《名師伴你行》人教A版學(xué)桉八+單調(diào)性與最大(小)值.ppt

學(xué)點(diǎn)一 學(xué)點(diǎn)二 學(xué)點(diǎn)三 學(xué)點(diǎn)四 學(xué)點(diǎn)五 1 一般地 設(shè)函數(shù)f x 的定義域?yàn)镮 1 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的兩個自變量的值x1 x2 當(dāng)x1 x2時 都有 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 反映在圖象上 由左至右 圖象連續(xù) 2 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1 x2 當(dāng)x1 x2時 都有 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間D上是減函數(shù) 反映在圖象上 由左至右 圖象連續(xù) 2 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間D上是 那么就說函數(shù)y f x 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性 區(qū)間D叫做y f x 的區(qū)間 任意f x1 f x2 上升 增函數(shù)或減函數(shù) 下降 f x1 f x2 單調(diào) 3 一般地 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域?yàn)镮 如果存在實(shí)數(shù)M滿足 1 對于 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 稱M為函數(shù)y f x 的最大值 記為ymax M 2 對于任意的x I 都有f x M 使得f x0 M 那么 稱M是函數(shù)y f x 的最小值 記為ymin M 4 函數(shù)的最大 小 值反映在圖象上 是函數(shù)圖象的縱坐標(biāo) 任意的x I f x0 M 最高 低 點(diǎn) 存在x0 I 學(xué)點(diǎn)一判定函數(shù)的單調(diào)性 分析 熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和單調(diào)性 有利于更好地掌握復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 評析 判定函數(shù)的單調(diào)性 可以從圖象上直觀看出 也可以利用函數(shù)本身的性質(zhì)得出 下列函數(shù)中 在區(qū)間 0 上是增函數(shù)的是 A y x2 2x 1B y C yD y 解析 y x2 2x 1在 1 上遞增 而在 0 1 上遞減 y 在 0 上是減函數(shù) y 在 0 1 上遞增 在 1 2 上遞減 只有y 在 1 上遞增 在 1 上遞增 從而在 0 上遞增 故應(yīng)選C C 下列函數(shù) 在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù)的是 A y B y 2x 1C y 1 2xD y 2x 1 2 B y 在 0 上是減函數(shù) 排除A y 2x 1在R上是增函數(shù) 故在 0 2 上也是增函數(shù) y 1 2x在 0 上是減函數(shù) 排除C y 2x 1 2在 0 上是減函數(shù) 在 2 上是增函數(shù) 故應(yīng)選B B 學(xué)點(diǎn)二單調(diào)性的判定與證明 分析 用函數(shù)單調(diào)性定義證明 求證 函數(shù)f x 1在區(qū)間 0 上是單調(diào)增函數(shù) 證明 對于區(qū)間 0 內(nèi)的任意兩個值x1 x2 且x10 x1x2 0 因?yàn)閒 x2 f x1 1 1 所以f x2 f x1 0 即f x1 f x2 故f x 1在區(qū)間 0 上是單調(diào)增函數(shù) 評析 證明函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù) 用定義證明是最基本的方法 步驟是 設(shè)值 作差 變形 判斷符號 下結(jié)論 設(shè)x1 x2是 內(nèi)的任意兩個實(shí)數(shù) 且x10 0 x2 x1 x2x1 0 即f x1 f x2 函數(shù)f x x3 1在 上是減函數(shù) 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明 函數(shù)f x x3 1在 上是減函數(shù) 學(xué)點(diǎn)三利用圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 分析 先將函數(shù)解析式化簡 變?yōu)槭煜さ幕竞瘮?shù) 作出函數(shù)f x 的圖象 并指出函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 解析 原函數(shù)可化為f x x 3 x 3 2x x 3 6 33 評析 1 利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 具體做法 先化簡函數(shù)式 然后再畫出它的草圖 最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置 狀態(tài) 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 顯然函數(shù)的增區(qū)間為 x2 x3 x4 x5 減區(qū)間為 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 利用圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間是最基本 最直觀的方法 只要作出圖象 