微分與積分中值定理及其應(yīng)用.doc

黃石理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）第二講 微分與積分中值定理及其應(yīng)用1 微積分中值定理51.1 微分中值定理51.2 積分中值定理62 微積分中值定理的應(yīng)用174.1 證明方程根（零點(diǎn)）的存在性174.2 進(jìn)行估值運(yùn)算194.3 證明函數(shù)的單調(diào)性204.4 求極限214.5 證明不等式22引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中最為重要的內(nèi)容之一，它是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的基礎(chǔ)，是聯(lián)系閉區(qū)間上實(shí)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的橋梁與紐帶，具有重要的理論價(jià)值與使用價(jià)值。1 微積分中值定理微分中值定理羅爾(Rolle)定理: 若函數(shù)滿足如下條件()在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；()在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；(),則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 設(shè)函數(shù)滿足如下條件：()在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；()在開(kāi)區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)；則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 柯西中值定理: 設(shè)函數(shù)和滿足()在a,b上都連續(xù)；()在（a,b）內(nèi)都可導(dǎo)；()和不同時(shí)為零；()，則存在，使得 微分中值定理的推廣羅爾定理的推廣定理1: 設(shè)函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且有，則存在點(diǎn)，使得證明：首先對(duì)A為有限值進(jìn)行論證：令則易知函數(shù)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且由Rolle定理可知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，而在(a,b)內(nèi)有，所以其次對(duì)A=（）進(jìn)行論證：由引理1，在（a,b）內(nèi)能取得最小值（最大值）不妨設(shè)：函數(shù)在處取得最小值（最大值）此時(shí)函數(shù)在處也就取得極小值（極大值）又因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，由Fermat引理，可得綜上所述，從而定理得證定理2: 設(shè)函數(shù)在(a,),內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在（a,)中存在一點(diǎn)，使得定理3: 設(shè)函數(shù)在（，b),內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在（,b)中存在一點(diǎn)，使得定理4: 設(shè)函數(shù)在（，),內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在（,)中存在一點(diǎn)，使得朗格朗日中值定理的推廣定理5: 如果函數(shù)滿足條件：在開(kāi)區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)且存在，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得柯西中值定理的推廣定理6: 如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足條件：都在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得 證明：作輔助函數(shù)A(x),B(x),并且令則A(x),B(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)由Cauchy中值定理可知，至少有一點(diǎn)使得 又當(dāng)時(shí), 即：1.2積分中值定理積分中值定理: 若在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得 .積分中值定理的推廣推廣的積分第一中值定理: 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號(hào),則在至少存在一點(diǎn),使得 第一型曲線積分中值定理: 若函數(shù)在光滑有界閉曲線上連續(xù)，則在曲線上至少存在一點(diǎn)，使。其中表示曲線的長(zhǎng)。第二型曲線積分中值定理: 若函數(shù)在有向光滑閉曲線上連續(xù)，則在曲線上至少存在一點(diǎn)，使 其中為有向光滑曲線在軸上的投影，符號(hào)是由曲線的方向確定。第一型曲面積分中值定理: 若為平面上的有界閉區(qū)域，是光滑曲面，函數(shù)在上連續(xù)，則曲面上至少存在一點(diǎn)，使得 其中是曲面的面積。第二型曲面積分中值定理: 若有光滑曲面：，其中是有界閉區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則在曲面上至少存在一點(diǎn)，使得 其中是的投影的面積。3 微積分中值定理的應(yīng)用3.1 證明方程根（零點(diǎn)）的存在性例1：設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導(dǎo)，則在（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得證明：令，則，又有，易知在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導(dǎo)，故運(yùn)用Lagrange中值定理可得，存在一點(diǎn)，使得，即，所以在（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，故定理得證例2: 設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導(dǎo)，且在閉區(qū)間a,b上，有意義，則在（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得 證明：令，易知和在區(qū)間a,b上滿足Cauchy中值定理?xiàng)l件，故有，,即，所以在（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，故定理得證例1：設(shè)為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程的根不超過(guò)三個(gè).證明：令，則，.用反證法，設(shè)原方程的根超過(guò)程3個(gè)，那么F(x)至少有4個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為 ，那么有羅爾定理，存在,使，再用羅爾定理，存在,使,再用羅爾定理，存在,使,因?yàn)? 所以,矛盾，所以命題得證.例2：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。 證明：一個(gè)，使。證明：令，顯然在上連續(xù)。 可知在上滿足零值定理。故一個(gè)，使。即例3：設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式：。 證明：在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證明：令 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又， ，故羅爾定理成立。 于是，使，即：。故命題得證。例4：設(shè)在上連續(xù)。， 。證明：一個(gè)，使證明：在上連續(xù)，有最值定理有：， 分別為在上最小最大值，于是： ， ， ，由介值定理，一個(gè)，使例5：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)方程至少存在一根。證明:令，顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，而.根據(jù)Rolle定理, 至少存在一點(diǎn)，使.例6：設(shè)在，在，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。證明: ，則在，在，由Lagrange定理，存在一點(diǎn)，使，即，即 例7：設(shè)在，在，證明:在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。證明：令，對(duì)，在上運(yùn)用Cauchy定理，得，即，即. 例8：證明方程 在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根 。（p46,209） 例9:設(shè)拋物線 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)x=a,x=b(a0，證明存在一點(diǎn)，使得證：根據(jù)定理7，令，那么，則存在一點(diǎn)，使得，即，故存在一點(diǎn)，使得例6：證明：若是柱準(zhǔn)面上的部分，是上的連續(xù)函數(shù)，則 證明：設(shè)是在平面的上半部分，為在平面的下半部分，則。由積分區(qū)間的可加性，有： 由于函數(shù)在：上的部分上連續(xù)，所以函數(shù)在上連續(xù)，根據(jù)