0）由得依題意，解得k0或0kb0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值.（）解：設橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得，由，可得ab=6，從而a=3，b=2所以，橢圓的方程為（）解：設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）由已知有y1y20，故又因為，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程組消去x，可得易知直線AB的方程為x+y2=0，由方程組消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或所以，k的值為 已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點. （）當直線過右焦點時，求直線的方程；（）設直線與橢圓交于兩點， 的重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內，求實數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （）解：因為直線經(jīng)過，所以,得，又因為，所以，故直線的方程為。（）解：設。 由，消去得 則由，知，且有。由于，故為的中點，由，可知設是的中點，則，由題意可知即即而 所以即又因為且所以。所以的取值范圍是。已知拋物線，圓的圓心為點M。（）求點M到拋物線的準線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂足于AB，求直線的方程.（）解：由題意可知，拋物線的準線方程為：所以圓心M（0,4）到拋物線的距離是 （）解：設P(x0, x02)，A（）B（），由題意得設過點P的圓C2的切線方程為y-x0=k(x- x0) 即， 則 即 設PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 ， 將代入得， 由于是此方程的根，故所以由MPAB,得，解得即點P的坐標為，所以直線l的方程為。設拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值?！窘馕觥浚?）由對稱性知：是等腰直角，斜邊 點到準線的距離 圓的方程為 （2）由對稱性設，則 點關于點對稱得： 得：，直線 切點 直線坐標原點到距離的比值為。如圖，點是橢圓（）的一個頂點，的長軸是圓的直徑，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于，兩點，交橢圓于另一點（）求橢圓的方程；（）求面積取最大值時直線的方程（）由題意得 所以橢圓的方程為（）設，由題意知直線的斜率存在，不妨設為，則直線的方程為 又圓，故點到直線的距離， 所以 又，故直線的方程為 由消去，整理得， 故 所以 設的面積為，則， 所以，當且僅當時取等號所以直線的方程為如圖，設橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）（II）假設圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設軸左側的橢圓上有兩個不同的點，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（I）知，故，如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上（）設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；（）若P是半橢圓x2+=1(x0,。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。如圖,在平面直角坐標系中,分別是橢圓的左、右焦點，頂點的坐標為，連結并延長交橢圓于點A，過點A作軸的垂線交橢圓于另一點C，連結.21世紀教育網(wǎng)版權所有F1F2OxyBCA(第17題)(1)若點C的坐標為,且,求橢圓的方程；(2)若求橢圓離心率e的值.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3. （1）求橢圓的標準方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或（2）當軸時，又，不合題意當與軸不垂直時，設直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點的坐標為，從而因為，所以，解得此時直線方程為或考點：橢圓方程，直線與橢圓位置關系如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓:及其上一點A(2， 4).(1)設圓N與x軸相切，與圓外切，且圓心N在直線