求單調(diào)區(qū)間很容易 如y f x 圖象如下圖所示 求函數(shù)y x2 2 x 3的單調(diào)區(qū)間 如圖所示 在 1 0 1 上 函數(shù)是增函數(shù) 在 1 0 1 上 函數(shù)是減函數(shù) 學(xué)點(diǎn)四利用單調(diào)性求變量范圍 一 在具體函數(shù)中利用單調(diào)性求變量范圍 1 已知f x x2 2 1 a x 2在 4 上是減函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 已知f x x3 ax在 0 1 上是增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析 二次函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù) 只要遇到二次函數(shù)就畫圖象 也可以不將圖象畫出 而在腦海中出現(xiàn) 就會給我們研究問題帶來方便 對于不熟悉的函數(shù) 可以利用單調(diào)函數(shù)的定義去研究與單調(diào)性有關(guān)的問題 解析 1 要使f x 在 4 上是減函數(shù) 由二次函數(shù)的圖象可知 只要對稱軸x即可 解得a 5 2 設(shè)00 f x2 f x1 ax2 ax1 a x2 x1 x1 x2 x1x2 a 0 f x 在 0 1 上是增函數(shù) 又 x2 x1 0 x1x2 a x1x2 又 0 x1 x2 1 x1x2 3 a 3 評析 1 二次函數(shù)問題要注意三點(diǎn) 一是開口方向 二是對稱軸 三是頂點(diǎn)坐標(biāo) 2 有關(guān)單調(diào)性的問題 當(dāng)我們感覺太陌生 不熟悉 走投無路時 回到單調(diào)函數(shù)的定義去 的方法 往往給我們帶來 柳暗花明又一村 的感覺 若函數(shù)f x ax2 3a 1 x a2在 1 上是增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 1 當(dāng)a 0時 f x x在 1 上是增函數(shù) 2 當(dāng)a 0時 要使f x 在 1 上是增函數(shù) a 0 1 3 當(dāng)a 0時 由二次函數(shù)圖象可知f x 不能在 1 上是增函數(shù) 綜上所述 a的取值范圍為 0 1 二 在抽象函數(shù)中利用單調(diào)性求變量范圍設(shè)f x 是定義在 0 內(nèi)的增函數(shù) 且f xy f x f y 若f 3 1 且f a f a 1 2 求a的取值范圍 分析 從兩點(diǎn)考慮 一是常數(shù)2與f 3 是什么關(guān)系 可由f xy f x f y 找出 二是在不等式f a f a 1 2中怎樣 脫 去 f 解析 f xy f x f y 且f 3 1 f 9 f 3 3 f 3 f 3 2f 3 2 又 f a f a 1 2 f a f a 1 f 9 即f a f 9 a 1 評析 1 抽象函數(shù)不等式的一般解答方法是利用單調(diào)性 脫號 2 脫號 時莫忘定義域?qū)ψ宰兞康南拗?由單調(diào)函數(shù)的概念得解得1 a a的取值范圍是1 a 已知函數(shù)y f x 是定義在 2 2 上的減函數(shù) 且具有如下性質(zhì) 當(dāng)x 2 2 時 f x f x 若f m f 2m 1 0 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 由f m f 2m 1 0得f m f 2m 1 f x f x f m f 1 2m 由f x 是 2 2 上的減函數(shù)可得解得 m 所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m 解析 1 當(dāng)a 時 f x x 2 任取x2 x1 1 則f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 x1 1 x2 x1 0 x1x2 1 1 學(xué)點(diǎn)五利用單調(diào)性研究函數(shù)最值 分析 利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值 已知函數(shù)f x x 1 1 當(dāng)a 時 求函數(shù)f x 的最小值 2 若對任意x 1 f x 0恒成立 試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 評析 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b a b 上是增函數(shù) 則函數(shù)有最大值f b 和最小值f a 1 0 f x2 f x1 0 f x 在區(qū)間 1 上為增函數(shù) f x 在區(qū)間 1 上的最小值為f 1 2 在區(qū)間 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 設(shè)y x2 2x a x 1 則y x2 2x a x 1 2 a 1遞增 當(dāng)x 1時 ymin 3 a 于是 當(dāng)且僅當(dāng)ymin 3 a 0時 函數(shù)f x 0恒成立 故a 3 求函數(shù)f x x2 2ax 1在區(qū)間 0 2 上的最值 由f x x a 2 a2 1 因?yàn)閤 0 2 1 當(dāng)0 a 2時 f x min f a a2 1 當(dāng)0 a 1時 f x max f 2 22 4a 1 3 4a 當(dāng)12時 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 1 函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言 有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性 如一次函數(shù)y 2x 6等 