江蘇省13大市2010-2011調(diào)研測(cè)試數(shù)列專題(附答案).doc

【2010南通一?！吭O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn): 是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【2010南通二模】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，且q0，q1.（1）若a1=qm，mZ，且m1，求證：數(shù)列中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)；（2）若數(shù)列中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)，求證：存在整數(shù)m，且m1，使得a1=qm.【南通2010三?！吭O(shè)數(shù)列an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為q，Sn是其前n項(xiàng)和（1）證明； （2）設(shè)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較q2Sn和Tn的大小. 【2011南通一模】已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其公比為q（1）當(dāng)q時(shí)，在數(shù)列an中： 最多有幾項(xiàng)在1100之間？ 最多有幾項(xiàng)是1100之間的整數(shù)？（2）當(dāng)q1時(shí)，在數(shù)列an中，最多有幾項(xiàng)是1001000之間的整數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）【鹽城2010一?！恳阎獢?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列（）若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,求整數(shù)的值；（）在（）的條件下，試問(wèn)數(shù)列中是否存在一項(xiàng)，使得恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由；（）若（其中，且（）是（）的約數(shù)），求證：數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng).【鹽城2010二?！吭O(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（）.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；（）當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列. 設(shè)是數(shù)列 的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù).【鹽城2011一?！恳阎獢?shù)列滿足前項(xiàng)和為,.（）若數(shù)列滿足,試求數(shù)列前項(xiàng)和；（）若數(shù)列滿足,試判斷是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由；（）當(dāng)時(shí),問(wèn)是否存在,使得,若存在,求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【揚(yáng)州2010一模】已知數(shù)列，.求證：數(shù)列為等比數(shù)列；數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說(shuō)明理由；設(shè)，其中為常數(shù)，且，求AB.【揚(yáng)州2010三模】已知數(shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中，。求；證明：數(shù)列為等差數(shù)列；求證：數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，為有理數(shù)。【揚(yáng)州2011一?！繑?shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和是，存在常數(shù)使對(duì)任意正整數(shù)都成立。（1）設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，若，且,求的值。（3）設(shè),且對(duì)任意正整數(shù)都成立，求的取值范圍?！咎┲?011一?！恳阎谥苯亲鴺?biāo)系中，其中數(shù)列都是遞增數(shù)列若，判斷直線與是否平行；若數(shù)列都是正項(xiàng)等差數(shù)列，設(shè)四邊形的面積為，求證：也是等差數(shù)列；若，記直線的斜率為，數(shù)列前8項(xiàng)依次遞減，求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)【南京市2010一?！?設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；是否存在以為首項(xiàng)，公比為的數(shù)列，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由【南京2010二?！吭O(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，Tn1an；數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，Sn1bn（1）設(shè)cn證明數(shù)列cn成等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若Tn(nbnn2)kn對(duì)nN*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【南京2010三?！吭跀?shù)列an中，a11，a na n 13n設(shè)bnan3n（1）求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)的和；（3）設(shè)T2n，求證：T2n3【南京2011一模】將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：已知表中的第一列數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，且.表中每一行正中間一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且.求；記，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【蘇北四市2010一模】已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和（1）若，成等差數(shù)列，證明，也成等差數(shù)列；（2）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍【蘇北四市2010二模】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若是非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”。（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為“和等比數(shù)列”；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，且數(shù)列是“和等比數(shù)列”，試探究與之間的等量關(guān)系?！?010徐州三模】已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和為；ks.5u（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【蘇北四市2011一?！