數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理的應(yīng)用.doc

勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì) 吉林省公主嶺市吉林省公主嶺市 大嶺鎮(zhèn)中學(xué)校大嶺鎮(zhèn)中學(xué)校 王雪王雪 勾股定理的應(yīng)用 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1 知識(shí)與技能目標(biāo) 能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件 即勾股定理的逆定理 解決簡(jiǎn)單的實(shí) 際問(wèn)題 2 過(guò)程與方法目標(biāo) 1 學(xué)會(huì)觀察圖形 勇于探索圖形間的關(guān)系 培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念 2 在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形過(guò)程中 提高分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力及滲 透數(shù)學(xué)建模的思想 3 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 1 通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 2 在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中 體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性 體現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù) 學(xué) 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn) 探索 發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理 并用它們解決生活 實(shí)際問(wèn)題 難點(diǎn) 利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形 利用勾股定理及逆定理 解決 實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程 1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境 引入新課 前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理 你還記得它有什么作用嗎 在直角三角形 ABC 中 已知 AB AC BC 中的任意兩邊可以求出第三邊的長(zhǎng) 若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為 2 4 x 則 x 的值是多少 2 講授新課 1 甲 乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn) 某日早晨 8 00 甲先出發(fā) 他以 6 km h 的速度向正東行走 1 時(shí)后乙出發(fā) 他以 5 km h 的速度向正北行走 上午 10 00 甲 乙兩人相距多遠(yuǎn) B C A 分析 首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 解 如圖 根據(jù)題意 可知 A 是甲 乙的出發(fā)點(diǎn) 10 00 時(shí)甲到達(dá) B 點(diǎn) 則 AB 2 6 12 千米 乙到達(dá) C 點(diǎn) 則 AC 1 5 5 千米 在 Rt ABC 中 BC2 AC2 AB2 52 122 169 132 所以 BC 13 千米 即甲 乙兩人相 距 13 千米 2 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 中記載了一道有趣的問(wèn)題 這個(gè)問(wèn)題 的意思是 有一個(gè)水池 水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為 10 尺的正方形 在水池正中央有一 根新生的蘆葦 它高出水面 1 尺 如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊 它的頂端恰好 到達(dá)岸邊的水面 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少 我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 解 如圖 設(shè)水深為 x 尺 則蘆葦長(zhǎng)為 x 1 尺 由勾股定理可求得 x 1 2 x2 52 x2 2x 1 x2 25 解得 x 12 則水池的深度為 12 尺 蘆葦長(zhǎng) 13 尺 3 一棵與地面垂直的大樹 在臺(tái)風(fēng)中咔嗒一下 從樹中間折斷了 一棵與地面垂直的大樹 在臺(tái)風(fēng)中咔嗒一下 從樹中間折斷了 樹斷后 斷了的部分到地面為樹斷后 斷了的部分到地面為 3m 3m 樹根所處地到樹頂為樹根所處地到樹頂為 4m4m 問(wèn) 大樹 問(wèn) 大樹 原來(lái)多高 原來(lái)多高 分析 首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 B A C D 大樹的原來(lái)高度是 AB 折斷之后 BC CD AB 設(shè)大樹原來(lái)有設(shè)大樹原來(lái)有 x x m m 則樹頂?shù)秸蹟嗖糠譃閯t樹頂?shù)秸蹟嗖糠譃?x 3x 3 m m 由勾股定理得 由勾股定理得 32 42 x 3 232 42 x 3 2 9 16 x 3 29 16 x 3 2 25 x 3 225 x 3 2 x 3 5 x 3 5 x 8x 8 3 2 20 B A 答 大樹原來(lái)高答 大樹原來(lái)高 8m 8m 4 一架長(zhǎng)一架長(zhǎng) 25m25m 的梯子斜靠在一豎直的墻上的梯子斜靠在一豎直的墻上 這時(shí)梯子的底端距墻這時(shí)梯子的底端距墻 7m7m 當(dāng)梯子的頂端 當(dāng)梯子的頂端 A A 沿沿 墻壁下滑墻壁下滑 4m4m 至至 C C 處時(shí) 梯子的底端處時(shí) 梯子的底端 B B 是否也向外滑動(dòng)是否也向外滑動(dòng) 4m 4m 說(shuō)明你的理由 說(shuō)明你的理由 由圖可知 OB 7 AB CD 25 AC 4 在直角三角形 ABO 中 由勾股定理得 OA 24 OC OA AC 24 4 20 在直角三角形 ODC 中 由勾股定理得 222 DCODOC 222 2520 