初二數(shù)學(xué)上冊各章節(jié)知識點例題.doc

初二數(shù)學(xué)高分速成（上冊）第十一章 全等三角形1一、全等三角形及其判定1（一）知識總結(jié)1（二）例題精講1知識點一：全等三角形的性質(zhì)1知識點二：三角形全等的判定2知識點三：三角形全等的開方性探索4二、證明三角形全等的常見思路4（一）規(guī)律總結(jié)4（二）例題精講5考點一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等5考點二：已知兩邊對應(yīng)相等6考點三：已知兩角對應(yīng)相等8三、角的平分線的性質(zhì)10（一）知識總結(jié)10（二）例題精講10知識點一：(尺規(guī)作圖)作角平分線10知識點二：角平分線的性質(zhì)定理11知識點三：角平分線的逆定理12四、角平分線類問題常用思路13（一）規(guī)律總結(jié)13（二）例題精講13考點一：利用“角平分線的對稱性”求解13考點二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解15第十二章 軸對稱圖形16一、軸對稱圖形 知識總結(jié)16（一）知識總結(jié)16（二）例題精講17知識點一：軸對稱17知識點二：作軸對稱圖形18知識點三：等腰三角形20二、軸對稱應(yīng)用及等腰三角形的方法規(guī)律總結(jié)21（一）規(guī)律總結(jié)21（二）例題精講21考點一：證明一個三角形是等腰三角形的方法21考點二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用22第十三章 實數(shù)及其運(yùn)算24一、實數(shù)及其運(yùn)算24（一）知識總結(jié)24（二）例題精講24知識點一：平方根、算術(shù)平方根的概念及表示方法24知識點二：平方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)25知識點三：立方根的概念與性質(zhì)25知識點四：有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念26知識點五：實數(shù)的運(yùn)算27二、實數(shù)運(yùn)算中常見錯誤及原因分析28（一）規(guī)律總結(jié)28（二）例題精講28考點一：忽視公式適用的條件28考點二：忽視結(jié)果的化簡29考點三：與算術(shù)平方根的乘除運(yùn)算混淆29第十四章 一次函數(shù)30一、一次函數(shù)及其圖像 知識總結(jié)30（一）知識總結(jié)30（二）例題精講31知識點一：變量與函數(shù)31知識點二：一次函數(shù)與正比例函數(shù)的意義32知識點三：待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式33二、一次函數(shù)及其圖像 規(guī)律總結(jié)34（一）規(guī)律總結(jié)34（二）例題精講34考點一：考定義34考點二：求解析式34考點三：考查函數(shù)的性質(zhì)35三、用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式一次函數(shù)36（一）知識總結(jié)36（二）例題精講37知識點一：一次函數(shù)與一元一次方程37知識點二：一次函數(shù)與一元一次不等式38知識點三：一次函數(shù)與二元一次方程(組)40四、用一次函數(shù)解決問題的方法技巧41（一）規(guī)律總結(jié)41（二）例題精講42考點一：利用一次函數(shù)求一元一次方程的解42考點二：利用一次函數(shù)式求一元一次不等式的解集42考點三：利用一次函數(shù)解二元一次方程組43第十五章 整式的乘除與因式分解45一、整式的乘除45（一）知識總結(jié)45（二）例題精講45知識點一：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算45知識點二：整式的乘法運(yùn)算46知識點三：整式的乘法公式（平方差公式及完全平方公式）46知識點四：整式的除法47二、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題48（一）規(guī)律總結(jié)48（二）例題精講48考點一：注意掌握公式的結(jié)構(gòu)特點48考點二：注意創(chuàng)造條件使用公式49考點三：注意乘法公式的逆用49三、因式分解基礎(chǔ)知識與分解方法50（一）知識總結(jié)50（二）例題精講51知識點一：提公因法分解因式51知識點二：公式法分解因式52知識點三：巧用因式分解的解題52四、選擇合適的方法因式分解53（一）規(guī)律總結(jié)53（二）例題精講53考點一：拆項、添項法分解因式53考點二：換元法分解因式54考點三：整體思想分解因式55初二數(shù)學(xué)高分速成講義第十一章 全等三角形一、全等三角形及其判定（一）知識總結(jié)（二）例題精講知識點三：三角形全等的開方性探索 知識點二：三角形全等的判定知識點一：全等三角形的性質(zhì)知識點一：全等三角形的性質(zhì)A、夯實基礎(chǔ)例1: 已知：如圖，OADOBC，且O70，C25，則OAD_度. 