吭诟黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【蘇北四市2011二模】高 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中常數(shù)（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于（2）中數(shù)列，若數(shù)列滿足（），在與 之間插入（）個(gè)2，得到一個(gè)新的數(shù)列，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)m,使得數(shù)列 的前m項(xiàng)的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，說(shuō)明理由.【蘇錫常鎮(zhèn)2010 調(diào)研測(cè)試（一）】已知等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，其前項(xiàng)的和為數(shù)列的前項(xiàng)的和為， 數(shù)列的前項(xiàng)的和為（1）若，求的通項(xiàng)公式；Ks5u（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，比較與的大?。?當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若，問(wèn)是否存在常數(shù)（與n無(wú)關(guān)），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【蘇錫常鎮(zhèn)2010 調(diào)研測(cè)試（二）】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且（1）求a2，a3的值，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）解不等式【蘇州2010屆高三調(diào)研測(cè)試】已知數(shù)列滿足：數(shù)列滿足。（1）若是等差數(shù)列，且求的值及的通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和；（3）當(dāng)是公比為的等比數(shù)列時(shí)，能否為等比數(shù)列？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由?！咎K州2011一模】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知.求,及；設(shè)，若對(duì)一切,均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【江蘇省2011屆蘇州市高三學(xué)情調(diào)研】已知等差數(shù)列的公差是，是該數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）試用表示，其中均為正整數(shù)；（2）利用（1）的結(jié)論求解：“已知，求”；（3）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，試類比問(wèn)題（1）的結(jié)論，寫出一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論且給出證明，并利用此結(jié)論求解問(wèn)題：“已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.”【無(wú)錫市2010年秋學(xué)期高三期末考試】由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用表示第行第個(gè)數(shù)（），使，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)的之和。設(shè)第行中各數(shù)之和為。 （1）求； （2）用表示；（3）試問(wèn)：數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，（）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！緹o(wú)錫市2011一?！?已知數(shù)列的首項(xiàng)，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2） 記，若，求最大的正整數(shù)（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【2011常州教育學(xué)會(huì)學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)】【2010南通一?！?【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d. 由已知得 2分即解得4分.故. 6分（2）由（1）知.要使成等差數(shù)列，必須，即，8分.整理得， 11分因?yàn)閙，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列. 15分【2010南通二?！孔C明：（1）設(shè)為等比數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，由，得2分又，且，所以所以是數(shù)列的第項(xiàng) 6分（2）等比數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)，令，由，得，令整數(shù)，則9分下證整數(shù)若設(shè)整數(shù)，則令，由題設(shè)，取，使 ，即，所以，即12分所以q0，q1，與矛盾!所以15分【2011南通一?！拷猓海?）不妨設(shè)1，設(shè)數(shù)列有n項(xiàng)在1和100之間，則100所以，100兩邊同取對(duì)數(shù)，得 （n1）（ lg3lg2）2解之，得 n12.37故n的最大值為12，即數(shù)列中，最多有12項(xiàng)在1和100之間5分不妨設(shè)1100，其中， ， 均為整數(shù)，所以為2的倍數(shù)所以3100，所以n58分又因?yàn)?6，24，36，54，81是滿足題設(shè)要求的5項(xiàng)所以，當(dāng)q時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)10分（2）設(shè)等比數(shù)列滿足100aaq1000，其中a，aq，均為整數(shù)，顯然，q必為有理數(shù)11分設(shè)q=，ts1，t與s互質(zhì)，因?yàn)?=為整數(shù)，所以a是的倍數(shù)12分令t=s+1，于是數(shù)列滿足 100aaa100如果s3，則1000a（q+1）n14n1，所以n5如果s=1，則1000a100，所以，n4如果s=2，則1000a100，所以n613分另一方面，數(shù)列128，192，288，432，648，972滿足題設(shè)條件的6個(gè)數(shù)，所以，當(dāng)q1時(shí)，最多有6項(xiàng)是100到1000之間的整數(shù)16分【鹽城2010一模】解：（）由題意知，所以由，得3分解得，又為整數(shù)，所以5分（）假設(shè)數(shù)列中存在一項(xiàng)，滿足，因?yàn)椋?）8分 又=，所以，此與（*）式矛盾.所以，這要的項(xiàng)不存在11分（）由，得，則12分 又， 從而，因?yàn)?，所以，又，? 又,且（）是（）的約數(shù),所以是整數(shù),且14分 對(duì)于數(shù)列中任一項(xiàng)（不妨設(shè)），有，由于是正整數(shù)，所以一定是數(shù)列的項(xiàng)16分【鹽城2010二?！俊緭P(yáng)州2010一?！拷猓?，為常數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列-4分取數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)， ，即，數(shù)列中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列； -9分當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；-12分當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)， 的解只有一個(gè)從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；綜上，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。 -16分【揚(yáng)州2010三模】解：由已知，得，。 4分，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列。9分證明：由知， 10分若三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，、為非負(fù)整數(shù)，且，則，得， 12分若，則，得=，這與矛盾。 14分若，則，、為非負(fù)整數(shù)，是有理數(shù)。16分【揚(yáng)州2011一?！?0解：（）時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列 4分（）設(shè)數(shù)列的公差為，分別令得：，即，解得，即等差數(shù)列是常數(shù)列，所以； 7分又，則，因，所以，解得 10分（）當(dāng)時(shí)，所以所以，當(dāng)時(shí)，由得，即所以，又即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，即， 12分，當(dāng)時(shí)且的值隨的增大而減小，即，所以，即的取值范圍是；14分當(dāng)時(shí)且的值隨的增大而增大，即，所以，即的取值范圍是16分【泰州2011一模】由題意、.，. （2分），與不平行. （4分）、為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為和，則，由題意.（6分） ，（8分），是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列. （10分）、，.又?jǐn)?shù)列前項(xiàng)依次遞減，對(duì)成立，即對(duì)成立.（12分）又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，只要時(shí)，即即可.又，聯(lián)立不等式，作出可行域（如右圖所示），易得或.（14分）當(dāng)時(shí)，即，有解；當(dāng)時(shí)，即，有解.數(shù)列共有個(gè). （16分）另解：也可直接由得.又，則或.下同【南京市2010一?！拷猓阂?yàn)?，所?分因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列所以4分當(dāng)時(shí)，6分當(dāng)時(shí)，8分所以要使對(duì)恒成立，只要使只要使，故實(shí)數(shù)的取值范圍為10分由，知數(shù)列中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)如存在以為首項(xiàng)，公比為2或4的數(shù)列，此時(shí)中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列12分當(dāng)時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列當(dāng)時(shí)，若存在以為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列，則，所以滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式為16分【南京2010二?！拷猓海?）由T n1an得：T n1（n2），TnTn1Tn1Tn，1，即cncn 11又T11a1a1，a1，c12，所以數(shù)列cn是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列4分cnc1n12n1n1，Tn，an6分（2）因?yàn)镾n1bn，S11b1b1，所以b1，Sn11bn1（n2），SnSn1bn1bn，2bnbn1（n2）所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以bnb1()n1()n8分因?yàn)門n(nbnn2)kn對(duì)nN*恒成立，所以Tn(bn)k對(duì)nN*恒成立，即()nk對(duì)nN*恒成立設(shè)f(n) ()n則f(n1)()n1因?yàn)?，()n()n10所以f(n)f(n1)所以當(dāng)nN*時(shí)，f(n)單調(diào)遞減11分設(shè)g(n)則g(n1)，g(n1)g(n)所以當(dāng)1n4時(shí)，g(n)單調(diào)遞增；g(4)g(5)；當(dāng)n5時(shí)，g(n)單調(diào)遞減14分設(shè)L(n)f(n)g(n)則L(1)L(2)L(3)，L(3)L(4)L(5)L(6)所以L(3)最大，且L(3)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為，）16分【南京2010三?！浚?）證明：由a na n13n，得a n 13n1（a n3n）即bn1bnb1a1所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公比為1的等比數(shù)列5分（2）解：由bn（1）n1，得a n3n（1）n1，a n3n（1）n13n（1）n17分S na1a2a3an332333n（1）0（1）1（1）2（1）n110分（3）證明：T2n4（）4（）（）4（）（）因?yàn)?2 n132 n1（nN*），所以 （nN*）所以所以T2n8（）83（1）316分【南京2011一?！俊咎K北四市 2010一?！浚?）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，且所以，因?yàn)?，所?4分所以，即所以也成等差數(shù)列 6分（2）因?yàn)?，所以?，由，得，所以，代入，得所以， 8分又因?yàn)椋裕?由題意可知對(duì)任意，數(shù)列單調(diào)遞減，所以，即，即對(duì)任意恒成立， 10分當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)，取得最大值，所以； 12分當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， ，當(dāng)，取得最小值，所以綜上可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍是14分【蘇北四市2010二?！浚?）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以，因此2分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，因此數(shù)列為“和等比數(shù)列”6分(2) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為常數(shù)，且）， 因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以， 所以對(duì)于都成立，化簡(jiǎn)得，10分 則因?yàn)椋裕虼伺c之間的等量關(guān)系為14分【2010徐州三?！拷猓海?）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由，又因?yàn)?，所以?2分由，ks.5u所以 6分(2)由(1)知， 所以， 若成等比數(shù)列，則，即8分解法一：由，可得，所以， 12分ks.5u從而：，又，且，所以，此時(shí)故可知：當(dāng)且僅當(dāng)， 使數(shù)列中的成等比數(shù)列。16分解法二：因?yàn)?，故，即?2分從而：，（以下同上）【蘇北四市2011一模】（1）設(shè)公比為q，由題意得，且即 2分解之得或（舍去），4分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.6分（2）由（1）可得，所以.8分所以，所以，兩式相減得，10分， 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為. 14分【蘇北四市2011二模】解：（1）， 4分，數(shù)列為等比數(shù)列 （2）由（1）知， 8分又， 10分（3）由（2）得，即， 數(shù)列中，（含項(xiàng)）前的所有項(xiàng)的和是： 12分當(dāng)k=10 時(shí)，其和是當(dāng)k=11 時(shí)，其和是又因?yàn)?011-1077=934=4672，是2的倍數(shù) 14分所以當(dāng)時(shí)，所以存在m=988使得 16分【