線性代數(shù)_作業(yè)冊_習(xí)題冊_答案_青島理工大學(xué).doc

第1章 行列式第1節(jié) 二階與三階行列式 第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)第三節(jié)n階行列式的定義第四節(jié)對換1.求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13(2n-1)24(2n) (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2（11;17; ;）2. 已知排列為偶排列，則 (8,3) .3.計算下列各階行列式：(1) (2) (3) 2000; 0; 4abcdef4. 設(shè)，則的展開式中的系數(shù)為 -1 .5 求二次多項式，使得 ，解 設(shè)，于是由， 得 求如下：，所以 ，故 為所求。第5節(jié) 行列式的性質(zhì) 第六節(jié) 行列式按行（列）展開 第七節(jié)克拉默法則1.階行列式，則展開式中項的符號為( D ). （A）- （B）+ （C） （D）2.如果，求 -123. 已知，計算 -14. 計算行列式 -505.計算下列各行列式（Dk為k階行列式） (1) ,其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0; (2) ; (3) 利用遞推公式來求遞推公式為=(4) (5) 6.問l，m取何值時，齊次方程組有非零解？ 7.某商店經(jīng)營四類商品，四個月的銷售額及利潤額如表所示：商品月次ABCD總利潤140608010027.424060909027.6350608010028.945060909027.9求每類商品的銷售利潤率。（去掉） 第二章 矩陣及其運算第一節(jié) 矩陣 第二節(jié) 矩陣的運算1. 以下結(jié)論正確的是（ C ）（A） 若方陣A的行列式，則。（B） 若，則。（C） 若A為對稱矩陣，則也是對稱矩陣。（D） 對任意的同階方陣A,B有2. 設(shè)A=，B=，C=，計算(1) 2A-3B+2C 3設(shè)A=，B=，求AB-BA 4設(shè)A=，B=，計算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT; ; ; ; 5若，那么 6為三階矩陣，則 2 7已知，則 .8為2005階矩陣，且滿足，則 0 9 計算解： 設(shè) ， 則 ，假設(shè)， 則 ，于是由歸納法知，對于任意正整數(shù)n，有 10證明：若A和B都是n階對稱矩陣，則AB是對稱矩陣的充分必要條件是A與B可交換(略)11證明：若A和B都是n階對稱矩陣，則A+B，A-2B也是對稱矩陣（略）12已知A=PLQ 其中P=，L=，Q=QP=E，計算A2n，A2n+1 （n為正整數(shù)） ； 第三節(jié) 逆矩陣 第四節(jié) 分塊矩陣13設(shè)A、B都是n階矩陣，問：下列命題是否成立？若成立給出證明；若不成立舉反例說明(1) 若A、B皆不可逆，則A+B也不可逆；(2) 若AB不可逆，則A，B都可逆；(3) 若AB不可逆，則A，B都不可逆；(4) 若A可逆，則kA可逆（k是常數(shù)） （略）14設(shè)P-1AP=L，其中P=，L=，求An （略）15設(shè)A為3階矩陣，且 ，求. 16（1）若方陣A滿足 ，試證A+E可逆，并求. （略）（2）設(shè)A是n階矩陣，且，又，試證A+E不可逆 （證明行列式等于零）17解矩陣方程 ，其中，。 18求下列矩陣的逆矩陣：(1) ； (2) ； 19利用逆矩陣解下列方程： (1) 20設(shè)Ak=0 (k為正整數(shù)),證明：(E-A)-1=E+A+A2+Ak-121設(shè)方陣A滿足方程A2-2A+4E=0證明A+E和A-3E都是可逆的，并求它們的逆矩陣22設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=0證明：(1) A和E-A都可逆，并求它們的逆矩陣；(2) (A+E)和(A-2E)不同時可逆23設(shè)冪零矩陣A滿足Ak=0（k為正整數(shù)），試證明E-A可逆，并求其逆矩陣24設(shè)A是實對稱矩陣，且A2=0，證明A=025設(shè)A=，其中B是n階可逆陣，C是m階可逆陣證明A可逆，并求A-126用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣 ； ； 第3章 矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié) 初等矩陣 第二節(jié)矩陣的秩1求矩陣的秩，并求一個最高階非零子式。3； 2設(shè)，問為何值，可使（1）（2）（3） ； 3用初等矩陣判斷方陣是否可逆。若可逆，求解：因為，所以，故不可逆，即不存在。4 用初等矩陣解矩陣方程，其中，.解： 5 用初等矩陣求 其中 解：（上階梯形），有此可看出 25設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*，證明：(1) 若|A|=0，則|A*|=0；(2) |A*|=|A|n-1（略）第三節(jié) 線性方程組的解一. 