【解析】此題可根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得 OADOBC OAD=OBC=1807025=85.【解答】85B、雙基固化例2: 如圖，ABCDEF,則有下列判斷正確的是( )。A.AB=DF B.AC=DFC.A=F D.B=D【解析】本題根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等判斷即可.【解答】B.C、能力提升例3: 如圖,ABCAED,B和E是對應(yīng)頂點,寫出圖中相等的線段和相等的角. 【解析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等判斷即可.關(guān)鍵要做到不重不漏.【解答】相等的線段有:AB=AE,AC=AD,BC=DE，BD=EC 相等的角有:B=E,BAC=EAD,ACB=ADE。知識點二：三角形全等的判定A、夯實基礎(chǔ)例4: 如圖，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD與 CEB全等嗎？為什么？【解答】AFD CEB理由：AE=CFAEFE=CFEF，即AF=CE在AFD和 CEB中AF=CEAFD=CEB，DF=BE AFDCEB（SAS） B、雙基固化例5: （2010年福州）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，BC=EF，ABDE，A=D。 求證：ABCDEF?！窘獯稹孔C明： ABDE， B=DEF 在ABC和DEF中， B=DEF A=D BC=EF ABCDEF（AAS）C、能力提升例6: （2010年寧德市）如圖，已知AD是ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使AEDAFD，需添加一個條件是：_，并給予證明. 【解答】解法一：添加條件：AEAF 證明：在AED與AFD中， AEAF，EADFAD，ADAD， AEDAFD（SAS）.解法二：添加條件：EDAFDA證明：在AED與AFD中， EADFAD，ADAD，EDAFDA， AEDAFD（ASA）. 知識點三：三角形全等的開方性探索 A、夯實基礎(chǔ)例7: 如圖，已知ABC和DCB中，AB=DC，請補(bǔ)充一個條件_，使ABC DCB?！窘馕觥恳阎獌蛇叄海?）找夾角： ABC=DCB （SAS）；（2）找第三邊：AC=DB （SSS）；（3）找直角：A=D=90（HL）?！窘獯稹?ABC=DCB或AC=DB或A=D=90。B、雙基固化例8:如圖，已知C= D，要使ABC ABD，需要添加的一個條件是_ ?！窘馕觥恳阎贿呉唤牵ㄟ吪c角相對），找任一角，CAB=DAB或者CBA=DBA?！窘獯稹緾AB=DAB 或者CBA=DBA C、能力提升例9: 如圖，已知B=E，要使ABC AED，需要添加的一個條件是_ ?！窘馕觥恳阎獌山牵海?）找夾邊：AB=AE（ASA）；（2）找一角的對邊：AC=AD或DE=BC(AAS)?！窘獯稹緼B=AE或AC=AD或DE=BC 二、證明三角形全等的常見思路（一）規(guī)律總結(jié)（二）例題精講考點一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等 考點二：已知兩邊對應(yīng)相等考點三：已知兩角對應(yīng)相等 考點一：已知一邊與其一鄰角對應(yīng)相等 A、夯實基礎(chǔ)例1、已知：如圖， AC=DB, 1=2. 求證: A=D。【解答】證明：在ABC和DCB中 AC=DB 1=2 BC=CB ABCDCB （SAS） A=D B、雙基固化例2、已知：如圖，點在上，求證：ABCDEF【解答】證明：（已知），即在和中，（全等三角形對應(yīng)邊相等）C、能力提升例3、已知：如圖，D是的邊AB上一點，交于點，求證：ABCDEF【解答】證明：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在和中， （全等三角形對應(yīng)邊相等）考點二：已知兩邊對應(yīng)相等A、夯實基礎(chǔ)例4、已知：如圖，AC=FE,BC=DE,點A,D,B,F在一條直線上，AD=BF,求證：E=C.【解答】證明： AD=FB AD+DB=BF+DB，即AB=FD在ABC和FDE中AC=FEBC=DEAB=FD ABCFDE(SSS) E=CB、雙基固化例5、已知：如圖，點在上，求證：ABCDE12【解答】證明：（已知），（鄰補(bǔ)角定義），在和中，C、能力提升例6、已知：如圖，點A、B、C、D在同一直線上，求證：，MADNCB【解答】證明：（已知），即在和中，（全等三角應(yīng)角相等），（同位角相等，兩直行）考點三：已知兩角對應(yīng)相等 A、夯實基礎(chǔ)例7、已知：如圖，點在同一條直線上，求證：【解答】證明：（已知）， ，即 在和中，（全等三角形對應(yīng)邊相等）B、雙基固化例8、已知：如圖，交于點，為上兩點，求證：【解答】證明：（已知），即在和中，C、能力提升例9、已知：如圖，E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD嗎？為什么？