穿針引線聯(lián)珠合璧——對一道課本習(xí)題的探究.pdf

數(shù)學(xué)通報2 0 0 8 年第4 7 卷第2 期 穿針引線聯(lián)珠合璧 對一道課本習(xí)題的探究 王忠 江蘇省海安高級中學(xué) 蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選修 2 2 6 6 0 0 解設(shè)圓的半徑為 Z a a 0 連接 P F 則 2 一1 數(shù)學(xué)第 29 頁習(xí)題 2 2 1 中第 7 題 探究 拓展 操作題 準(zhǔn)備一張圓形 紙片 在圓內(nèi)任取不同于圓心 的一點 F 將紙片折起 使圓 周過點 F 如圖 1 然后將紙 片展開 就得到一條折痕 1 這樣繼續(xù)折下去 得到若干折 痕 觀察這些折痕圍成的輪 廓 它們形成了什么曲線 田 1 這道題幾何背景深刻 耐人尋味 筆者在教 完本章內(nèi)容后與學(xué)生一起開展了一次數(shù)學(xué)探究活 動 通過探究 不僅溝通了教材中的另外兩個操 作題 教材第 42 頁第 12 題 第 48 頁第 n 題 還 銜接了教材中的兩篇閱讀材料 教材 2 一1 第 52 頁至 53 頁 以及教材 2 一2第 38 頁的閱讀材料 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì) 更為重要的是通過探 究 師生共同提出并解決了一系列相關(guān)的數(shù)學(xué)問 題 體驗了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程 1 探究 問題 1 如圖2 已知一定圓 圓心為 0 F為 圓內(nèi)一定點 M 為圓周上任意一點 直線 1 為線段 MF垂直平分線 交圓0于C D兩點 設(shè) C D與 線段O M交于尸點 求點 P的軌跡 M p F 尸 M 又尸 M 尸 0 氣Za 則尸 F 尸 0 Za F O 所以點 尸的軌跡為以點F 0為焦點 以Za 為實軸長的橢圓 問題 2 已知一定圓 圓心為 0 F為圓內(nèi)一 定點 M為圓周上任意一點 直線 1 為線段MF垂 直平分線 交圓0于C D兩點 設(shè) C D與線段 八 度 F交于N 點 求點 N 的軌跡 解法 1 以直線 F 為x軸 以線段 F O的中 垂線為y 軸建立直角坐標(biāo)系 圖 3 設(shè)圓的半徑 為 Z a a 0 設(shè) F 一 0 0 c 0 M x y N x y 則 x 一 c y 急 二 Z a 又x Z x y Z y 代人得 擴(kuò) 少 礦 所以點 N的軌跡是 以原點為圓心 半徑為 a的圓 圈 2 圖 3 解法2 連結(jié)A N A為坐標(biāo)原點 如圖3 A N分別為F O F M 的中點 則 A N O M A N 一 喜 oM一 所 以 點N的 軌 跡 是 以 原 點 為 圓 心 2一 一 聲 v 聲 一 甲 一 v 一 子 甘 半徑為 a的圓 特別地 當(dāng)M在工軸上時 也滿 足 2 拓展 改變 F點的位置 相對于圓 重新思考原間 題 得到結(jié)論 當(dāng)F點與0點重合時 折痕所形成的輪廓線 萬方數(shù)據(jù) 2 0 0 8年第 4 7 卷第 2 期數(shù)學(xué)通報 為圓 當(dāng)F點在圓上時 所有的折痕都過圓心 當(dāng)F點在圓外時 折痕所形成的輪廓線為雙 曲線 教材第4 2 頁第 12題 問題3 如圖4 已知一定圓 圓心為0 F為 圓外一定點 M為圓周上任意一點 直線1 為線段 MF垂直平分線 交直線 O M于尸點 求點 尸的 軌跡 二 問題4 如圖4 已知一定圓 圓心為0 F為 圓外一定點 M為圓周上任意一點 直線1 為線段 MF垂直平分線 設(shè)直線2 與線段MF交于N點 求點 N的軌跡 圖 一一 尹 夕 十 擴(kuò) 礦 證明1 如圖7 設(shè)橢圓的方程為 a b 0 M x 夕 x 共一c 刁 并0 在以 F Z 為圓心 Za 為半徑的圓上 則 x 一 2 端 Z a 得 N X 一 C加 二一 1 氣二 邢 1 乙 一左 F I M x c 則1 的 方 程為y 一 粵二 一 自 x c 二 X 一 C x 一 Z a 50 y Z as i n 夕 代人得1 的方程為 c ac o s 夕 y一 a s l n 夕一 一 一 一 丁 二一 下 一 一嘆 工一 ac os口 少 林 py 一 一 呂I n口 旦 半 嬰 鳴 絲 畢 酬 與 其 奚 一 1 聯(lián) 