判斷題；選擇；題空題 1. 若都是的解，則是的一個解.( ) 2. 方程組基礎(chǔ)解系的個數(shù)等于. ( ) 3. 若方程組有非零解，則方程組必有無窮多解.( 錯 ) 4. 與為同解方程組. ( ) 5. 方程組有無窮多個解的充分必要條件是有兩個不同的解. ( ) 6. 當(dāng)( D )時，齊次線性方程組一定有非零解. （A）；（B）；（C）；（D）.7. 方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在三階方陣，使得，則 ( A ) .（A）且； （B）且；（C）且；（D）且.8. 設(shè)方程組有解，則其增廣矩陣的行列式= 0 .9. 若有解，則常數(shù)應(yīng)滿足條件 和等于零 .10. 已知方程組無解，則 -1 .11. 求方程組 的通解. 通解為12設(shè)，問方程組什么時候有唯一解？什么時候無解？什么時候有無窮多解，并在有無窮多解時求解.解：有唯一解；無解；無窮多解，解為。第四章向量組的線性相關(guān)性第一節(jié) n維向量1設(shè),求.解：2設(shè)其中, , ,求解 由整理得3已知+=(2,1,5,2,0)，-=(3,0,1,-1,4)，求，解： 第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性1設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明 設(shè)有使得，則(1) 若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2) 若線性無關(guān),則由知此齊次方程存在非零解，則線性相關(guān). 綜合得證.2設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明 設(shè)則因向量組線性無關(guān),故，因為故方程組只有零解，則所以線性無關(guān)3利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組:.解： ，所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組第三節(jié) 向量組的秩1求下列向量組的秩,并求一個最大無關(guān)組:, , .解： 秩為2,最大線性無關(guān)組為.2設(shè)向量組a1，a2，at (t2)線性無關(guān)，令b1=a2+a3+at,，b2=a1+a3+at，bt=a1+a2+at-1證明：b1，b2，bt線性無關(guān)3設(shè)是一組維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.4設(shè)向量組:的秩為,向量組:的秩向量組: 的秩,證明 證明 設(shè)的最大線性無關(guān)組分別為，含有的向量個數(shù)(秩)分別為,則分別與等價，易知均可由線性表示，則秩()秩(),秩()秩()，即設(shè)與中的向量共同構(gòu)成向量組，則均可由線性表示，即可由線性表示，從而可由線性表示，所以秩()秩(),為階矩陣，所以秩()即.5. 設(shè)A是nm矩陣，B是mn矩陣，nm，E是n階單位陣，若AB=E，證明：B的列向量組線性無關(guān).6設(shè)向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關(guān)。證明組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩.證明若組線性無關(guān)令則有，由定理知，由組:線性無關(guān)知，故，又知為階矩陣則。由于向量組:能由向量組:線性表示,則，綜上所述知即若令,其中為實數(shù)，則有，又,則由于線性無關(guān),所以即 （1）由于則(1)式等價于下列方程組: ，由于所以方程組只有零解.所以線性無關(guān)，證畢.第四節(jié) 向量空間1 試證:由所生成的向量空間就是.2 證明 設(shè) 于是故線性無關(guān).由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.2驗證為的一個基,并把用這個基線性表示.解 由于，即矩陣的秩為3，故線性無關(guān)，則為的一個基.設(shè)，則，故設(shè)，則，故線性表示為，第五節(jié) 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.解： 所以原方程組等價于取得；取得因此基礎(chǔ)解系為2設(shè),求一個矩陣,使,且.解 由于,所以可設(shè)則由 可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣3求一個齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為.