有的函數(shù)分別在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào) 但在整個定義域上卻不單調(diào) 如反比例函數(shù)y 等 所以函數(shù)f x 在給定區(qū)間上的單調(diào)性 反映了函數(shù)f x 在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢 是函數(shù)的局部性質(zhì) 2 函數(shù)在某一點(diǎn)處的單調(diào)性無意義 書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時 區(qū)間端點(diǎn)的開或閉沒有嚴(yán)格規(guī)定 習(xí)慣上若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處有定義 則寫成閉區(qū)間 當(dāng)然寫成開區(qū)間也可 若函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無定義 則必須寫成開區(qū)間 3 函數(shù)定義中的x1 x2應(yīng)深刻理解 一是任意性 即 任意取x1 x2 任意 兩個字絕不能丟掉 不能為某兩個特殊值 二是x1 x2有大小 通常規(guī)定x2 x1 0 三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間 1 在函數(shù)單調(diào)性中應(yīng)注意什么問題 2 證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟是什么 證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義來證明 不能用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性證明 證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 第一步 任意取值x1 x2 在某單調(diào)區(qū)間I上 且x1 x2 第二步 變形 通過通分 因式分解 配方 有理化等手段 將等式f x2 f x1 的右邊變形 第三步 定號 判斷f x2 f x1 的符號 第四步 下結(jié)論 4 若函數(shù)f x 在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A B上都是增 減 函數(shù) 一般不能簡單認(rèn)為f x 在A B上是增 減 函數(shù) 如f x 在 0 上是減函數(shù) 在 0 上也是減函數(shù) 但不能說它在定義域 0 0 上是減函數(shù) 5 函數(shù)單調(diào)性的幾何意義 反映在圖象上 若f x 在區(qū)間I上為增 減 函數(shù) 則圖象在I上的對應(yīng)部分從左向右是上升 下降 的 3 函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有哪些 1 定義法 前面已作過敘述 2 直接法 運(yùn)用已知的結(jié)論 直接得到函數(shù)的單調(diào)性 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 反比例函數(shù)的單調(diào)性可直接說出 了解以下一些結(jié)論 對于判斷函數(shù)單調(diào)性有一定好處 函數(shù)y f x 與y f x 的單調(diào)性相反 當(dāng)f x 0時 函數(shù)y 1f x 與y f x 的單調(diào)性相反 對于f x 0也成立 在公共區(qū)域內(nèi) 兩增函數(shù)的和仍為增函數(shù) 增函數(shù)減去一個減函數(shù)所得函數(shù)為增函數(shù) 3 圖象法 通過函數(shù)圖象直接判斷 4 求函數(shù)最值的常用方法有哪些 1 配方法 即將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和 然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值 2 換元法 通過變量代換轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值 3 數(shù)形結(jié)合法 利用函數(shù)圖象或幾何方法求最值 4 函數(shù)單調(diào)性法 1 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域 也可以是定義域的一部分 對于具體函數(shù)而言 可能有單調(diào)區(qū)間 也可能無單調(diào)區(qū)間 不是所有的函數(shù)都具有單調(diào)性 2 利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是一種比較直觀的方法 就是由函數(shù)y f x 的圖象 從左向右看 在定義域 某個區(qū)間 上是上升的 還是下降的 若圖象是上升的 就可以說它在這個區(qū)間上是增函數(shù) 若圖象是下降的 則可以判斷它在這個區(qū)間上是減函數(shù) 也就是說 要判斷函數(shù)在定義域 某個區(qū)間 上的單調(diào)性 只要能作出函數(shù)的圖象 就會一目了然 3 對于最大值定義的理解 1 M首先是一個函數(shù)值 它是值域的一個元素 如f x x2 x R 的最大值為0 有f 0 0 注意對定義第二條中 存在 一詞的理解 2 對于定義域內(nèi)全部元素 都有f x M成立 任意 是說對每一個值都必須滿足不等式 3 這兩條缺一不可 若只有定義中的第一條 M不是最大值 如f x x2 x R 對任意x R 都有f x 1成立 但1不是最大值 否則大于零的任意實(shí)數(shù)都是最大值了 最大值的核心就是不等式f x M 故不能只有定義中的第二條 4 若將定義中 1 中的 f x M 改為 f x M 則需將最大值定義中的 最大值 改為 最小值 這就是函數(shù)f