立 方 程 a sl n 口sl n 口a一口 圈 4 類似于問 題1 問 題2 1 易得 解略 問題 5 圓錐曲線既有統(tǒng)一的定義 又有相 似的性質(zhì) 那么該如何類似地折出拋物線呢 如果把拋物線看成有一個焦點在無窮遠(yuǎn)處 那么拋物線就可以看成橢圓 因此 我把圖 1中 的圓看成很大 圓心在無窮遠(yuǎn)處 那么圓就可以看 成直線1 然后 把點 F F不在直線1 上 折到該 直線上 如此反復(fù) 折痕所圍成區(qū)域的輪廓就是拋 物線 MI 組 消去 y 又 夢 礦一 2 化簡得到關(guān)于 x的一 元二次方程 a c o s o x 藝 一Z a a 十 c o s 6 c a c o s 口 x a Z c a c o s 口 0 顯然只有一解 從 而 直線 1 與橢圓只有一個交點 所以直線 1 與橢 圓相切 當(dāng)x 一 y 時 結(jié)論仍然成立 圈 5 事實上 如圖5 尸 N是線段MF的垂直平分 線 尸 M上1 P N 與尸 M 相交于點 尸 則 尸 M 尸 F 所以尸點的軌跡是以F為焦點 1 為準(zhǔn)線的拋物 線 因此 折 拋物線 也不一定要用矩形紙片 且 教材上 第 48 頁第 n題 的折法只能得到拋物線 上的一部分 問題6 如圖6 在問題 1 的條件下 求證 直 線C D與所求的軌跡相切 且 尸為切點 圈 7 證明2 如圖8 設(shè)點P 為直線C D上異于尸 的任一點 P M P F 則 P O十P F P O P M O M Za 所以點 P 不在橢圓上 由于P 點的任意性 知直線 C D與橢圓只有一個交點 從 而 直線C D與所求的橢圓相切 而且 當(dāng)點 P 與尸重合時尸 0 P F值最小為Z a 問題7 在問題 1 的條件下 求證 點 尸是直 線C D上到點0 F的距離之和最小的點 萬方數(shù)據(jù) 數(shù)學(xué)通報2 0 0 8 年第4 7 卷第2 期 圖 8 由問題 6 的證明二易知 可以證明問題 6 問題 7對雙曲線與拋物線 而 言 有 類 似 的 結(jié) 論二 在圖7 中 又由于M F 關(guān)于直線 1 對稱 過 尸點作直線1 垂線 得法線 因匕F 尸 N 匕M尸 N 藝F Z P Q 得 a l 今a 從而有圓錐曲線的光學(xué)性 質(zhì) 圖9 圖1 0 圖1 1 從橢圓一個焦點發(fā)出的光線 經(jīng)過橢圓反射 后 反射光線交于橢圓另一個焦點上 個焦點射出的一樣 從拋物線焦點發(fā)出的光線 經(jīng)過拋物線上任 一點反射后 反射光線平行于拋物線的對稱軸 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用 閱讀 教材 2 一1 第 52 頁 以及教材 2 一2 第 38 頁的閱 讀材料 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì) 就能了解古希臘的 刁尼秀斯之耳 的奧秘 以及圓錐曲線的光學(xué)性 質(zhì)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用 問 題 點 尸 x 為 橢 圓 嘗 碧 一 1 J 一J 一 一 v 薩 甲 a z b 乙一 一 b 雙 曲 線 其 一 其 一 1 拋 物 線 2 2 二 上 任 一 獷 a zb 乙一 J J一 廠 一 一 一 一點 則橢圓過該點 P的切線方程為圣 畢 掣 口 口 x o x y o y 1 性 丁 a b 證明 1 一 1 一 二 x 設(shè)切線方程為 y 一y k x 一x k 一 竺夕 存在時 代人方程1 得 b a k x Z 一 Z a Z k k x 一少 x a Z k x 一少 2 一a Z 吞 0 由 4 a k k x 一夕 2 一4 b Z a Z k Z a Z k x 一 所以切線方程為 X一y 口一a 夕 一a Z b Z 二0 得 k 一 bzx y一 一 下 厄 甲 yo 二 一 xo yo 即 器十 鑼 1 當(dāng)k 不 圈 存在時 也滿足 證明 2 1 上任取一點 Q xo 乞 在 橢 圓 示 十 箭 x 么 x 2 a 2 1 擴(kuò) x y 十 y 則 夕 么 夕 一一一一代 燕廠 一 一一 口 展開得亙 土 多 三 些 全全 蘭 二 立里 蘭 身 2 土 全 竺 gU 1 x 2x x a 2 些 些 塾 生 全 絲 b 得 一一 端 獷 端 礦 由 一八 服I l y U J 夕奮 卜 一人 X b Z Z x 十 x a Z 