等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的證明及應(yīng)用.doc

一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的完善及應(yīng)用黃文憲 福建省南安市新?tīng)I(yíng)中學(xué)摘要：本文所指等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)是指Sm, S2m-Sm, S3m-S2m之間的關(guān)系，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用又常錯(cuò)的命題。很多的課外輔導(dǎo)材料中所給的相關(guān)性質(zhì)都是不完善的，應(yīng)用該性質(zhì)解題存在著邏輯上的缺陷，但又不易察覺(jué)。本文對(duì)該性質(zhì)進(jìn)行了完善與發(fā)展，使得利用該性質(zhì)解題能完整無(wú)誤。關(guān)鍵詞：等比數(shù)列 前項(xiàng)和 性質(zhì) 完善 應(yīng)用在很多的高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料中，都有關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和一個(gè)性質(zhì)：在等比數(shù)列an中，若其前n項(xiàng)和為Sn，mN*,則Sm, S2m-Sm, S3m-S2m也成等比數(shù)列，公比為qm。由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和有相類(lèi)似性質(zhì)的存在，雖然沒(méi)有嚴(yán)格的證明，但在慣性思維作用下，這個(gè)性質(zhì)得到廣大師生的認(rèn)同。其實(shí)，這是一個(gè)假命題，比如有窮等比數(shù)列1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前兩項(xiàng)和、中兩項(xiàng)和及后兩項(xiàng)和,組成的數(shù)列為 0 ,0 ,0 ，顯然不成等比數(shù)列。這說(shuō)明，至少在公比q=-1時(shí)，命題是不成立的。那么，該性質(zhì)應(yīng)如何表述才恰當(dāng)呢？1.1等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及其證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)：在等比數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*，則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。證明：在等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)公比為q (q0),則Sm=a1+a2+am S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=qm(a1+a2+am) S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=q2m(a1+a2+am) 當(dāng)q-1時(shí)，Sm=a1+a2+am0，由得S2m-SmSm=qm 由得S3m-S2mS2m-Sm=qm S2m-SmSm=S3m-S2mS2m-Sm Sm ,S2m-Sm ,S3m-S2m是等比數(shù)列，即有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。當(dāng)q=-1時(shí)若m為偶數(shù)，則Sm=a1+a2+am=0，S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=qm(a1+a2+am)=0S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=q2m(a1+a2+am)=0此時(shí)，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不成等比數(shù)列，但有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)若m為奇數(shù)，則Sm=a1+a2+am=am=a1qm-1=a1，S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=a2m=a1q2m-1=-a1S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=a3m=a1q3m-1=a1 a10, Sm,S2m-Sm ,S3m-S2m成等比數(shù)列，即有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)綜上所述，在等比數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。1.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)析有了等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)，可以直接用它來(lái)解題了嗎？先看以下一道試題幾個(gè)學(xué)生的不同解法：人教A版教輔優(yōu)化設(shè)計(jì)P42，試題7：等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S2=3，S6=63，則S4=_學(xué)生甲：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有： （S4-S2）2=S2（S6-S4）所以（S4-3）2=3（63-S4）S42-3S4-180=0S4=15或S4=-12學(xué)生乙：顯然公比q1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得 a1(1-q2)1-q=3 a1(1-q6)1-q63 得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）q=2或q=-2a1=1q=2或a1=-3q=-2當(dāng) a1=1q=2 時(shí)，S4=a1(1-q4)1-q=15當(dāng)a1=-3q=-2時(shí)，S4=a1(1-q4)1-q=15綜上所述，S4=15.學(xué)生丙：由已知S2=3，S6=63得 a1+a2=3 a1+a2+a3+a4+a5+a6=63 得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a1+a2)q2=3+34=15所以 S4=15.觀察對(duì)比幾位同學(xué)的解法會(huì)發(fā)現(xiàn)，直接利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題，可能會(huì)產(chǎn)生增根，從而得出錯(cuò)誤結(jié)果。甲同學(xué)的解答得出的S4=-12對(duì)應(yīng)于乙同學(xué)和丙同學(xué)解答時(shí)得到的q2=-5，等比數(shù)列不存在。所以性質(zhì)“在等比數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)”的題設(shè)是結(jié)論的充分不必要條件，即在等比數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)一定成立，但滿(mǎn)足(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)的Sm，S2m，S3m不一定是一等比數(shù)列的前m，2m，3m項(xiàng)和。所以探究等比數(shù)列中前m，2m，3m項(xiàng)和的內(nèi)在聯(lián)系成為該性質(zhì)應(yīng)用的必然。1.3等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)分析完善因?yàn)?Sm=a1+a2+amS2m=a1+a2+am+am+1+am+2+a2m=（1+qm）SmS3m=a1+a2+am+am+1+am+2+a2m+a2m+1+a2m+2+a3m=1+qm+q2mSm=（12+qm）2+34Sm,所以m為偶數(shù)時(shí)，1+qm1，則Sm，S2m同號(hào)且Sm0所以 Sm與S3m必同號(hào)。因此，等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)表述為：在等比數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)，（當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，Sm，S2m同號(hào)且SmS2m）。1.4等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題應(yīng)用例1、若某等比數(shù)列中前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為_(kāi).解：m=7為奇數(shù)，S7=48，S14=60，由關(guān)系式(S14-S7)2=S7(S21-S14)可得144=48(S21-60)，所以S21=63.例2、在等比數(shù)列an中，S2=7，S6=91，求S4解：由(S4-S2)2=S2(S6-S4)得S42-7S4-588=0解得S4=28或S4=-21因?yàn)閙=2為偶數(shù)，S2、S4同號(hào)且S2S4，所以S4=28。例3、已知等比數(shù)列an中，前20項(xiàng)和S20=30，前30項(xiàng)和S30=70，求前10項(xiàng)S10。解：由(S20-S10)2=S10(S30-S20)得S102-100S10+900=0解得S10=10或S10=90因?yàn)閙=10為偶數(shù)，S10、S20同號(hào)且S10S20，所以S10=10。例4：已知等比數(shù)列an中，mN*，前2m項(xiàng)和S2m=30，前3m項(xiàng)和S30=70，求前m項(xiàng)Sm。解：由(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)得Sm2-100Sm+900=0解得Sm=10或Sm=90當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，Sm、S2m同號(hào)且SmS2m，Sm=90不合題意，舍去，所以Sm=10。當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，Sm=10或Sm=901.5反思感悟在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多知識(shí)之間聯(lián)系很緊密，知識(shí)的生成過(guò)程中經(jīng)常可進(jìn)行類(lèi)比，這種推理因其“合乎情理”而有利于學(xué)生的接受，促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展。等差數(shù)列和等比數(shù)列關(guān)系緊密，兩者之間在定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等各方面進(jìn)行類(lèi)比是教學(xué)過(guò)程中常態(tài)。由“等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差數(shù)列”類(lèi)比得出“等比數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，mN*則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等比數(shù)列”是一個(gè)很自然的過(guò)程。但合情推理不是邏輯推理，其所得結(jié)論并不一定為真。類(lèi)比所得結(jié)果必須進(jìn)行邏輯證明是克服學(xué)生慣性思維引起錯(cuò)誤的有效方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有很多的性質(zhì)、定理、推論。這些性質(zhì)、定理、推論中，有一些的題設(shè)與結(jié)論是不等價(jià)的，或者說(shuō)題設(shè)是結(jié)論的充分不必要條件。除了本文研究的等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)外，還有很多，比如：函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)關(guān)系函數(shù)的極值點(diǎn)