【解答】AC=AD理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD(AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD三、角的平分線的性質(zhì) （一）知識總結(jié) （二）例題精講 知識點一：(尺規(guī)作圖)作角平分線 知識點二：角平分線的性質(zhì)定理 知識點三：角平分線的逆定理知識點一：(尺規(guī)作圖)作角平分線 A、夯實基礎(chǔ) 如圖所示,已知AOB,求作射線OC,使OC平分AOB,作法的合理順序是( C ) (1)作射線OC；(2)在OA和OB上,分別截取OD,OE,使OD=OE (3)分別以D,E為圓心,大于 DE的長為半徑作弧,在AOB內(nèi),兩弧交于點C A(1)(2)(3) B(2)(1)(3) C(2)(3)(1) D(3)(2)(1) 【解析】注意作圖步驟B、雙基固化 如圖,已知AOB和定長線段a,在AOB內(nèi)找一點P,使P 到OA,OB的距離都等于a,做法如下:(1)作NHOB于H,使NH=a(2)過N作NMOB(3)作AOB的平分線OP,與NM交于P點P即為所求其中(3)的依據(jù)是( B ). A平行線之間的距離處處相等 B到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上C角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等D到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上【解析】注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理與逆定理C、能力提升 如圖,已知ACB =,EFO =用直尺和圓規(guī)求作一個, 使得=作圖如下,下列敘述正確的是( ) A.首先作EOF的角平分線,將EOF一分為二即得再以CA為邊,在ACB的內(nèi)部作ACD=,則BCD即為所求B.首先作EOF的角平分線,將EOF一分為二即得再在ACB的內(nèi)部作ACD=,則BCD即為所求【解析】沒有說明“以CA為邊” C. 首先作EOF的角平分線,將EOF一分為二即得再以CA為邊作 ACD= ,則BCD即為所求【解析】C沒有說明“在ACB的內(nèi)部” D. 首先作EOF的角平分線,將EOF一分為二即得再以CA為邊,在ACB的內(nèi)部作 ACD= ,則ACD即為所求【解析】不一定等于ACD 知識點二：角平分線的性質(zhì)定理A、夯實基礎(chǔ) 如圖,AD平分BAC,點P在AD上,若PEAB,PFAC,垂足分別為E、F,則PE與PF的長度關(guān)系是_PE=PF 【解析】角平分線上的點到角兩邊的距離相等,所以PE=PF. B、雙基固化 如圖,在ABC中,C=90,AD是BAC的平分線,若DC=6,則D點到AB的距離是_6_ 【解析】如圖,過點D作DEAB,垂足為E,則DE是D點到AB的距離,DCAC,AD是BAC的平分線,DE=DC=6 C、能力提升 P在MON的角平分線上,PAOM于A,PBON于B,若OA=6cm,OP=10cm,則PB=_8cm 【解析】在RtAOP中又角平分線上的點到角兩邊的距離相等, PB=PA=8cm 知識點三：角平分線的逆定理A、夯實基礎(chǔ) 如圖所示,已知PBAB,PCAC,且PB=PC,D是AP上一點,則點D在_BAC_的角平分線上,同時又上在_BPC _的角平分線上【解析】PB=PC,PA=PA,RtABPRtACP,BPA=CPA, 點D在BPC的角平分線上 BAP=CAP點D在BAC的角平分線上B、雙基固化 如圖所示,要在河流的南邊,公路左側(cè)的M區(qū)建一個工廠,要求工廠的位置到河流和公路的距離相等,并且到河流域公路交叉點A處的距離為1cm,(指圖上的距離),則圖中工廠的位置應(yīng)在_,理由是_ 【解析】將河流和公路看做兩條線,再利用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”解答【解答】河流與公路夾角的平分線上,并且到交叉點A的圖上距離為1cm；到角兩邊距離相等的點在角的平分線上C、能力提升 如圖,已知ABC中,PEAB交BC于E,PFAC交BC于F,P是AD上一點,且D點到PE的距離與到PF的距離相等.求證：AD平分BAC【解析】利用到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上解答 先證明EPD=FPD,再證明BAD =CAD 證明：D到PE的距離與到PF的距離相等 點D在EPF的平分線上 EPD=FPD 又PEAB, EPD=BAD 同理FPD=CAD BAD =CAD, AD平分BAC四、角平分線類問題常用思路（一）規(guī)律總結(jié)同學(xué)們在學(xué)完角平分線和全等三角形之后，就可以根據(jù)已知條件和結(jié)論再結(jié)合角的平分線的特性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形往往是同學(xué)們尋找證題思路的一個難點，下面以一個例題的幾種不同證法來歸納如何利用角平分線構(gòu)成全等三角形的常見輔助線的作法（二）例題精講考點一：利用“角平分線的對稱性”求解 考點二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解考點一：利用“角平分線的對稱性”求解 