2 夕 少 即橢圓上過這 一一 y X 一 尸 Q 兩 點 的 割 線 斜 率 為 kl b Z Z x x a Z 2 少 夕 而當(dāng)Q越靠近點尸時 x y越 圖 1 1 從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線 經(jīng)過雙曲線 反射后 反射光線是散開的 它們就好像是從另一 靠近于0 所以當(dāng) x 0 這時 y 0 尸 Q兩點 的割線就成為切線 而割線斜率就成為切線的斜 率 所以切線的斜率k 一 b Z x 礦yo 橢圓在該點的 萬方數(shù)據(jù) 2 0 0 8 年第 4 7卷第 2 期數(shù)學(xué)通報 一 獷 擴(kuò) 切線方程為y 竺 亞 a Z 夕 二 一 x yo 即 簫 4 F I 為 雙 曲 線 若 1 a 0 b 0 的 yo y b 2 3 1 雙曲線 拋物線同理推證 左 右焦點 尸為雙曲線上的一點 0為坐標(biāo)原點 求證 F 尸 F 的內(nèi)心在一定直線上 少 護(hù) 尹 護(hù) 課后延續(xù) 課后 學(xué)生還進(jìn)行了進(jìn)一步的探究和拓展 提 提示 同上題 出了不少的新問題 挑選幾題如下 適當(dāng)整理過 1 F 為 橢 圓 霉 十 其 一 1 的 左 一 一且 一 a 擴(kuò)一 一 一 右焦點 尸為橢圓上的一點 0為坐標(biāo)原點 過點 凡 作匕F I P 凡 的角平分線的垂線 垂足為 N 求 線段 O N長的范圍 5 F F Z 為橢圓1 a b 0 的左 1 二 L 刃 遙 不 1 口I VI 子L I 廠廠1 1 一 l r廠 1 少 今 乙 合 eX 一 二 e X 2 F 凡 為雙曲線 l ex 1 任 0 1 a 0 b 0 的 一一 少 夕 一 尹 礦 左 右焦點 P為雙曲線上的一點 0為坐標(biāo)原點 過點F Z 作藝F I P F 的外角的角平分線所在直線 的垂線 垂足為N 求線段 O N長的范圍 提示 O N 1 代 二 1 亡 工n 州 卜e州 卜氣 一 到 乙 合 p F I p F Z e x 任 co 1 a b 0 的左 右焦點 0為坐標(biāo)原點 弦A B過點F 求證 過 點A B的切線與相應(yīng)的準(zhǔn)線交于一點 雙曲 線 拋物線也有同樣的結(jié)論 提示 根據(jù)問題 8的結(jié)論 易得 4 幾點體會 1 在新的課程理念下 教師不是 教教材 而是 用教材 教師的作用就是要挖掘教材的內(nèi) 涵 使之更為豐滿 生動 更具聯(lián)系性 2 教學(xué)中應(yīng)把 探索作為教學(xué)的生命線 布 魯納 通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境 促進(jìn)學(xué)生在活 動中感悟并獲得數(shù)學(xué)知識與思想方法 在知識的 發(fā)生 發(fā)展與運用的過程 中 培養(yǎng)學(xué)生的思維能 力 創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識 3 促進(jìn)課堂互動 創(chuàng)建寬松和諧的學(xué)習(xí)環(huán) 境 教學(xué)中 充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用 以問題為 中心 在重視技術(shù)與應(yīng)用層面的數(shù)學(xué)的同時 更重 視精神與文化層面的數(shù)學(xué) 既要促進(jìn)學(xué)生的個體 活動 觀察 操作 歸納 猜想 驗證 推理 建立模 型 提出方法等 也要促進(jìn)小組活動 討論 合作 交流 互動等 使學(xué)生得到豐富的情感體驗 一 獷一護(hù) 3 F 為 橢 圓 若 右焦點 P為橢圓上的一點 0為坐標(biāo)原點 求證 藝F 尸 凡 外角的角平分線與乙尸 凡X的角平分線 的交點 三角形的旁心 在一定直線上 提示 設(shè)右頂點為 A 圓與 x軸的切點為 A 因過圓外一點向圓引切線 切線長相等 再結(jié) 合橢圓的定義可得 F A F Z A Z a 以及 F A卜 F Z AI 2 解得 F A a I F Z AI a 一 而 F I A a 凡A a 一 所以點 A與A 重合 得證 今考文欲 1 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 實驗 南京 江蘇教育出版社 2 0 0 4 4 2