圓錐曲線間的三個(gè)統(tǒng)一(統(tǒng)一定義、統(tǒng)一公式、統(tǒng)一方程).doc

圓錐曲線間的三個(gè)統(tǒng)一內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班 高卓瑋 指導(dǎo)老師：薛紅梅世界之美在于和諧，圓錐曲線間也有其內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一，通過對(duì)圓錐曲線圖形和已知公式的變換，我們可以得出以下結(jié)論。一、四種圓錐曲線的統(tǒng)一定義動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離到定直線L的距離之比等于常數(shù)e，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓：當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；若，我們規(guī)定直線L在無窮遠(yuǎn)處且P與F的距離為定值（非零），則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，同時(shí)我們稱e為圓錐曲線的離心率，F(xiàn)為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線。二、四種圓錐曲線的統(tǒng)一方程從第1點(diǎn)我們可以知道離心率影響著圓錐曲線的形狀。為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一我們把橢圓、雙曲線進(jìn)行平移，使橢圓、雙曲線的右頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，記它們的半通徑為，則。如圖1，將橢圓按向量（）平移得到 橢圓的半通徑，橢圓的方程可寫成 類似的，如圖2，將雙曲線按向量平移得到 雙曲線的半通徑，雙曲線方程可寫成對(duì)于拋物線P為半通徑，離心率，它也可寫成對(duì)于圓心在（P，0），半徑為P的圓，其方程為，它也可寫成于是在同一坐標(biāo)下，四種圓錐曲線有統(tǒng)一的方程，其中P是曲線的半通徑長(zhǎng)，當(dāng)，時(shí)分別表示圓、橢圓、拋物線、雙曲線。三、四種圓錐曲線的統(tǒng)一焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和焦半徑公式在同一坐標(biāo)系下，作出方程所表示的四種圓錐曲線，如圖3，設(shè)P、B、A、C分別是圓的圓心，橢圓的左焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)統(tǒng)一記為的焦點(diǎn)F則有，即方程所表示的四種圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線為，則有。準(zhǔn)線L為，對(duì)于圓表示準(zhǔn)線L在無限遠(yuǎn)處，設(shè)點(diǎn)為曲線上在y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M對(duì)焦點(diǎn)F的焦半徑。圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一，使我們可以將圓、橢圓、雙曲線和拋物線有機(jī)地聯(lián)系起來，從而更好地理解圓錐曲線的含義，更好地運(yùn)用圓錐曲線解決實(shí)際問題。圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班 高卓瑋 指導(dǎo)老師：薛紅梅在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法尤為重要，通過對(duì)我們平時(shí)所遇到的例題及習(xí)題的歸納、總結(jié)，可以得出以下一些關(guān)于圓錐曲線問題中的數(shù)學(xué)思想方法，幫助我們解決問題。思想方法一：分類討論思想例1. 給定拋物線設(shè)，P是拋物線上的一點(diǎn)，且，試求d的最小值。解：設(shè)，則又，（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 （2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)有 評(píng)注：引起分類討論的情況有：參數(shù)的取值范圍、去絕對(duì)值符號(hào)、大小關(guān)系不等式等，在討論中要思維全面，謹(jǐn)慎，做到不懂不漏。思想方法二：轉(zhuǎn)化思想例2 已知過點(diǎn)A（2，4）且斜率為1的直線L交拋物線于B、C兩點(diǎn)，若|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列，求拋物線方程。解：直線L的方程為設(shè)B（），由 得 |AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列 過A作直線軸，設(shè)B、C在上的射影分別是，則 即得 化簡(jiǎn)為解得滿足或（舍去）故所求的拋物線方程為評(píng)注：如何將“|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列”這一條件轉(zhuǎn)化為A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題巧妙運(yùn)用了“投影”方法將這一條件轉(zhuǎn)化為在水平線上的三線段之間的比例關(guān)系，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。思想方法三：化歸思想例3 直線L：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍。（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)。解：（1）將直線L的方程代入雙曲線C的方程，得 依題意直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則由可得 ， 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0）則由FAFB得整理得： 把式及代入式化簡(jiǎn)得：或（舍去）使得以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F。評(píng)注：解決數(shù)學(xué)問題的過程，實(shí)質(zhì)就是在不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過程。應(yīng)在解題時(shí)注意思維調(diào)控，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化解題途徑，使解題更加便捷。思想方法四：數(shù)形結(jié)合思想例4 函數(shù)的最大值是_。分析：原式=，其幾何模型是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A（3，2），B（0，1）的距離之差，要求其最大值。 評(píng)注：利用問題模型的幾何意義，借助圖形性質(zhì)來解決問題，可使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。思想方法五：函數(shù)與方程思想例5 斜率為2的直線與等軸雙曲線相交于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)直線方程為代入雙曲線方程得直線與雙曲線相交于 或設(shè)的坐標(biāo)為 ，線段中點(diǎn)為則且或 代入直線方程得：所求軌跡方程為 （或）思想方法六：構(gòu)造思想例6 已知滿足，求的取值范圍。解：令=b，則原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓相切時(shí)，有最大截距與最小截距由 消去得由 得的取值范圍為13，13評(píng)注：應(yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有要有明確方向，即為何構(gòu)造要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便進(jìn)行邏輯組合。思想方法七：對(duì)稱思想例7 在直線L：上任取一點(diǎn)過且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓。問在何處時(shí)，所作的橢圓長(zhǎng)軸最短，并求出其方程。解：的兩焦點(diǎn)，是關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)又的直線方程為與聯(lián)立，求得，這時(shí)的方程為 得 這時(shí)橢圓方程為評(píng)注：用對(duì)稱思想解題，不僅可以利用對(duì)稱的性質(zhì)，溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問題的解決。思想方法八：參數(shù)思想例8 在橢圓上，求使取得最大值和最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：將已知方程轉(zhuǎn)化為設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P為=當(dāng)，即點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，當(dāng)，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，評(píng)注：參數(shù)法是很重要的一種方法，特別是求最值問題、不等式問題，引入?yún)?shù)往往能減