因為角是軸對稱圖形，角平分線是其對稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對稱性來構(gòu)成全等三角形A、夯實基礎(chǔ)例1、如圖，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求證：AD=DCBACDE【解析】可以看作將ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法一、如圖，在BC上取BE=AB，連結(jié)DE，BD平分ABC，ABD=DBE，又BD=BD，ABDEBD（SAS），A=DBE，AD=DE，又A+C=1800，DEB+DEC=1800，C=DEC，DE=DC，則AD=DCB、雙基固化例2、如圖，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求證：AD=DC【解析】可以看作將ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法二、如圖，過A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分ABC，易得ABFEBF，則AB=BE，BD平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SAS），AD=ED，BAD=DEB，又BAD+C=1800，BED+CED=1800，C=DEC，則DE=DC，AD=DCC、能力提升例3、如圖，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求證：AD=DC【解析】CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的【解答】證法三、如圖，延長BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， BD平分ABC，CBD=DBE，又BD=BD，CBDEBD（SAS），C=E，CD=DE，又BAD+C=1800，DAB+DAE=1800，E=DAE，DE=DA，則AD=DC考點二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解由于角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個性質(zhì)，可以過角平分線上一點向角的兩邊作垂線而構(gòu)成兩個全等的直角三角形A、夯實基礎(chǔ)例4、已知：如圖，在ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB.求證：AC+CD=AB【解析】要想證明AC+CD=AB，可以在AB上截取AE=AC，然后證明BE= CD即可【解答】證明：在AB上截取AE=AC，AD平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90，C=90，AC=BC，B=45，B=BDE=45DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.B、雙基固化例5、如圖1，在ABC中，BAC的角平分線AD平分底邊BC.求證AB=AC.【解析】根據(jù)已知可知AD是BAC的平分線，可通過點D作BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.【解答】證明：過點D作DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.DA為BAC的平分線，DE=DF.又AD平分BC，BD=CD，SABD=SACD，又SABD=ABDE，SACD=ACDF，ABDE=ACDF，AB=AC.C、能力提升例6、已知：如圖，在RtABC中，C=90，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合，當(dāng)A滿足什么條件時，點D恰為AB中點？寫出一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點. 【解析】若點D為AB中點，EDAB，可知BDE和ADE全等，即EAD=EBD，因為EB平分CBA，C=90，所以A=30.【解答】當(dāng)A =30時，點D恰為AB的中點.A=30，C=90(已知)，CBA=60(直角三角形兩銳角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30，且EDB=C=90(全等三角形對應(yīng)角相等)，DBE=A(等量代換)BE=AE(等角對等邊)，又EDB=90，即EDAB，D是AB的中點(三線合一).第十二章 軸對稱圖形一、軸對稱圖形 知識總結(jié)（一）知識總結(jié)（二）例題精講知識點一：軸對稱知識點二：作軸對稱圖形知識點三：等腰三角形知識點一：軸對稱A、夯實基礎(chǔ)例1: 下列圖形是軸對稱圖形的是 （ ）.（A） （B） （C） （D）【解析】要選擇哪個圖案是軸對稱圖形，主要根據(jù)軸對稱圖形的特征：沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能互相重合.觀察所給的四個圖案，能沿某直線折疊重合的只有最后一個圖形.【解答】（D）B、雙基固化例2: 如圖1，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？ 