解顯然原方程組的通解為,() 即消去得 此即所求的齊次線性方程組.4設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量且，求該方程組的通解解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得 為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，5設(shè)都是階方陣，且，證明證明 設(shè)的秩為，的秩為，則由知，的每一列向量都是以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解向量(1) 當(dāng)時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,，結(jié)論成立(2)當(dāng)時,該齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有個向量,從而的列向量組的秩,即,此時,結(jié)論成立。綜上,6求非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(2) 7設(shè)是非齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明: 線性無關(guān).證明 反證法,假設(shè)線性相關(guān),則存在著不全為0的數(shù)使得下式成立: (1)其中,否則,線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的，產(chǎn)生矛盾。由于為特解，為基礎(chǔ)解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立, 故線性無關(guān).8.設(shè)是非齊次線性方程組的個解，為實數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明 由于是非齊次線性方程組的個解.故有 而即 （）從而也是方程的解第五章 相似矩陣及二次型第一節(jié) 預(yù)備知識：向量的內(nèi)積1試用施密特法把下列向量組正交化：(1)；(2)解(1)根據(jù)施密特正交化方法:令， ，故正交化后得: (2)根據(jù)施密特正交化方法令 ，故正交化后得 2下列矩陣是不是正交陣:(1); (2)解(1)第一個行向量非單位向量,故不是正交陣(2)該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣3設(shè)與都是階正交陣，證明也是正交陣證明 因為是階正交陣，故，故也是正交陣第二節(jié) 方陣的特征值與特征向量求下列矩陣的特征值和特征向量:(1); (2);并問它們的特征向量是否兩兩正交?解 (1)，故的特征值為當(dāng)時,解方程,由 得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時,解方程,由 得基礎(chǔ)解系所以是對應(yīng)于的全部特征向量，故不正交(2)，故的特征值為當(dāng)時，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時,解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量， ，所以兩兩正交第三節(jié) 相似矩陣 第四節(jié) 對稱矩陣的相似矩陣1設(shè)方陣與相似，求.解 方陣與相似，則與的特征多項式相同，即2設(shè)都是階方陣，且，證明與相似證明 則可逆 則與相似3設(shè)3階方陣的特征值為；對應(yīng)的特征向量依次為， , 求.解 根據(jù)特征向量的性質(zhì)知可逆,得:可得，得4試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱矩陣化為對角矩陣:(1);(2)解(1)故得特征值為當(dāng)時，由 解得 單位特征向量可取:當(dāng)時,由解得 單位特征向量可取: 當(dāng)時,由解得單位特征向量可取: 得正交陣，(2)，故得特征值為當(dāng)時，由解得此二個向量正交,單位化后,得兩個單位正交的特征向量單位化得當(dāng)時,由 解得 單位化:得正交陣 5(1)設(shè)，求；(2)設(shè),求解(1)是實對稱矩陣，故可找到正交相似變換矩陣，使得，從而因此 (2)同(1)求得正交相似變換矩陣使得第五節(jié) 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1用矩陣記號表示下列二次型:(1);(2)(3)解(1)(2)(3)2求一個正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:(1) ;(2) 解(1)二次型的矩陣為，故的特征值為當(dāng)時, 解方程，由，得基礎(chǔ)解系. 取當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系取當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系取，于是正交變換為，且有(2)二次型矩陣為，故的特征值為當(dāng)時，可得單位特