OD OD 15 BD OD OB 17 7 8 梯子的底端 B 向外滑動(dòng) 8m 7m A C D 25 m 25m 5 如圖 有一張直角三角形狀紙片ABC 兩直角邊AC 6 cm BC 8 cm 現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊 使它落在斜邊AB上 且與AE重合 你能求出CD的長(zhǎng)嗎 解 解 設(shè)CD x cm 由題意知DE x cm BD 8 x cm AE AC 6 cm 在 Rt ABC中 由勾股定理得AB 10 cm AC2 BC2 于是BE 10 6 4 cm 在 Rt BDE中 由勾股定理得 42 x2 8 x 2 解得x 3 故CD的長(zhǎng)為 3 cm 6 如圖 臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物 它怎么走最近 并求出 最近距離 222 ABOBOA 222 257 OA 解答 2222 152062525AB 7 如圖 在一個(gè)圓柱石凳上 若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處 恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息 于是它想從A處爬向B處 你們想一 想 螞蟻怎么走最近 學(xué)生分為 人活動(dòng)小組 合作探究螞蟻爬行的最短路線 充分討論后 匯 總各小組的方案 在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法 通過(guò)具體計(jì)算 總結(jié)出最短路線 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn) 沿圓柱體母線剪 開后展開得到矩形 研究 螞蟻怎么走最近 就是研究?jī)牲c(diǎn)連線 最短問(wèn)題 引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法 學(xué)生很容易算出 情形 1 中A B的路線長(zhǎng)為 AAd 情形 2 中A B的路線長(zhǎng)為 2 d AA 所以情形 1 的路線比情形 2 要短 學(xué)生在情形 3 和 4 的比較中出現(xiàn)困難 但還是有學(xué)生提出用剪刀沿 母線AA 剪開圓柱得到矩形 情形 3 A B是折線 而情形 4 是線段 故 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷 4 較短 最后通過(guò)計(jì)算比較 1 和 4 即 可 如圖 1 中A B的路線長(zhǎng)為 AAd 2 中A B的路線長(zhǎng)為 AAA B AB 3 中A B的路線長(zhǎng)為 AO OB AB 4 中A B的路線長(zhǎng)為 AB 得出結(jié)論 利用展開圖中兩點(diǎn)之間 線段最短解 決問(wèn)題 在這個(gè)環(huán)節(jié)中 可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體 具體觀察 接下來(lái)后提問(wèn) 怎樣計(jì)算AB 8 如圖 一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā) 沿長(zhǎng) 方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處 三條棱長(zhǎng)如圖所示 問(wèn)怎樣走路線最短 最短路線長(zhǎng)為多 少 解 解 螞蟻由A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到C1點(diǎn) 有三種方式 分別展成平面圖形如下 如圖 在 Rt ABC1中 AC AB2 BC 42 32 52 25 2 12 1 故AC1 5 如圖 在 Rt ACC1中 AC AC2 CC 62 12 37 2 12 1 如圖 在 Rt AB1C1中 AC AB B1C 52 22 29 2 12 12 1 25 29 37 沿圖 的方式爬行路線最短 最短的路線是 5 點(diǎn)技巧點(diǎn)技巧 巧展長(zhǎng)方體 求解此類問(wèn)題時(shí)只需對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行部分展開 畫出局部的展開圖 若將長(zhǎng)方體全部展 開 不僅沒(méi)有必要反而會(huì)擾亂視線 2 圓柱體 或圓錐體 面上的兩點(diǎn)間的最短距離 圓柱體 或圓錐體 是立體圖形 從其表面看兩點(diǎn)之間的連線絕大部分是曲線 那么怎 樣確定哪一條是最短的呢 解決問(wèn)題的方法是將圓柱 或圓錐 的側(cè)面展開 轉(zhuǎn)化為平面圖 形 應(yīng)用勾股定理解決 而不能盲目地憑感覺(jué)來(lái)確定 9 圓柱形玻璃杯高為圓柱形玻璃杯高為 12cm12cm 底面周長(zhǎng)為 底面周長(zhǎng)為 18cm18cm 在杯內(nèi)離杯底 在杯內(nèi)離杯底 4cm4cm 的點(diǎn)的點(diǎn) C C 處有一滴處有一滴 蜂蜜 此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁 離杯上沿蜂蜜 此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁 離杯上沿 4cm4cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A A 處 則螞蟻到達(dá)蜂蜜處 則螞蟻到達(dá)蜂蜜 的最短距離為多少厘米 的最短距離為多少厘米 F D E B A CM A 由題可知 BD EF 12 AB A B CE 4 CM DE 9 A M 12 在直角三角形 A MC 中 A C 15 最短距離為 15cm 師生相互交流總結(jié) 1 解決實(shí)際問(wèn)題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解 2 在尋求最短路徑時(shí) 往往把空間問(wèn)題平面化 利用勾股定理及其逆定理 解決實(shí)際問(wèn)題 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 輪船在大海中航行 它從 A 點(diǎn)出發(fā) 向正北方向航 20 遇到冰山后 又折向 東航行 15 則此時(shí)輪船與 A 點(diǎn)的距離為 2 學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃 有極少數(shù)人為了避開拐角走 捷徑 在花圃內(nèi)走出 了一條 路 他們僅僅少走了 步路 假設(shè) 2 步為 1 米 卻踩傷了花草 B E F D 225912 2222 MCMACA 3 校園內(nèi)有兩棵樹 相距 12m 一棵樹高 13m 另一棵樹高 8m 一只小鳥從一棵 樹的頂端飛到另一棵樹的頂端