圖1 圖2【解析】本題是一道與線段垂直平分線性質(zhì)應(yīng)用有關(guān)的題目.解決問題的關(guān)鍵從實際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.如圖2，將A、B兩個居民區(qū)看作兩個點，將街道看作直線l，則本題實際上是在直線l上求作一點，這點到點A、B的距離相等.作線段AB的垂直平分線即可解決問題.【解答】如圖2，（1）連結(jié)AB，（2）作線段AB的垂直平分線MN交直線l與點P，則點P就是所求作的奶站的位置.C、能力提升例3: 如圖3，ABC中，BAC=120，若DE、FG分別垂直平分AB、AC，AEF的周長為10cm，求EAF的度數(shù)及BC的長. 圖3【解析】本題主要考查線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用.要求BC的長,根據(jù)已知可得EA=EB,FA=FC,這樣BC的長實際就是AE+EF+AF.要求EAF的度數(shù),則只要求到BAE+CAF的度數(shù)即可解決問題.【解答】因為BAC=120，所以B+C=60，因為DE垂直平分AB，所以BE=AE，B=BAE，因為FG垂直平分AC，所以AF=CF，C=CAF，所以AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，EAF=BAC-(BAE+CAF)=120-(B+C)=60.知識點二：作軸對稱圖形A、夯實基礎(chǔ)例4: 如圖,以直線AE為對稱軸,畫出該圖形的另一部分.【解析】要畫出圖形的另一部分, 首先要找到圖形上的關(guān)鍵點A，B，C，D，E，由于點A，D，E在對稱軸上，所以它們的對稱點與本身重合，這樣只要根據(jù)對稱的性質(zhì)作出關(guān)鍵點B、C關(guān)于直線AE的對稱點，然后用線段連結(jié)相應(yīng)的對稱點即可得到圖形的另一部分.【解答】作圖過程如下：（1）分別作出點B、C關(guān)于直線AE的對稱點F，H,如圖a；（2）連結(jié)AF、FD、DH、HE，得到所求的圖形,如圖b. 圖a 圖b B、雙基固化例5: 用四塊如圖4所示的正方形瓷磚拼成一個新的正方形，使拼成的圖案是一個軸對稱圖形.請你在圖4、圖4、圖4中各畫一種拼法(要求三種拼法各不相同). 圖4【解析】本題是一道與軸對稱圖形有關(guān)的拼圖問題，要拼軸對稱圖案，則需要理解軸對稱圖形的特征：要某直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合.另外還需要掌握平移等有關(guān)知識.設(shè)計圖案問題一般具有開放性，可以根據(jù)自己想象設(shè)計出美麗的圖案.【解答】下面給出3種不同答案，供參考.如圖5. 圖5C、能力提升例6: 如圖6，（1）作出ABC關(guān)于y軸對稱的A1B1C1，并寫出A1B1C1各頂點的坐標(biāo)；（2）將ABC向右平移6個單位，作出平移后的A2B2C2，并寫出A2B2C2各頂點的坐標(biāo)；（3）觀察A1B1C1和A2B2C2，它們是否關(guān)于某直線對稱？若是，請在圖上畫出這條對稱軸. 圖6 圖7【解析】（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)作ABC關(guān)于y軸的對稱圖形，可先確定關(guān)鍵點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的坐標(biāo)，描出這些點的坐標(biāo)，然后順次連結(jié)即可.（2）要作ABC向右平移6個單位的后的A2B2C2，首先要作出A、B、C三點向右平移6個單位的對應(yīng)點，然后順次連接即可；（3）要觀察A1B1C1和A2B2C2是否關(guān)于某直線對稱，可連接A1A2，B1B2，C1C2，看它們的垂直平分線是否是同一條直線，如果是，則A1B1C1和A2B2C2就關(guān)于這條直線對稱，否則，不關(guān)于某條直線對稱.【解答】（1）如圖7所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1);（2）如圖7所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1);（3）A1B1C1與A2B2C2關(guān)于直線軸對稱.知識點三：等腰三角形A、夯實基礎(chǔ)例7: ABC中,AB=AC,它的兩邊分別是2厘米和4厘米,則它的周長是（ ）(A)8厘米 (B)10厘米 (C)8厘米或10厘米 (D)不確定【解答】BB、雙基固化例8: 如圖是某房屋頂框架的示意圖，其中，AB=AC，ADBC，BAC=120，求B、C和BAD的度數(shù).【解析】由AB=AC，可知ABC是等腰三角形，等腰三角形的底邊上的高，頂角的平分線重合，根據(jù)ADBC，可得AD平分BAC，進(jìn)一步可以求到各角的度數(shù).【解答】在ABC中，因為AB=AC，所以B=C，因為BAC+B+C=180，BAC=120，所以B=C=(180-120)=30,因為ADBC,所以BAD=BAC=60. C、能力提升例9: 如圖，已知ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB，且DEF也是等邊三角形除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的.【解析】本題是一道猜想型探索題.要探索圖形中存在哪些相等的線段,可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),通過尋找三角形全等進(jìn)行探索.【解答】圖中還有相等的線段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE ， 事實上，因為ABC與DEF都是等邊三角形， 所以A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD ， 又因為CED+AEF=120，CDE+CED=120， 所以AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， 所以AEFBFDCDE（AAS）， 所以AE=BF=CD，AF=BD=CE . 二、軸對稱應(yīng)用及等腰三角形的方法規(guī)律總結(jié)（一）規(guī)律總結(jié)1證明一個三角形是等腰三角形的方法（1）利用定義證明，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。（2）等腰三角形的判定定理：等角對等邊。2等腰三角形的性質(zhì)及判定在實際問題中的應(yīng)用是本節(jié)的重點，等腰三角形中主要抓住“三線合一”這一條，注意數(shù)形結(jié)合的思想，一般等腰三角形的頂點作底邊上的高。并利用軸對稱的知識解決生活中的實際問題。（二）例題精講考點一：證明一個三角形是等腰三角形的方法考點二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用考點一：證明一個三角形是等腰三角形的方法A、夯實基礎(chǔ)例1、如圖ABC中AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（ ）.A1個 B2個 C3個 D4個【解析】如圖，由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，又因為三角形的內(nèi)角和是180，所以當(dāng)頂角的度數(shù)為36 時，兩個底角的度數(shù)為72，又因為BD平分ABC，所以DBC=ABD=36，所以三角形ABD和三角形BDC是等腰三角形.【解答】CB、雙基固化例2、如圖，在ABC中，AB=AC，ABC=60，D、E是BC上的點，BAD=DAE=EAC，則圖中等腰三角形有（ ）個.A1個 B2個 C3個 D4個【解析】因為ABC中，AB=AC，ABC=60，所以ABC是等邊三角形，所以每個角都等于60，又因為BAD=DAE=EAC，所以BAD=DAE=EAC=20，根據(jù)三角形的外角關(guān)系可知，ADE=AED，所以ADE也是等腰三角形.【解答】BC、能力提升例3、如圖，ABC中，ABC=ACB=60，ABC與ACB的平分線交于O，過點O且平行于BC的直線交AB于M，AC于N，連AO，則圖中等腰三角形的個數(shù)有（ ）.A5個 B6個 C7個 D9個【解析】因為ABC=ACB=60，所以ABC是等邊三角形，又因為ABC與ACB的平分線交于O，且MNBC，所以MBO=MOB=NCO=NOC=30，所以MOB和NOC和BOC和ANM都是等腰三角形.【解答】A考點二：巧用“三線合一”證題及軸對稱應(yīng)用A、能力提升例4、已知，如圖1，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的高。 求證：AD垂直平分EF【解析】從本題的條件和圖形特征看，欲證AD垂直平分EF，因為有，所以只要證為等腰三角形即可?！窘獯稹?又 AD垂直平分EFB、雙基固化例5在銳角AOB內(nèi)有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使PCD的周長最短【解析】PCD的周長等于PC+CD+PD，要使PCD的周長最短，根據(jù)兩點之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點之間的距離，于是考慮作點P關(guān)于直線OA和OB的對稱點E、F，則PCD的周長等于線段EF的長【解答】作法：如圖作點P關(guān)于直線OA的對稱點E；作點P關(guān)于直線OB的對稱點F；連接EF分別交OA、OB于點C、D則C、D就是所要求作的點證明：連接PC、PD，則PC=EC，PD=FD在OA上任取異于點C的一點H，連接HE、HP、HD，則HE=HPPHD的周長=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD的周長=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD的周長最短 C、能力提升例6、如圖4，已知四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，求證：。【解析】由于MN與CD同在中，又N為CD的中點，于是就想到證為等腰三角形，由于MD、MC為、斜邊AB上的中線，因此，所以，問題容易解決【解答】連結(jié)DM、CM ，M是AB的中點 是等腰三角形又N是CD的中點，第十三章 實數(shù)及其運(yùn)算一、實數(shù)及其運(yùn)算（一）知識總結(jié)（二）例題精講知識點一：平方根、算術(shù)平方根的概念及表示方法知識點二：平方根、